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Aceleración angular constante, dos etapas
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En el caso de un movimiento acelerado angular en dos etapas, en el momento en que se pasa de la primera a la segunda aceleración angular, la velocidad angular final de la primera etapa se convierte en la velocidad angular inicial de la segunda. Lo mismo ocurre con el ángulo, donde el ángulo final de la primera etapa es igual al ángulo inicial de la segunda etapa.
A diferencia del modelo de dos velocidades angulares, este modelo no presenta problemas de discontinuidad, excepto que la aceleración angular puede cambiar de forma abrupta, lo cual es técnicamente posible aunque muchas veces no tan realista.
ID:(1409, 0)
Aceleración angular constante, dos etapas
Storyboard
En el caso de un movimiento acelerado angular en dos etapas, en el momento en que se pasa de la primera a la segunda aceleración angular, la velocidad angular final de la primera etapa se convierte en la velocidad angular inicial de la segunda. Lo mismo ocurre con el ángulo, donde el ángulo final de la primera etapa es igual al ángulo inicial de la segunda etapa. A diferencia del modelo de dos velocidades angulares, este modelo no presenta problemas de discontinuidad, excepto que la aceleración angular puede cambiar de forma abrupta, lo cual es técnicamente posible aunque muchas veces no tan realista.
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Ecuaciones
La aceleraci n angular media se define como la proporci n del ngulo recorrido
y el tiempo transcurrido
Esta relaci n entre ambos se establece como la aceleraci n angular media
durante dicho intervalo de tiempo.
La aceleraci n angular media se define como la proporci n del ngulo recorrido
y el tiempo transcurrido
Esta relaci n entre ambos se establece como la aceleraci n angular media
durante dicho intervalo de tiempo.
Dado que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) seg n
y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) conforme a
se deduce que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Si asumimos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la aceleración angular constante ($\alpha_0$)
y suponiendo que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la aceleración constante ($a_0$)
entonces se obtiene la siguiente ecuaci n:
Dado que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) seg n
y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) conforme a
se deduce que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Si asumimos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la aceleración angular constante ($\alpha_0$)
y suponiendo que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la aceleración constante ($a_0$)
entonces se obtiene la siguiente ecuaci n:
Si suponemos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es constante, equivalente a la aceleración angular constante ($\alpha_0$), entonces se aplica la siguiente ecuaci n:
Por lo tanto, al considerar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto con la velocidad angular ($\omega$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$):
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) en relaci n con el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):
la ecuaci n para la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
puede expresarse como:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Despejando esta ltima, obtenemos:
Si suponemos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es constante, equivalente a la aceleración angular constante ($\alpha_0$), entonces se aplica la siguiente ecuaci n:
Por lo tanto, al considerar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto con la velocidad angular ($\omega$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$):
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) en relaci n con el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):
la ecuaci n para la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
puede expresarse como:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Despejando esta ltima, obtenemos:
En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) en funci n de el tiempo ($t$) sigue una relaci n lineal con el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la forma:
Dado que el ngulo recorrido es igual al rea bajo la curva de velocidad angular-tiempo, en este caso se puede sumar la contribuci n del rect ngulo:
$\omega_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Esto nos lleva a la expresi n para el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$):
En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) en funci n de el tiempo ($t$) sigue una relaci n lineal con el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la forma:
Dado que el ngulo recorrido es igual al rea bajo la curva de velocidad angular-tiempo, en este caso se puede sumar la contribuci n del rect ngulo:
$\omega_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Esto nos lleva a la expresi n para el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$):
Si resolvemos la ecuaci n de la velocidad angular ($\omega$) en t rminos de tiempo, que incluye las variables la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la aceleración angular constante ($\alpha_0$):
obtenemos la siguiente expresi n para el tiempo:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Esta soluci n puede ser sustituida en la ecuaci n para calcular el ángulo ($\theta$) utilizando el ángulo inicial ($\theta_0$) de la siguiente manera:
Lo que resulta en la siguiente ecuaci n:
Si resolvemos la ecuaci n de la velocidad angular ($\omega$) en t rminos de tiempo, que incluye las variables la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la aceleración angular constante ($\alpha_0$):
obtenemos la siguiente expresi n para el tiempo:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Esta soluci n puede ser sustituida en la ecuaci n para calcular el ángulo ($\theta$) utilizando el ángulo inicial ($\theta_0$) de la siguiente manera:
Lo que resulta en la siguiente ecuaci n:
Ejemplos
En un escenario de movimiento en dos fases, inicialmente el objeto ajusta su velocidad por la diferencia de la variación de velocidades angulares en la primera etapa ($\Delta\omega_1$) durante un per odo de el tiempo transcurrido en la primera etapa ($\Delta t_1$), experimentando una aceleraci n de la aceleración angular durante la primera etapa ($\alpha_1$).
