Storyboard

Para alcançar uma determinada velocidade, um objeto primeiro deve ter aumentado sua velocidade desde o repouso. Esse processo é chamado de aceleração e é definido em função da variação da velocidade ao longo do tempo. Por outro lado, se o objetivo for reduzir a velocidade ou até mesmo parar o objeto, também é introduzida uma aceleração, mas com o sinal oposto ao da velocidade (se tiver velocidade positiva, a aceleração é negativa e vice-versa), o que é chamado de frenagem.

>Modelo

ID:(609, 0)

Conceito

>Top

A estrutura geral do modelo de la aceleração constante ($a_0$) é tal que, por um lado, iguala-se a la aceleração média ($\bar{a}$), estabelecendo assim a relação entre la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$).

Por outro lado, existem três relações em torno de la aceleração constante ($a_0$) onde este se associa a la velocidade ($v$) e o tempo ($t$) ($v, t$), a la posição ($s$) e o tempo ($t$) ($s, t$), ou la posição ($s$) e la velocidade ($v$) ($s, v$):



Por fim, essas relações estão associadas a parâmetros que não são mostrados, sendo eles la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$) e o tempo inicial ($t_0$), e dependendo do sistema de coordenadas utilizado, podem ser definidos como nulos. Isso significa iniciar o movimento na origem ($s_0=0$), começar a medir a partir da origem do tempo ($t_0=0$), e a origem do sistema de coordenadas estar em repouso em relação ao observador, portanto não há velocidade inicial ($v_0=0$).

ID:(15389, 0)

Conceito

>Top

Quando a velocidade não é constante, é interessante saber como ela está aumentando / diminuindo. Para isso, é importante conhecer a variação da velocidade por unidade de tempo, o que chamamos de aceleração ou desaceleração, dependendo se é um aumento ou uma diminuição dela.

Se viajarmos a uma velocidade de 100 km/h e reduzirmos a velocidade em 10 km/h a cada segundo, sabemos que vamos parar em 10 segundos.

Isso se baseia na medição da variação da velocidade e na variação do tempo.

ID:(11347, 0)

Conceito

>Top

Quando a aceleração é constante, a variação da velocidade, representada por la velocidade ($v$), muda linearmente em função de o tempo ($t$). Isso pode ser calculado usando la velocidade inicial ($v_0$), la aceleração constante ($a_0$) e o tempo inicial ($t_0$), resultando na equação:

Essa relação é representada graficamente como uma linha reta, conforme mostrado abaixo:

ID:(2253, 0)

Conceito

>Top

Se considerarmos uma área de largura $\Delta t$ em um gráfico de velocidade versus tempo, isso corresponde ao caminho percorrido durante esse tempo:

No caso particular em que a aceleração é constante, a velocidade é representada no gráfico de velocidade versus tempo como uma reta. Isso é definido pela equação:

e é graficamente representado da seguinte forma:

Como a área sob a curva pode ser representada como um retângulo com área

$v_0(t-t_0)$

e um triângulo com área

$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$

Portanto, o caminho percorrido, la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$), calculado a partir de la posição ($s$) e la velocidade ($s_0$), é dado por:

o que significa que la posição ($s$) é igual a:

ID:(4828, 0)

Conceito

>Top

Se resolvermos a equação de la velocidade ($v$) para la aceleração constante ($a_0$) com la velocidade inicial ($v_0$) e o tempo inicial ($t_0$):

e a substituirmos na equação de la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$):

obtemos o caminho em função da velocidade:

Dessa relação, é evidente que tanto o caminho de aceleração quanto o de frenagem dependem do quadrado da velocidade final/inicial. Em outras palavras, dobrar a velocidade requer um caminho quatro vezes mais longo.

ID:(14461, 0)

Descrição

>Top

Se a velocidade for grafada como uma reta entre a velocidade em O e aquela em A:

observa-se que a velocidade aumentou ao longo do tempo transcorrido. Portanto, a inclinação do gráfico de velocidade em relação ao tempo corresponde à aceleração.

Se a inclinação for maior, isso significa que houve um aumento de velocidade em menos tempo, o que corresponde a uma maior aceleração.

Se a inclinação for menor, isso significa que houve um aumento de velocidade em mais tempo, o que corresponde a uma menor aceleração.

ID:(11346, 0)

Descrição

>Top

Um tipo de cenário no gráfico de velocidade vs. tempo são os segmentos horizontais:

Se observarmos o segmento AB, podemos ver que, apesar da passagem do tempo, a velocidade não mudou. Isso significa que o objeto está viajando com velocidade constante (cuidado, isso NÃO significa que tenha parado). Portanto, segmentos horizontais, que correspondem a uma inclinação zero, correspondem a estágios onde a aceleração é zero.

