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Velocidad angular constante, dos etapas
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Si durante un movimiento a velocidad angular constante se produce un cambio en esta, se obtiene un movimiento que ocurre en dos etapas, cada una caracterizada por una velocidad angular definida.
Cada etapa se modela con una relación lineal representada por una recta, donde la clave radica en que el tiempo y el ángulo final de la primera etapa son, a su vez, el tiempo y el ángulo inicial de la segunda etapa.
Es importante destacar que este modelo presenta un problema: la velocidad angular cambia de forma instantánea, lo que equivale a una aceleración angular seguida de un frenado infinito, lo cual no es realista. Sin embargo, este problema no resulta relevante si la duración de las etapas es considerablemente más larga que el tiempo en el que ocurre el cambio de velocidad angular.
ID:(1410, 0)
Velocidad angular constante, dos etapas
Storyboard
Si durante un movimiento a velocidad angular constante se produce un cambio en esta, se obtiene un movimiento que ocurre en dos etapas, cada una caracterizada por una velocidad angular definida.
Cada etapa se modela con una relación lineal representada por una recta, donde la clave radica en que el tiempo y el ángulo final de la primera etapa son, a su vez, el tiempo y el ángulo inicial de la segunda etapa.
Variables
Cálculos
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Cálculos
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A utilizar
Ecuaciones
En el caso de que la velocidad angular inicial ($\omega_0$) sea igual a la velocidad angular media ($\bar{\omega}$),
Por lo tanto, con la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), que es igual a el ángulo ($\theta$) dividido por el ángulo inicial ($\theta_0$), obtenemos:
Y con el tiempo transcurrido ($\Delta t$), que es igual a el tiempo ($t$) dividido por el tiempo inicial ($t_0$), obtenemos:
Podemos reescribir la ecuaci n de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) como:
Esto se puede expresar como:
$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$
Despejando, obtenemos:
En el caso de que la velocidad angular inicial ($\omega_0$) sea igual a la velocidad angular media ($\bar{\omega}$),
Por lo tanto, con la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), que es igual a el ángulo ($\theta$) dividido por el ángulo inicial ($\theta_0$), obtenemos:
Y con el tiempo transcurrido ($\Delta t$), que es igual a el tiempo ($t$) dividido por el tiempo inicial ($t_0$), obtenemos:
Podemos reescribir la ecuaci n de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) como:
Esto se puede expresar como:
$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$
Despejando, obtenemos:
Como la velocidad media ($\bar{v}$) es con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$), igual a
y con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) expresado como arco de un c rculo, y el radio ($r$) y la variación del angulo ($\Delta\theta$) son
y la definici n de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) es
entonces,
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Como la relaci n es general, se puede aplicar para valores instant neos, lo que resulta en
Como la velocidad media ($\bar{v}$) es con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$), igual a
y con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) expresado como arco de un c rculo, y el radio ($r$) y la variación del angulo ($\Delta\theta$) son
y la definici n de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) es
entonces,
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Como la relaci n es general, se puede aplicar para valores instant neos, lo que resulta en
La definici n de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) se considera la variación del angulo ($\Delta\theta$),
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$),
La relaci n entre ambos se define como la velocidad angular media ($\bar{\omega}$):
La definici n de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) se considera la variación del angulo ($\Delta\theta$),
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$),
La relaci n entre ambos se define como la velocidad angular media ($\bar{\omega}$):
Ejemplos
Un cuerpo se puede desplazar a la velocidad ángular primera etapa ($\omega_1$) y luego pasa a una la velocidad angular segunda etapa ($\omega_2$). Con ello, entra en una nueva etapa, siendo necesario describir ambas en forma matem tica para predecir su movimiento.
La clave es observar que ambas etapas tienen un punto en com n caracterizado por:
• El ngulo final de la primera etapa e inicio de la segunda, el ángulo final primera e inició segunda etapa ($\theta_1$).
• El tiempo final de la primera etapa e inicio de la segunda, el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$).
As , los diagramas del ngulo en funci n del tiempo pueden acoplarse como se muestra en la siguiente representaci n:
En ella se encuentra un punto inicial de la primera etapa caracterizado por el ángulo inicial ($\theta_0$) y el tiempo inicial ($t_0$), y el punto final de la segunda etapa caracterizado por la ángulo final segunda etapa ($\theta_2$) y el tiempo que finaliza segunda etapa ($t_2$).
En un escenario de movimiento en dos etapas, primero el objeto avanza un ángulo recorrido en la primera etapa ($\Delta\theta_1$) durante un tiempo transcurrido en la primera etapa ($\Delta t_1$) con una velocidad ángular primera etapa ($\omega_1$).
Posteriormente, en la segunda etapa, avanza un ángulo recorrido en la segunda etapa ($\Delta\theta_2$) durante un tiempo transcurrido en la segunda etapa ($\Delta t_2$) con una velocidad angular segunda etapa ($\omega_2$).
Al representar esto gr ficamente, obtenemos un diagrama de ngulo y tiempo como se muestra a continuaci n:
La clave aqu es que los valores el tiempo transcurrido en la primera etapa ($\Delta t_1$) y el tiempo transcurrido en la segunda etapa ($\Delta t_2$) son secuenciales, al igual que los valores el ángulo recorrido en la primera etapa ($\Delta\theta_1$) y el ángulo recorrido en la segunda etapa ($\Delta\theta_2$).
