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Interceptar em velocidade angular constante

Storyboard

Os objetos podem se interceptar quando coincidem em ângulo em um mesmo momento. Para alcançar isso, eles devem se deslocar a partir de seus respectivos ângulos iniciais com velocidades angulares que lhes permitam coincidir em ângulo e tempo no final da viagem.

>Modelo

ID:(1450, 0)



Mecanismos

Iframe

>Top



Código
Conceito
Ângulo e tempo de interceptação
Ângulos e durações de viagem
Interceptação

Mecanismos

ID:(15411, 0)



Conceito de interceptação

Top

>Top


No caso de uma interseção, trata-se de dois corpos que se movem de tal forma que se encontrarão em ângulo de intersecção ($\theta$) no tempo um tempo de interseção ($t$).

Para alcançar isso, cada corpo:

• Começa seu deslocamento em o tempo inicial do primeiro objeto ($t_1$) em o ângulo inicial do primeiro corpo ($\theta_1$) com uma velocidade angular do corpo 1 ($\omega_1$).
• Começa seu deslocamento em o tempo inicial do segundo objeto ($t_2$) em o ângulo inicial do segundo corpo ($\theta_2$) com uma velocidade angular do corpo 2 ($\omega_2$).

Essas condições devem ser cumpridas para alcançar a interseção.

Com isso, os diagramas de ângulo-tempo podem ser sobrepostos como mostrado na seguinte representação:

ID:(15517, 0)



Ângulos e durações de viagem

Top

>Top


No caso de uma interseção ou colisão entre dois objetos, é comum que la velocidade angular do corpo 1 ($\omega_1$) e la velocidade angular do corpo 2 ($\omega_2$) precisem ser configurados de forma que coincidam.

Isso significa que o ângulo percorrido pelo primeiro corpo ($\Delta\theta_1$) e la tempo de percurso do primeiro objeto ($\Delta t_1$) devem resultar em uma velocidade angular do corpo 1 ($\omega_1$),

$ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$



de modo que com o ângulo percorrido pelo segundo corpo ($\Delta\theta_2$) e la tempo de percurso do segundo objeto ($\Delta t_2$) obtemos uma velocidade angular do corpo 2 ($\omega_2$),

$ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$



para que finalmente coincidam em tempo e espaço (posição):

ID:(15516, 0)



Ângulo e tempo de interceptação

Top

>Top


No caso de um movimento em que dois objetos se interceptam, como la ângulo de intersecção ($\theta$) e o tempo de interseção ($t$), é comum para ambos. Portanto, se para o primeiro objeto o tempo inicial do primeiro objeto ($t_1$) e o ângulo inicial do primeiro corpo ($\theta_1$) com la velocidade angular do corpo 1 ($\omega_1$) forem atendidos:

$ \theta = \theta_1 + \omega_1 ( t - t_1 )$



e para o segundo objeto o tempo inicial do segundo objeto ($t_2$) e o ângulo inicial do segundo corpo ($\theta_2$) com la velocidade angular do corpo 2 ($\omega_2$) forem atendidos:

$ \theta = \theta_2 + \omega_2 ( t - t_2 )$



que é representado como:

ID:(15518, 0)



Modelo

Top

>Top



Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
$\Delta\theta$
Dtheta
Diferença de ângulos
rad
$r$
r
Rádio
m

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
$\theta$
theta
Ângulo de intersecção
rad
$\theta_1$
theta_1
Ângulo inicial do primeiro corpo
rad
$\theta_2$
theta_2
Ângulo inicial do segundo corpo
rad
$\Delta\theta_1$
Dtheta_1
Ângulo percorrido pelo primeiro corpo
rad
$\Delta\theta_2$
Dtheta_2
Ângulo percorrido pelo segundo corpo
rad
$t$
t
Tempo de interseção
s
$\Delta t_1$
Dt_1
Tempo de percurso do primeiro objeto
s
$\Delta t_2$
Dt_2
Tempo de percurso do segundo objeto
s
$t_1$
t_1
Tempo inicial do primeiro objeto
s
$t_2$
t_2
Tempo inicial do segundo objeto
s
$\omega_1$
omega_1
Velocidade angular do corpo 1
rad/s
$\omega_2$
omega_2
Velocidade angular do corpo 2
rad/s
$v_1$
v_1
Velocidade do primeiro objeto
m/s
$v_2$
v_2
Velocidade do segundo objeto
m/s