En la segunda fase, el objeto continua modificando su velocidad por la variación de velocidades angulares en la segunda etapa ($\Delta\omega_2$) a lo largo de un intervalo de tiempo el tiempo transcurrido en la segunda etapa ($\Delta t_2$), con una aceleraci n de la aceleración angular durante la segunda etapa ($\alpha_2$).
Al visualizar esto gr ficamente, se obtiene un diagrama de velocidad contra tiempo como el que se muestra a continuaci n:
Es importante notar que los intervalos de tiempo el tiempo transcurrido en la primera etapa ($\Delta t_1$) y el tiempo transcurrido en la segunda etapa ($\Delta t_2$) son consecutivos, as como las diferencias en la velocidad la variación de velocidades angulares en la primera etapa ($\Delta\omega_1$) y la variación de velocidades angulares en la segunda etapa ($\Delta\omega_2$).
En el an lisis de un movimiento segmentado en dos etapas, la primera fase se caracteriza mediante una funci n lineal que incorpora los puntos el tiempo inicial ($t_0$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$), la velocidad angular inicial ($\omega_0$) y la velocidad ángular final primera e inicio segunda etapa ($\omega_1$). Esta se expresa a trav s de una recta con una pendiente de la aceleración angular durante la primera etapa ($\alpha_1$), cuya relaci n matem tica se especifica en la siguiente ecuaci n:
En la transici n a la segunda etapa, la cual est definida por los puntos la velocidad ángular final primera e inicio segunda etapa ($\omega_1$), la velocidad ángular final de la segunda etapa ($\omega_2$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo que finaliza segunda etapa ($t_2$), se adopta una nueva funci n lineal con una pendiente de la aceleración angular durante la segunda etapa ($\alpha_2$). Esta relaci n es delineada por la segunda ecuaci n presentada:
La representaci n gr fica de estas relaciones lineales se ilustra a continuaci n, proporcionando una visualizaci n clara de c mo var a la pendiente entre las dos etapas:
En un escenario de movimiento dividido en dos etapas, el ngulo al final de la primera etapa es el mismo que el ngulo al inicio de la segunda etapa, designado como el ángulo final primera e inició segunda etapa ($\theta_1$).
Asimismo, el momento en que finaliza la primera etapa coincide con el inicio de la segunda etapa, marcado por el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$).
Dado que el movimiento est definido por la aceleraci n angular experimentada, la velocidad angular al final de la primera etapa debe ser igual a la velocidad angular al inicio de la segunda etapa, indicada por la velocidad ángular final primera e inicio segunda etapa ($\omega_1$).