En el caso de un movimiento en dos etapas, la primera etapa puede describirse mediante una funci n que involucra los puntos el tiempo inicial ($t_0$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$), el ángulo inicial ($\theta_0$) y el ángulo final primera e inició segunda etapa ($\theta_1$), representada por una recta con una pendiente de la velocidad ángular primera etapa ($\omega_1$):
Para la segunda etapa, definida por los puntos el ángulo final primera e inició segunda etapa ($\theta_1$), la ángulo final segunda etapa ($\theta_2$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo que finaliza segunda etapa ($t_2$), se emplea una segunda recta con una pendiente de la velocidad angular segunda etapa ($\omega_2$):
que se representa como:
Es importante notar que el inicio de la segunda etapa, definido por los puntos el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el ángulo final primera e inició segunda etapa ($\theta_1$), coincide con el final de la primera etapa.
Para describir la rotaci n de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotaci n, que es el ángulo ($\theta$):
Para describir la rotaci n de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotaci n, que es el ángulo ($\theta$):
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duraci n se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duraci n se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:
En el caso de que la velocidad angular sea constante, la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) coincide con el valor de la velocidad angular inicial ($\omega_0$), por lo que
En este caso, podemos calcular el ngulo recorrido en funci n del tiempo recordando que este se asocia a la diferencia entre el ngulo actual y el inicial, as como el tiempo actual y el inicial. Por lo tanto, el ángulo ($\theta$) es igual a el ángulo inicial ($\theta_0$), la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) como se muestra a continuaci n:
La ecuaci n representa una recta en el espacio ngulo-tiempo.
En el caso de que la velocidad angular sea constante, la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) coincide con el valor de la velocidad angular inicial ($\omega_0$), por lo que
En este caso, podemos calcular el ngulo recorrido en funci n del tiempo recordando que este se asocia a la diferencia entre el ngulo actual y el inicial, as como el tiempo actual y el inicial. Por lo tanto, el ángulo ($\theta$) es igual a el ángulo inicial ($\theta_0$), la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) como se muestra a continuaci n:
La ecuaci n representa una recta en el espacio ngulo-tiempo.
Para estimar el desplazamiento de un objeto, es necesario conocer su la velocidad angular ($\omega$) en funci n de el tiempo ($t$). Por lo tanto, se introduce la la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), definida como la proporci n entre la variación del angulo ($\Delta\theta$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Para medir esto, se puede utilizar un sistema como el que se muestra en la imagen:
Para determinar la velocidad angular media, se coloca un elemento reflectante en el eje o en un disco con varios elementos reflectantes, y se registra el paso para estimar la longitud del arco $\Delta s$ y el ngulo asociado con el radio $r$. Luego se registra la diferencia de tiempo cuando la marca pasa frente al sensor como $\Delta t$. La velocidad angular media se determina dividiendo el ngulo recorrido por el tiempo transcurrido.
La ecuaci n que describe la velocidad angular media es:
Cabe destacar que la velocidad media es una estimaci n de la velocidad angular real. El problema principal es que:
Si la velocidad angular var a durante el tiempo transcurrido, el valor de la velocidad angular media puede ser muy diferente de la velocidad angular promedio.
Por lo tanto, la clave es:
Determinar la velocidad en un tiempo transcurrido suficientemente corto para minimizar su variaci n.
Para estimar el desplazamiento de un objeto, es necesario conocer su la velocidad angular ($\omega$) en funci n de el tiempo ($t$). Por lo tanto, se introduce la la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), definida como la proporci n entre la variación del angulo ($\Delta\theta$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Para medir esto, se puede utilizar un sistema como el que se muestra en la imagen:
Para determinar la velocidad angular media, se coloca un elemento reflectante en el eje o en un disco con varios elementos reflectantes, y se registra el paso para estimar la longitud del arco $\Delta s$ y el ngulo asociado con el radio $r$. Luego se registra la diferencia de tiempo cuando la marca pasa frente al sensor como $\Delta t$. La velocidad angular media se determina dividiendo el ngulo recorrido por el tiempo transcurrido.
La ecuaci n que describe la velocidad angular media es:
Cabe destacar que la velocidad media es una estimaci n de la velocidad angular real. El problema principal es que:
Si la velocidad angular var a durante el tiempo transcurrido, el valor de la velocidad angular media puede ser muy diferente de la velocidad angular promedio.
Por lo tanto, la clave es:
Determinar la velocidad en un tiempo transcurrido suficientemente corto para minimizar su variaci n.
Si dividimos la relaci n entre la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el radio ($r$) por la variación del angulo ($\Delta\theta$),
y luego dividimos eso por el tiempo transcurrido ($\Delta t$), obtenemos la relaci n que nos permite calcular la velocidad ($v$) a lo largo de la rbita, conocida como velocidad tangencial, que es igual a la velocidad angular ($\omega$):
Si dividimos la relaci n entre la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el radio ($r$) por la variación del angulo ($\Delta\theta$),
y luego dividimos eso por el tiempo transcurrido ($\Delta t$), obtenemos la relaci n que nos permite calcular la velocidad ($v$) a lo largo de la rbita, conocida como velocidad tangencial, que es igual a la velocidad angular ($\omega$):
ID:(1410, 0)