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado




Equações

#
Equação

$ \Delta t_1 \equiv t - t_1 $

Dt = t - t_0


$ \Delta t_2 \equiv t - t_2 $

Dt = t - t_0


$ \Delta\theta_1 = \theta - \theta_1 $

Dtheta = theta - theta_0


$ \Delta\theta_2 = \theta - \theta_2 $

Dtheta = theta - theta_0


$ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$

omega_m = Dtheta / Dt


$ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$

omega_m = Dtheta / Dt


$ \theta = \theta_1 + \omega_1 ( t - t_1 )$

theta = theta_0 + omega_0 * ( t - t_0 )


$ \theta = \theta_2 + \omega_2 ( t - t_2 )$

theta = theta_0 + omega_0 * ( t - t_0 )


$ v_1 = r \omega_1 $

v = r * omega


$ v_2 = r \omega_2 $

v = r * omega

ID:(15422, 0)



Diferença de ângulos (1)

Equação

>Top, >Modelo


Para descrever a rotação de um objeto, precisamos determinar la variação de ângulo ($\Delta\theta$). Isso é feito subtraindo o ângulo inicial ($\theta_0$) do valor alcançado pelo objeto durante sua rotação, que é O ângulo ($\theta$):

$ \Delta\theta = \theta - \theta_1 $

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $

$\theta$
$\theta$
Ângulo de intersecção
$rad$
10307
$\theta_0$
$\theta_1$
Ângulo inicial do primeiro corpo
$rad$
10308
$\Delta\theta$
Diferença de ângulos
$rad$
5299

ID:(3680, 1)



Diferença de ângulos (2)

Equação

>Top, >Modelo


Para descrever a rotação de um objeto, precisamos determinar la variação de ângulo ($\Delta\theta$). Isso é feito subtraindo o ângulo inicial ($\theta_0$) do valor alcançado pelo objeto durante sua rotação, que é O ângulo ($\theta$):

$ \Delta\theta = \theta - \theta_2 $

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $

$\theta$
$\theta$
Ângulo de intersecção
$rad$
10307
$\theta_0$
$\theta_2$
Ângulo inicial do segundo corpo
$rad$
10309
$\Delta\theta$
Diferença de ângulos
$rad$
5299

ID:(3680, 2)



Tempo decorrido (1)

Equação

>Top, >Modelo


Para descrever o movimento de um objeto, precisamos calcular o tempo decorrido ($\Delta t$). Essa magnitude é obtida medindo o tempo inicial ($t_0$) e o o tempo ($t$) desse movimento. A duração é determinada subtraindo o tempo inicial do tempo final:

$ \Delta t_1 \equiv t - t_1 $

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

$t$
$t$
Tempo de interseção
$s$
10259
$\Delta t$
$\Delta t_1$
Tempo de percurso do primeiro objeto
$s$
10256
$t_0$
$t_1$
Tempo inicial do primeiro objeto
$s$
10252

ID:(4353, 1)



Tempo decorrido (2)

Equação

>Top, >Modelo


Para descrever o movimento de um objeto, precisamos calcular o tempo decorrido ($\Delta t$). Essa magnitude é obtida medindo o tempo inicial ($t_0$) e o o tempo ($t$) desse movimento. A duração é determinada subtraindo o tempo inicial do tempo final:

$ \Delta t_2 \equiv t - t_2 $

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

$t$
$t$
Tempo de interseção
$s$
10259
$\Delta t$
$\Delta t_2$
Tempo de percurso do segundo objeto
$s$
10257
$t_0$
$t_2$
Tempo inicial do segundo objeto
$s$
10253

ID:(4353, 2)



Ângulo para velocidade angular constante (1)

Equação

>Top, >Modelo


No caso em que a velocidade angular é constante, la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) coincide com o valor de la velocidade angular inicial ($\omega_0$), então

$ \bar{\omega} = \omega_0 $



Nesse cenário, podemos calcular o ângulo percorrido em função do tempo lembrando que ele está associado à diferença entre os ângulos atual e inicial, bem como o tempo atual e o inicial. Portanto, o ângulo ($\theta$) é igual a o ângulo inicial ($\theta_0$), la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) conforme mostrado abaixo:

$ \theta = \theta_1 + \omega_1 ( t - t_1 )$

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

$\theta$
$\theta$
Ângulo de intersecção
$rad$
10307
$\theta_0$
$\theta_1$
Ângulo inicial do primeiro corpo
$rad$
10308
$t$
$t$
Tempo de interseção
$s$
10259
$t_0$
$t_1$
Tempo inicial do primeiro objeto
$s$
10252
$\omega_0$
$\omega_1$
Velocidade angular do corpo 1
$rad/s$
10312

