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A velocidade média é definida considerando a distância percorrida durante um intervalo de tempo decorrido, sem levar em conta as possíveis flutuações na velocidade.

Para determinar a velocidade em um instante específico, é necessário considerar um intervalo de tempo infinitesimalmente pequeno, de modo que a velocidade permaneça quase constante dentro desse intervalo.

Isso leva ao cálculo da velocidade instantânea ao computar a velocidade média no limite em que o intervalo de tempo se aproxima de zero. Matematicamente, isso corresponde à derivada da posição em relação ao tempo e representa a inclinação da curva posição-tempo.

>Modelo

ID:(1432, 0)

Conceito

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Por um lado, é importante diferenciar entre o caso mais simples, unidimensional, e aquele mais complexo envolvendo mais de uma dimensão. Em ambos os casos, a derivada de la posição ($s$) em relação a o tempo ($t$), que corresponde à inclinação da curva de la posição ($s$), é igual a la velocidade ($v$). Da mesma forma, a derivada de la posição (vector) ($\vec{s}$) em relação a o tempo ($t$), corresponde a la velocidade (vector) ($\vec{v}$).

Por outro lado, a área sob a curva de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$), que corresponde à integração, nos permite calcular la posição ($s$).

ID:(15393, 0)

Conceito

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La velocidade ($v$) é definido como o deslocamento por unidade de tempo. No entanto, esse conceito se reduz a uma velocidade média ($\bar{v}$) que existe durante o intervalo de tempo considerado.

A limitação da velocidade média é refletida no fato de que se assume que um objeto passa instantaneamente do repouso para ter uma velocidade dada. É como se um ônibus, assim que sai do terminal, passasse a ter uma velocidade constante, o que é totalmente absurdo. A velocidade evolui, aumenta, diminui (semáforo, passageiros subindo) e lentamente aumenta até atingir um valor mais ou menos constante quando viaja em uma estrada. Assim, um ônibus que normalmente viaja a 100 km/h na estrada levará mais de 8 horas para percorrer 800 km, pois as flutuações de velocidade devem ser consideradas. No final, terá levado 10 horas para percorrer 800 km, viajando a uma velocidade média de 80 km/h.

Se deseja conhecer a velocidade em cada instante, deve-se considerar um intervalo de tempo tão pequeno que, durante este intervalo, a velocidade pode ser considerada aproximadamente constante. Com isso, a velocidade média estimada desta forma equivale à velocidade existente no instante considerado.

Por isso, falamos de velocidade instantânea.

ID:(16, 0)

Conceito

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Se tomarmos um tempo ($t$) com uma posição ($s$) ($s(t)$) e observarmos um ponto em um tempo futuro $t+\Delta t$ com uma posição $s(t+\Delta t)$, podemos estimar a velocidade como a distância percorrida no tempo $\Delta t$:

$s(t+\Delta t)-s(t)$

la velocidade ($v$) pode ser calculado dividindo a distância percorrida pelo tempo decorrido:

$v\sim\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$

À medida que o valor de $\Delta t$ diminui, a velocidade calculada se aproxima da tangente à curva de posição no tempo:

Isso generaliza o que já foi visto para o caso de velocidade constante.

ID:(1638, 0)

Conceito

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A integral de la velocidade ($v$) corresponde à área sob a curva que define essa função. Portanto, a integral da velocidade entre o tempo inicial ($t_0$) e o tempo ($t$) corresponde à distância percorrida entre la velocidade ($s_0$) e la posição ($s$).

Portanto, temos:

O que é representado no seguinte gráfico:

ID:(2242, 0)

Conceito

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Para movimentos que ocorrem em mais de uma dimensão, a descrição do movimento em uma dimensão deve ser generalizada. Isso é alcançado trabalhando com uma versão de múltiplas dimensões para a posição. No caso de três dimensões, isso é representado por:

$s \rightarrow \vec{s} = (x, y, z)$

De forma análoga, a derivada do vetor no tempo pode ser definida, o que resulta no vetor velocidade:

