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Velocidade angular instantânea
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A velocidade angular média é definida levando em consideração o ângulo percorrido durante um intervalo de tempo, sem considerar as possíveis flutuações na velocidade angular.
Para determinar a velocidade angular em um instante específico, é necessário considerar um intervalo de tempo extremamente pequeno, de modo que a velocidade angular não tenha variações significativas nesse período.
Por essa razão, obtém-se a velocidade angular instantânea calculando a velocidade angular média no limite de um intervalo de tempo que tende a zero. Do ponto de vista matemático, isso equivale à derivada da posição em relação ao tempo e à inclinação da curva ângulo-tempo.
ID:(1447, 0)
Velocidade angular como derivada
Conceito
Se tomarmos um tempo $t$ com um ângulo $\theta(t)$ e observarmos um ponto em um tempo futuro $t+\Delta t$ com um ângulo $\theta(t+\Delta t)$, podemos estimar a velocidade como o ângulo percorrido
$\theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
no tempo $\Delta t$.
$\omega\sim\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}$
À medida que o valor de $\Delta t$ é reduzido, a velocidade angular assume o papel da tangente à curva de posição naquele tempo:
Isso generaliza o que já foi visto para o caso de velocidade angular constante.
ID:(11407, 0)
Ângulo da área do segmento percorrido
Descrição
Se observarmos que a velocidade angular $\omega$ é igual ao ângulo $\Delta\theta$ multiplicado pelo tempo $\Delta t$, podemos afirmar que o deslocamento é
$\Delta\theta = \omega\Delta t$
Uma vez que o produto $\omega\Delta t$ representa a área sob a curva de velocidade angular em função do tempo, e essa área também é igual ao deslocamento percorrido:
ID:(11417, 0)
Ângulo como integral da velocidade angular
Descrição
A integral de uma função corresponde à área sob a curva que define a função. Portanto, a integral da velocidade entre os tempos $t_0$ e $t$ corresponde ao ângulo percorrido entre a posição inicial $\theta_0$ e $\theta$.
Isso pode ser expresso matematicamente como:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$ |
Essa relação é mostrada graficamente abaixo:
Essa fórmula é útil para calcular o ângulo percorrido por um objeto em situações em que se conhece a função de velocidade. A integral da função de velocidade fornece uma medida do deslocamento total do objeto entre os dois tempos $t_0$ e $t$, o que pode ser usado para calcular o ângulo percorrido pelo objeto dividindo o deslocamento pelo raio do círculo. Esse conceito é especialmente útil em aplicações de física e engenharia em que o movimento de rotação está envolvido.
ID:(11409, 0)
Velocidade tangencial, regra da mão direita
Imagem
A orientação da velocidade tangencial pode ser obtida usando a regra da mão direita. Se os dedos apontam em direção ao eixo de rotação e são curvados em direção ao vetor de posição (raio), o polegar apontará na direção da velocidade tangencial:
ID:(11599, 0)
Velocidade tangencial
Descrição
Se um objeto é submetido a um modo de manter um raio constante, ele irá girar conforme indicado na figura. Ao observar a figura, notará-se que a massa realiza um movimento de translação com uma velocidade tangencial que é igual ao raio multiplicado pela velocidade angular:
No entanto, se o elemento que conecta o objeto ao eixo for cortado, o objeto continuará a se mover tangencialmente em linha reta.
ID:(310, 0)
Modelo
Conceito
Variáveis
Parâmetros
Parâmetro selecionado
Cálculos
Equação
$ \vec{\omega} = \displaystyle\frac{ d\vec{\theta} }{ dt }$
&omega = @DIF( &theta , t )
$ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $
&v = &omega x &r
$ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$
omega = @DIF( theta , t , 1)
$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$
theta = theta_0 + @INT( oemga, tau, t_0, t)
$ v_t = r \omega $
v_t = r * omega
ID:(15423, 0)
Velocidade angular instantânea
Equação
A La velocidade angular média ($\bar{\omega}$) calculada a partir de uma variação de ângulo ($\Delta\theta$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) através da equação
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
é uma aproximação do real la velocidade angular instantânea ($\omega$), que tende a distorcer-se à medida que a velocidade angular flutua durante o intervalo de tempo. Portanto, é introduzido o conceito de la velocidade angular instantânea ($\omega$) determinado em um tempo muito pequeno. Neste caso, falamos de um intervalo de tempo infinitesimalmente pequeno.
 $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
Se considerarmos o ângulo percorrido como la variação de ângulo ($\Delta\theta$) no tempo $t+\Delta t$ e em $t$:
$\Delta\theta = \theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
e o tempo decorrido ($\Delta t$), então no limite de tempos infinitesimalmente curtos:
$\omega=\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}\rightarrow lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\theta}{dt}$
Esta última expressão corresponde à derivada da função de ângulo $\theta(t)$, que por sua vez é a inclinação da representação gráfica dessa função no tempo.
que corresponde à derivada do ângulo.
ID:(3232, 0)
Integração da velocidade angular
Equação
Como o tempo ($t$) é a derivada de o ângulo ($\theta$) em relação a la velocidade angular instantânea ($\omega$), ou seja,
| $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
,
a integração de o tempo ($t$) entre o tempo inicial ($t_0$) e o tempo ($t$) corresponderá ao ângulo percorrido entre o ângulo inicial ($\theta_0$) e o ângulo ($\theta$), como demonstrado em
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$ |
ID:(11408, 0)
Velocidade tangencial, forma vetorial
Equação
La velocidade angular instantânea ($\omega$) é definido como um vetor cuja direção coincide com o eixo de rotação. Dado que a rotação o rádio ($r$) e la velocidade angular instantânea ($\omega$) são perpendiculares a la velocidade ($v$), pode ser expressa como o produto vetorial entre la velocidade angular instantânea ($\omega$) e a rotação o rádio ($r$):
| $ v = r \omega $ |
la velocidade ($v$) pode ser escrita em forma vetorial como la velocidade (vector) ($\vec{v}$), resultante do produto cruz entre la velocidade angular ($\vec{\omega}$) e la raio (vetor) ($\vec{r}$):
| $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ |
Aqui está a versão melhorada:
"Dado que la velocidade ($v$) é com la velocidade angular instantânea ($\omega$) e o rádio ($r$), igual a
| $ v = r \omega $ |
podemos calcular la velocidade (vector) ($\vec{v}$) usando o produto cruzado com o vetor do eixo, denotado por $\hat{n}$, e o vetor radial, denotado por $\hat{r}$:
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
Portanto, se definirmos
$\vec{v}=v\hat{t}$
,
$\vec{r}=r\hat{r}$
e
$\vec{\omega}=\omega\hat{n}$
,
então podemos expressar a velocidade como
$\vec{v}=v\hat{t}=v\hat{n}\times\hat{r}=r\omega\hat{n}\times\hat{r}=\vec{\omega}\times\vec{r}$
ou seja
| $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ |
ID:(11597, 0)
Velocidade angular instantânea em mais dimensões
Equação
Em geral, la velocidade angular instantânea ($\omega$) deve ser entendido como uma entidade tridimensional, ou seja, um vetor la velocidade angular ($\vec{\omega}$). Cada componente pode ser definida como a derivada de o ângulo ($\theta$) em relação a o tempo ($t$):
| $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
Assim, pode-se expressá-lo com a derivada em relação a o tempo ($t$) de o ângulo (vetor) ($\vec{\theta}$) como la velocidade angular ($\vec{\omega}$):
| $ \vec{\omega} = \displaystyle\frac{ d\vec{\theta} }{ dt }$ |
ID:(9878, 0)