No caso em que la velocidade angular inicial ($\omega_0$) é igual a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$),

$ \bar{\omega} = \omega_0 $



Portanto, com la diferença de ângulos ($\Delta\theta$), que é igual a o ângulo ($\theta$) dividido por o ângulo inicial ($\theta_0$), obtemos:

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $



E com o tempo decorrido ($\Delta t$), que é igual a o tempo ($t$) dividido por o tempo inicial ($t_0$), obtemos:

$ \Delta t \equiv t - t_0 $



Podemos reescrever a equação para la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) como:

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$



Isso pode ser expresso como:

$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$



Ao resolver, obtemos:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

A equação representa uma reta no espaço ângulo-tempo.

ID:(1023, 1)



Ângulo para velocidade angular constante (2)

Equação

>Top, >Modelo


No caso em que a velocidade angular é constante, la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) coincide com o valor de la velocidade angular inicial ($\omega_0$), então

$ \bar{\omega} = \omega_0 $



Nesse cenário, podemos calcular o ângulo percorrido em função do tempo lembrando que ele está associado à diferença entre os ângulos atual e inicial, bem como o tempo atual e o inicial. Portanto, o ângulo ($\theta$) é igual a o ângulo inicial ($\theta_0$), la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) conforme mostrado abaixo:

$ \theta = \theta_2 + \omega_2 ( t - t_2 )$

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

$\theta$
$\theta$
Ângulo de intersecção
$rad$
10307
$\theta_0$
$\theta_2$
Ângulo inicial do segundo corpo
$rad$
10309
$t$
$t$
Tempo de interseção
$s$
10259
$t_0$
$t_2$
Tempo inicial do segundo objeto
$s$
10253
$\omega_0$
$\omega_2$
Velocidade angular do corpo 2
$rad/s$
10313

No caso em que la velocidade angular inicial ($\omega_0$) é igual a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$),

$ \bar{\omega} = \omega_0 $



Portanto, com la diferença de ângulos ($\Delta\theta$), que é igual a o ângulo ($\theta$) dividido por o ângulo inicial ($\theta_0$), obtemos:

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $



E com o tempo decorrido ($\Delta t$), que é igual a o tempo ($t$) dividido por o tempo inicial ($t_0$), obtemos:

$ \Delta t \equiv t - t_0 $



Podemos reescrever a equação para la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) como:

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$



Isso pode ser expresso como:

$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$



Ao resolver, obtemos:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

A equação representa uma reta no espaço ângulo-tempo.

ID:(1023, 2)



Velocidade angular média (1)

Equação

>Top, >Modelo


Para estimar o deslocamento de um objeto, é necessário conhecer sua la velocidade angular ($\omega$) em função de o tempo ($t$). Portanto, introduz-se a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$), definida como a proporção entre la variação de ângulo ($\Delta\theta$) e o tempo decorrido ($\Delta t$).

Para medir isso, pode-se utilizar um sistema como o mostrado na imagem:



Para determinar a velocidade angular média, um elemento refletor é colocado no eixo ou em um disco com vários elementos refletores, e o movimento é registrado para estimar o comprimento do arco $\Delta s$ e o ângulo associado ao raio $r$. Em seguida, a diferença de tempo quando a marca passa diante do sensor é registrada como $\Delta t$. A velocidade angular média é determinada dividindo-se o ângulo percorrido pelo tempo decorrido.



A equação que descreve a velocidade angular média é:

$ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

$\Delta\theta$
$\Delta\theta_1$
Ângulo percorrido pelo primeiro corpo
$rad$
10310
$\Delta t$
$\Delta t_1$
Tempo de percurso do primeiro objeto
$s$
10256
$\bar{\omega}$
$\omega_1$
Velocidade angular do corpo 1
$rad/s$
10312

A definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) é considerada como la variação de ângulo ($\Delta\theta$),

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $



e o tempo decorrido ($\Delta t$),

$ \Delta t \equiv t - t_0 $



A relação entre ambos é definida como la velocidade angular média ($\bar{\omega}$):

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$



Deve-se notar que a velocidade média é uma estimativa da velocidade angular real. O principal problema é que:

Se a velocidade angular varia durante o tempo decorrido, o valor da velocidade angular média pode ser muito diferente da velocidade angular média.