$v=\displaystyle\frac{ds}{dt} \rightarrow \displaystyle\frac{d\vec{s}}{dt} = \left(\displaystyle\frac{dx}{dt}, \displaystyle\frac{dy}{dt}, \displaystyle\frac{dz}{dt}\right) = (v_x, v_y, v_z) = \vec{v}$

Isso pode ser resumido na seguinte representação gráfica:

ID:(15506, 0)

Conceito

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No caso de uma dimensão, la velocidade ($v$) está relacionada com la posição ($s$) através de sua derivada em o tempo ($t$), enquanto a integral de la velocidade ($v$) no intervalo de o tempo ($t$) a o tempo inicial ($t_0$) fornece la posição ($s$) a partir de la velocidade ($s_0$). Em um contexto mais geral, em mais de uma dimensão, a função la posição (vector) ($\vec{s}$) pode ser derivada em o tempo ($t$), resultando em la velocidade (vector) ($\vec{v}$).

Parâmetro selecionado

Cálculos

ID:(15391, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La velocidade ($v$) instantânea, determinada pela relação entre la distância infinitesimal percorrida ($ds$) e la variação infinitesimal do tempo ($dt$), fornece uma estimativa mais precisa da velocidade real em qualquer momento de o tempo ($t$), em comparação com la velocidade média ($\bar{v}$), que é calculada a partir de la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) através da equação:

Isso é alcançado através da derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:

$ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$

Condições

Variáveis

$s$

Posição

$m$

$t$

Tempo

$s$

$v$

Velocidade

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Se considerarmos o caminho percorrido como a diferença de posição entre o tempo $t+\Delta t$ e o tempo $t$:

$\Delta s = s(t+\Delta t)-s(t)$

e tomarmos $\Delta t$ como o tempo decorrido, então no limite de tempos infinitesimalmente curtos, a velocidade média pode ser expressa como:

$v_m=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{ds}{dt}$

Esta última expressão corresponde à derivada da função de posição $s(t)$:

$ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$

que, por sua vez, é a inclinação da representação gráfica dessa função ao longo do tempo.

Dessa forma, a velocidade instantânea la velocidade ($v$) de la posição ($s$) é conhecida a qualquer momento de o tempo ($t$) com maior precisão.

ID:(3153, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se a velocidade corresponde à derivada temporal (= no tempo) da posição

a integração da velocidade corresponderá ao caminho percorrido. Isso pode ser expresso matematicamente como:

$ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$

Condições

Variáveis

$s$

Posição

$m$

$t$

Tempo

$s$

$t_0$

Tempo inicial

$s$

$s_0$

Velocidade

$m$

$v$

Velocidade

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Na definição da velocidade, integrar ao longo do tempo produz

$ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$

o que significa que durante um intervalo de tempo dt, a distância percorrida é

$ds = v dt$

Se considerarmos N intervalos de tempo dt_i com as respectivas velocidades v_i, a distância total percorrida é

$s - s_0 = \displaystyle\sum_i v_i dt_i$

Na curva velocidade-tempo, os elementos v_i dt_i correspondem a retângulos com altura v_i e largura dt_i. Assim, a soma pode ser expressa como a área sob a curva velocidade-tempo, permitindo-nos escrever a soma como uma integral:

$ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$

ID:(10308, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Em geral, a velocidade deve ser entendida como uma entidade tridimensional, ou seja, um vetor. Sua posição é descrita por um vetor posição vec{x}, para o qual cada componente pode ser definido por:

Isso permite a generalização da velocidade:

$ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$

Condições

Variáveis

$\vec{s}$

Posição (vector)

$m$

$t$

Tempo

$s$

$\vec{v}$

Velocidade (vector)

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Sendo um vetor, a velocidade pode ser expressa como uma matriz de suas diferentes componentes:

$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}$

e sua derivada pode ser expressa como a derivada de cada uma de suas componentes:

$\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{d v_x}{dt}\displaystyle\frac{d v_y}{dt}\displaystyle\frac{d v_z}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x\a_y\a_z\end{pmatrix}=\vec{a}$

Assim, em geral, a velocidade instantânea em mais de uma dimensão é um vetor com componentes em cada uma das direções:

$ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$

ID:(4354, 0)