ID:(11348, 0)

Descrição

>Top

No caso do gráfico em que um segmento tem inclinação negativa:

ocorre uma situação em que a velocidade diminui entre B e C, voltando ao valor zero. Em outras palavras, inclinações negativas correspondem, neste caso, a um processo de frenagem.

Para velocidades positivas, inclinações negativas correspondem a um processo de frenagem. No entanto, para velocidades negativas, uma inclinação negativa corresponde a um aumento na velocidade negativa e, portanto, a uma aceleração. No caso de velocidades negativas, a aceleração positiva corresponde a um processo de frenagem.

Um processo de frenagem é aquele cuja aceleração tem sinal oposto ao da velocidade.

ID:(11350, 0)

Descrição

>Top

Para o caso de la aceleração constante ($a_0$), la posição ($s$) é uma função de o tempo ($t$), expressa em relação a la velocidade inicial ($v_0$), la velocidade ($s_0$) e o tempo inicial ($t_0$):

que corresponde a uma parábola:

A parábola é normal se a aceleração for positiva ($a_0>0$) e invertida se for negativa ($a_0<0$).

Se $v_0/a_0$ for positivo, o mínimo ($a_0>0$) ou máximo ($a_0<0$) ocorre antes do tempo inicial, então a evolução não mostrará uma mudança de sinal na velocidade, pois a inclinação da curva não muda de sinal.

Se $v_0/a_0$ for negativo, o mínimo ($a_0>0$) ou máximo ($a_0<0$) ocorre após o tempo inicial, resultando em uma inversão do movimento no futuro.

No caso de ser um mínimo ($a_0>0$), ele está localizado em uma posição abaixo da posição inicial por uma distância de $v_0^2/2a_0$. Da mesma forma, se for um máximo ($a_0<0$), estará localizado em uma posição acima da posição inicial por uma distância de $v_0^2/2a_0$.

ID:(2823, 0)

Conceito

>Top

Uma situação comum é quando a aceleração é constante, o que significa que a velocidade aumenta proporcionalmente ao tempo decorrido.

Portanto la aceleração constante ($a_0$),

$a_0=g$

Um exemplo de aceleração constante é a aceleração devida à gravidade experimentada por objetos que caem sobre a superfície do planeta. Na superfície da Terra, esta aceleração é de $9,8 m/s^2$ e é geralmente designada pela letra $g$. De fato, existe uma unidade de medida chamada $g$ que corresponde a $9,8 m/s^2$.

ID:(11351, 0)

Conceito

>Top

Um corpo que se desloca a uma velocidade constante não experimenta aceleração.

Portanto, no caso em que la aceleração constante ($a_0$) é nulo,

$a_0=0$

la posição ($s$), com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$),

reduz-se ao caso de velocidade constante:

ID:(11349, 0)

Conceito

>Top

Se la aceleração constante ($a_0$) for igualado a la aceleração média ($\bar{a}$), a definição de la aceleração média ($\bar{a}$) é associada com la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$), e por outro lado, a linha que permite o cálculo de la velocidade ($v$) em termos de la velocidade inicial ($v_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) é considerada. Usando a relação de velocidade, la posição ($s$) pode ser calculado com base em la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$), ou com base em la velocidade ($s_0$), la velocidade ($v$) e la velocidade inicial ($v_0$). Ambas as equações incluem la aceleração constante ($a_0$). Por fim, la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$), o tempo decorrido ($\Delta t$) e la diferença de velocidade ($\Delta v$) são incluídos, nos quais o valor final é subtraído do valor inicial:

Parâmetro selecionado

Cálculos

ID:(15390, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A aceleração corresponde à variação da velocidade por unidade de tempo.

Portanto, é necessário definir la diferença de velocidade ($\Delta v$) em função de la velocidade ($v$) e la velocidade inicial ($v_0$) como:

$ \Delta v \equiv v - v_0 $

Condições

Variáveis

$\Delta v$

Diferença de velocidade

$m/s$

$v$

Velocidade

$m/s$

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

Relação

ID:(4355, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para descrever o movimento de um objeto, precisamos calcular o tempo decorrido. Essa magnitude é obtida medindo o tempo inicial e o tempo final do movimento. A duração é determinada subtraindo o tempo inicial do tempo final.

Isso é representado matematicamente como

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Condições

Variáveis

$t$

Tempo

$s$

$\Delta t$

Tempo decorrido

$s$

$t_0$

Tempo inicial

$s$

Relação

onde $\Delta t$ é a duração, $t$ é o tempo final e $t_0$ é o tempo inicial.

ID:(4353, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A proporção na qual a variação da velocidade ao longo do tempo é definida como la aceleração média ($\bar{a}$). Para medi-la, é necessário observar la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$).

Um método comum para medir a aceleração média envolve o uso de uma lâmpada estroboscópica que ilumina o objeto em intervalos definidos. Ao tirar uma fotografia, pode-se determinar a distância percorrida pelo objeto nesse tempo. Calculando duas velocidades consecutivas, pode-se determinar sua variação e, com o tempo decorrido entre as fotos, a aceleração média.