En el contexto de una aceleraci n angular constante, el ngulo en el ángulo final primera e inició segunda etapa ($\theta_1$) se determina por las variables el ángulo inicial ($\theta_0$), la velocidad angular inicial ($\omega_0$), la aceleración angular durante la primera etapa ($\alpha_1$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo inicial ($t_0$), como se muestra en la siguiente ecuaci n:
En la segunda etapa, el ngulo en la ángulo final segunda etapa ($\theta_2$) se calcula en funci n de el ángulo final primera e inició segunda etapa ($\theta_1$), la velocidad ángular final primera e inicio segunda etapa ($\omega_1$), la aceleración angular durante la segunda etapa ($\alpha_2$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo que finaliza segunda etapa ($t_2$), conforme a:
La representaci n gr fica de estas relaciones se ilustra a continuaci n:
La proporci n en la que la variaci n de la velocidad angular a lo largo del tiempo se define como la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$). Para medirla, es necesario observar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
La ecuaci n que describe la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es la siguiente:
La proporci n en la que la variaci n de la velocidad angular a lo largo del tiempo se define como la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$). Para medirla, es necesario observar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
La ecuaci n que describe la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es la siguiente:
Para describir la rotaci n de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotaci n, que es el ángulo ($\theta$):
Para describir la rotaci n de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotaci n, que es el ángulo ($\theta$):
La aceleraci n se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo.
Por lo tanto, la aceleraci n angular la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se puede expresar en t rminos de la velocidad angular la velocidad angular ($\omega$) y el tiempo la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la siguiente manera:
La aceleraci n se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo.
Por lo tanto, la aceleraci n angular la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se puede expresar en t rminos de la velocidad angular la velocidad angular ($\omega$) y el tiempo la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la siguiente manera:
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duraci n se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duraci n se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:
Con la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) establece una relaci n lineal con el tiempo ($t$), que tambi n incorpora las variables la velocidad angular inicial ($\omega_0$) y el tiempo inicial ($t_0$), tal que:
Esta ecuaci n representa una recta en el plano de velocidad angular versus tiempo.
Con la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) establece una relaci n lineal con el tiempo ($t$), que tambi n incorpora las variables la velocidad angular inicial ($\omega_0$) y el tiempo inicial ($t_0$), tal que:
Esta ecuaci n representa una recta en el plano de velocidad angular versus tiempo.
Dado que el desplazamiento total corresponde al rea bajo la curva de velocidad angular frente al tiempo, en el caso de una aceleración angular constante ($\alpha_0$), se determina que el desplazamiento el ángulo ($\theta$) con las variables el ángulo inicial ($\theta_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$) es el siguiente:
Esta expresi n corresponde a la forma general de una par bola.
Dado que el desplazamiento total corresponde al rea bajo la curva de velocidad angular frente al tiempo, en el caso de una aceleración angular constante ($\alpha_0$), se determina que el desplazamiento el ángulo ($\theta$) con las variables el ángulo inicial ($\theta_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$) es el siguiente:
Esta expresi n corresponde a la forma general de una par bola.
En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la funci n de la velocidad angular ($\omega$) respecto a el tiempo ($t$), con variables adicionales la velocidad angular inicial ($\omega_0$) y el tiempo inicial ($t_0$), est expresada por la ecuaci n:
A partir de esta ecuaci n, es posible calcular la relaci n entre el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$), as como el cambio en la velocidad angular:
En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la funci n de la velocidad angular ($\omega$) respecto a el tiempo ($t$), con variables adicionales la velocidad angular inicial ($\omega_0$) y el tiempo inicial ($t_0$), est expresada por la ecuaci n:
A partir de esta ecuaci n, es posible calcular la relaci n entre el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$), as como el cambio en la velocidad angular:
Si dividimos la relaci n entre la velocidad media ($\bar{v}$), el radio ($r$) y la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), expresada en la siguiente ecuaci n:
por el valor de el tiempo transcurrido ($\Delta t$), podemos obtener el factor que nos permite calcular la aceleraci n angular a lo largo de la rbita:
Si dividimos la relaci n entre la velocidad media ($\bar{v}$), el radio ($r$) y la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), expresada en la siguiente ecuaci n:
por el valor de el tiempo transcurrido ($\Delta t$), podemos obtener el factor que nos permite calcular la aceleraci n angular a lo largo de la rbita:
ID:(1409, 0)