Portanto, a chave é:

Determinar a velocidade em um tempo decorrido suficientemente curto para minimizar sua variação.

ID:(3679, 1)



Velocidade angular média (2)

Equação

>Top, >Modelo


Para estimar o deslocamento de um objeto, é necessário conhecer sua la velocidade angular ($\omega$) em função de o tempo ($t$). Portanto, introduz-se a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$), definida como a proporção entre la variação de ângulo ($\Delta\theta$) e o tempo decorrido ($\Delta t$).

Para medir isso, pode-se utilizar um sistema como o mostrado na imagem:



Para determinar a velocidade angular média, um elemento refletor é colocado no eixo ou em um disco com vários elementos refletores, e o movimento é registrado para estimar o comprimento do arco $\Delta s$ e o ângulo associado ao raio $r$. Em seguida, a diferença de tempo quando a marca passa diante do sensor é registrada como $\Delta t$. A velocidade angular média é determinada dividindo-se o ângulo percorrido pelo tempo decorrido.



A equação que descreve a velocidade angular média é:

$ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

$\Delta\theta$
$\Delta\theta_2$
Ângulo percorrido pelo segundo corpo
$rad$
10311
$\Delta t$
$\Delta t_2$
Tempo de percurso do segundo objeto
$s$
10257
$\bar{\omega}$
$\omega_2$
Velocidade angular do corpo 2
$rad/s$
10313

A definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) é considerada como la variação de ângulo ($\Delta\theta$),

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $



e o tempo decorrido ($\Delta t$),

$ \Delta t \equiv t - t_0 $



A relação entre ambos é definida como la velocidade angular média ($\bar{\omega}$):

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$



Deve-se notar que a velocidade média é uma estimativa da velocidade angular real. O principal problema é que:

Se a velocidade angular varia durante o tempo decorrido, o valor da velocidade angular média pode ser muito diferente da velocidade angular média.



Portanto, a chave é:

Determinar a velocidade em um tempo decorrido suficientemente curto para minimizar sua variação.

ID:(3679, 2)



Velocidade e velocidade angular (1)

Equação

>Top, >Modelo


Se dividirmos a relação entre la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o rádio ($r$) por la variação de ângulo ($\Delta\theta$),

$ \Delta s=r \Delta\theta $



e então dividirmos isso por o tempo decorrido ($\Delta t$), obtemos a relação que nos permite calcular la velocidade ($v$) ao longo da órbita, conhecida como velocidade tangencial, que está associada a la velocidade angular ($\omega$):

$ v_1 = r \omega_1 $

$ v = r \omega $

$r$
Rádio
$m$
9894
$v$
$v_1$
Velocidade do primeiro objeto
$m/s$
10248
$\omega$
$\omega_1$
Velocidade angular do corpo 1
$rad/s$
10312

Como la velocidade média ($\bar{v}$) é com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$), igual a

$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$



e com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) expresso como arco de um círculo, e o rádio ($r$) e la variação de ângulo ($\Delta\theta$) são

$ \Delta s=r \Delta\theta $



e a definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) é

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$



então,

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$



Como a relação é geral, pode ser aplicada para valores instantâneos, resultando em

$ v = r \omega $

ID:(3233, 1)



Velocidade e velocidade angular (2)

Equação

>Top, >Modelo


Se dividirmos a relação entre la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o rádio ($r$) por la variação de ângulo ($\Delta\theta$),

$ \Delta s=r \Delta\theta $



e então dividirmos isso por o tempo decorrido ($\Delta t$), obtemos a relação que nos permite calcular la velocidade ($v$) ao longo da órbita, conhecida como velocidade tangencial, que está associada a la velocidade angular ($\omega$):

$ v_2 = r \omega_2 $

$ v = r \omega $

$r$
Rádio
$m$
9894
$v$
$v_2$
Velocidade do segundo objeto
$m/s$
10249
$\omega$
$\omega_2$
Velocidade angular do corpo 2
$rad/s$
10313

Como la velocidade média ($\bar{v}$) é com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$), igual a

$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$



e com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) expresso como arco de um círculo, e o rádio ($r$) e la variação de ângulo ($\Delta\theta$) são

$ \Delta s=r \Delta\theta $



e a definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) é

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$



então,

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$



Como a relação é geral, pode ser aplicada para valores instantâneos, resultando em

$ v = r \omega $

ID:(3233, 2)