A equação que descreve a aceleração média é a seguinte:

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$

Condições

Variáveis

$\bar{a}$

Aceleração média

$m/s^2$

$\Delta v$

Diferença de velocidade

$m/s$

$\Delta t$

Tempo decorrido

$s$

Relação

Desenvolvimento

A definição de la aceleração média ($\bar{a}$) é considerada como a relação entre la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$). Ou seja,

$ \Delta v \equiv v - v_0 $

e

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

A relação entre ambos é definida como la aceleração centrífuga ($a_c$)

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$

dentro desse intervalo de tempo.

É importante notar que a aceleração média é uma estimativa da aceleração real.

O principal problema é que se a aceleração variar durante o tempo decorrido, o valor da aceleração média pode diferir muito da aceleração média real.

Portanto, a chave é

Determinar a aceleração em um período de tempo suficientemente curto para minimizar a variação.

ID:(3678, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se a aceleração não variar, la aceleração média ($\bar{a}$) será igual a la aceleração constante ($a_0$), o que é expresso como:

$ a_0 = \bar{a} $

Condições

Variáveis

$a_0$

Aceleração constante

$m/s^2$

$\bar{a}$

Aceleração média

$m/s^2$

Relação

ID:(10296, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se la aceleração constante ($a_0$), então la aceleração média ($\bar{a}$) é igual ao valor da aceleração, ou seja,

.

Neste caso, la velocidade ($v$) como função de o tempo ($t$) pode ser calculada lembrando que está associada à diferença entre la velocidade ($v$) e la velocidade inicial ($v_0$), bem como o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$).

$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$

Condições

Variáveis

$a_0$

Aceleração constante

$m/s^2$

$t$

Tempo

$s$

$t_0$

Tempo inicial

$s$

$v$

Velocidade

$m/s$

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

No caso em que la aceleração constante ($a_0$) é igual a la aceleração média ($\bar{a}$), será igual a

$ a_0 = \bar{a} $

.

Portanto, se considerarmos la diferença de velocidade ($\Delta v$) como

$ \Delta v \equiv v - v_0 $

e o tempo decorrido ($\Delta t$) como

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

,

temos que a equação para la aceleração constante ($a_0$)

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$

pode ser escrita como

$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$

portanto, ao rearranjarmos, obtemos

$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$

.

Dessa forma, a equação representa uma linha reta no espaço velocidade-tempo.

ID:(3156, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de uma aceleração constante ($a_0$), la velocidade ($v$) varia de forma linear com o tempo ($t$), usando la velocidade inicial ($v_0$) e o tempo inicial ($t_0$):

Portanto, podemos calcular a área sob essa reta, o que nos leva a la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$), permitindo calcular la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), resultando em:

$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

Condições

Variáveis

$a_0$

Aceleração constante

$m/s^2$

$s$

Posição

$m$

$t$

Tempo

$s$

$t_0$

Tempo inicial

$s$

$s_0$

Velocidade

$m$

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

No caso de la aceleração constante ($a_0$), la velocidade ($v$) em função de o tempo ($t$) é uma reta que passa por o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade inicial ($v_0$) da forma:

$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$

Como la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) é igual à área sob a curva velocidade-tempo, podemos somar a contribuição do retângulo:

$v_0(t-t_0)$

e do triângulo:

$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$

Com isso, obtemos com la posição ($s$) e la velocidade ($s_0$):

$ \Delta s \equiv s - s_0 $

Resultando em:

$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

Isso corresponde à forma geral de uma parábola.

ID:(3157, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de uma aceleração constante, podemos calcular la posição ($s$) a partir de la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) com a seguinte equação:

Isso nos permite calcular a relação entre a distância percorrida durante a aceleração/desaceleração em função da mudança de velocidade:

$ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$

Condições

Variáveis

$a_0$

Aceleração constante

$m/s^2$

$s$

Posição

$m$

$s_0$

Velocidade

$m$

$v$

Velocidade

$m/s$

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Se resolvermos as equações para o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) na equação de la velocidade ($v$), que depende de la velocidade inicial ($v_0$) e la aceleração constante ($a_0$):

$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$

obtemos:

$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$

Então, substituindo essa expressão na equação de la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$):

$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

obtemos uma expressão do caminho percorrido em função da velocidade:

$ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$

ID:(3158, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Podemos calcular la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) a partir de la velocidade ($s_0$) y la posição ($s$) usando a seguinte equação:

$ \Delta s \equiv s - s_0 $

Condições

Variáveis

$\Delta s$

Distância percorrida em um tempo

$m$

$s$

Posição

$m$

$s_0$

Velocidade

$m$

Relação

ID:(4352, 0)