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Aceleração angular instantânea
Storyboard
Para descrever como a velocidade angular evolui ao longo do tempo, é necessário estudar a variação desta em relação ao tempo.
A relação da variação da velocidade angular equivale à mudança na velocidade angular ao longo do tempo decorrido, que, quando dividida por esse tempo, corresponde à aceleração angular.
Para um intervalo de tempo infinitesimal, a aceleração angular corresponde à aceleração angular instantânea.
ID:(1452, 0)
Aceleração angular como derivada
Conceito
Se um intervalo de tempo $t$ é considerado com uma velocidade angular $\omega(t)$ e um ponto é observado em um tempo futuro $t+\Delta t$ com uma velocidade angular $\omega(t+\Delta t)$, a aceleração angular pode ser estimada como a variação
$\omega(t+\Delta t)-\omega(t)$
ao longo do tempo $\Delta t$:
$\alpha\sim\displaystyle\frac{\omega(t+\Delta t)-\omega(t)}{\Delta t}$
À medida que o valor de $\Delta t$ diminui, a aceleração assume o papel da tangente à curva de velocidade naquele momento:
Isso generaliza o que já foi visto para o caso da aceleração angular constante.
ID:(11413, 0)
Velocidade Angular como Integral da Aceleração
Descrição
A integral de uma função corresponde à área sob a curva que define essa função. Portanto, a integral da aceleração angular entre os tempos $t_0$ e $t$ corresponde à variação da velocidade angular entre a velocidade angular inicial $\omega_0$ e $\omega$.
Assim, utilizando aceleração angular instantânea $rad/s^2$, tempo $s$, tempo inicial $s$, velocidade angular $rad/s$ e velocidade angular inicial $rad/s$, obtemos:
| $ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $ |
Isso é ilustrado no seguinte gráfico:
ID:(11415, 0)
Aceleração tangencial, regra da mão direita
Imagem
A orientação da aceleração tangencial pode ser obtida utilizando a regra da mão direita, onde os dedos apontam em direção ao eixo e depois giram em direção ao raio:
ID:(11600, 0)
Modelo
Conceito
Variáveis
Parâmetros
Parâmetro selecionado
Cálculos
Equação
$ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $
&a = &alpha x &r
$ \vec{alpha} =\displaystyle\frac{d \vec{\omega} }{d t }$
&alpha = d&omega / dt
$ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$
alpha = domega / dt
$ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $
omega = omega_0 + @INT( alpha, tau, t_0, t )
$ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a(\tau) d\tau $
v = v_0 + integrate( a, tau, t_0, t )
ID:(15426, 0)
Aceleração angular instantânea
Equação
Assim como na aceleração de translação, existe o conceito de aceleração angular instantânea, que é a aceleração angular com
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
que existe em um momento específico. Isso é calculado na aproximação de intervalos de tempo muito pequenos $(\Delta t\rightarrow 0)$, ou seja
$\alpha=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\omega}{dt}$
onde
 $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
ID:(3235, 0)
Integração de aceleração angular
Equação
Se integrarmos a definição da velocidade angular em relação ao tempo, utilizando aceleração angular instantânea $rad/s^2$, tempo $s$ e velocidade angular instantânea $rad/s$, obtemos:
| $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
Isso significa que, para um intervalo de tempo $dt$, o ângulo percorrido é dado por:
$d\omega = \alpha dt$
Se considerarmos $N$ intervalos $dt_i$ com velocidades angulares correspondentes $\alpha_i$, o ângulo total percorrido será:
$\omega - \omega_0 = \sum_i \alpha_i dt_i$
Considerando a curva de velocidade angular-tempo, os elementos $\alpha_i dt_i$ correspondem a retângulos com altura $\alpha_i$ e largura $dt_i$. A soma, portanto, corresponde à área sob a curva de velocidade angular-tempo. Assim, a soma pode ser expressa como uma integral utilizando aceleração angular instantânea $rad/s^2$, tempo $s$ e velocidade angular instantânea $rad/s$:
| $ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $ |
ID:(11416, 0)
Aceleração angular em mais dimensões
Equação
Podemos entender a aceleração de forma geral como uma entidade em três dimensões, ou seja, vetorial. Isso significa que sua velocidade precisa ser descrita por um vetor de velocidade angular $\vec{\omega}$, para o qual podemos definir um componente de aceleração com aceleração angular instantânea $rad/s^2$, tempo $s$ e velocidade angular instantânea $rad/s$
| $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
Com isso, podemos generalizar a aceleração com:
| $ \vec{alpha} =\displaystyle\frac{d \vec{\omega} }{d t }$ |
ID:(6742, 0)
Integração de aceleração angular
Equação
A integração da definição diferencial, ou seja, das variações temporais infinitesimais, com relação à equação resulta em:
| $ a =\displaystyle\frac{ dv }{ dt }$ |
Podemos realizar a integração entre o tempo $t_0$ e $t$ da aceleração $a(\tau)$ para obter a velocidade $v(t)$ se a velocidade inicial for $v_0$, utilizando a equação:
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a(\tau) d\tau $ |
ID:(11414, 0)
Aceleração tangencial, forma vetorial
Equação
A aceleração angular é representada como um vetor na direção do eixo de rotação. Como o raio de rotação e a aceleração angular são ortogonais à aceleração tangencial, temos:
| $ a = r \alpha$ |
Essa relação pode ser expressa como o produto cruz entre a aceleração angular e o raio, representado da seguinte forma:
| $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ |
Dado que a aceleração tangencial é
| $ a = r \alpha$ |
Se o vetor unitário do eixo é $\hat{n}$ e o vetor unitário radial é $\hat{r}$, o vetor unitário tangencial pode ser calculado usando o produto cruz:
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
Consequentemente, considerando que
$\vec{a} = a \hat{t}$
,
$\vec{r} = r \hat{r}$
e
$\vec{\alpha} = \alpha \hat{n}$
,
podemos deduzir que
$\vec{a} = a \hat{t} = a \hat{n} \times \hat{r} = r \alpha \hat{n} \times \hat{r} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$
,
o que se traduz em
| $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ |
.
ID:(11598, 0)