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Velocidad angular instantánea
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La velocidad angular media se define como el ángulo recorrido en un intervalo de tiempo, sin tener en cuenta las posibles fluctuaciones de la velocidad angular.
Para determinar la velocidad angular en un instante específico, es necesario considerar un intervalo de tiempo extremadamente pequeño, de modo que la velocidad angular no tenga variaciones notables en ese período.
Por lo tanto, la velocidad angular instantánea se obtiene calculando la velocidad angular media en el límite de un intervalo de tiempo que tiende a cero. Desde un punto de vista matemático, esto equivale a la derivada del ángulo respecto al tiempo y representa la pendiente de la curva ángulo-tiempo.
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Velocidad angular instantánea
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La velocidad angular media se define como el ángulo recorrido en un intervalo de tiempo, sin tener en cuenta las posibles fluctuaciones de la velocidad angular. Para determinar la velocidad angular en un instante específico, es necesario considerar un intervalo de tiempo extremadamente pequeño, de modo que la velocidad angular no tenga variaciones notables en ese período. Por lo tanto, la velocidad angular instantánea se obtiene calculando la velocidad angular media en el límite de un intervalo de tiempo que tiende a cero. Desde un punto de vista matemático, esto equivale a la derivada del ángulo respecto al tiempo y representa la pendiente de la curva ángulo-tiempo.
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Si consideramos el ngulo recorrido como la variación del angulo ($\Delta\theta$) en el tiempo $t+\Delta t$ y en $t$:
$\Delta\theta = \theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
y usamos el tiempo transcurrido ($\Delta t$), entonces, en el l mite de tiempos infinitesimalmente cortos:
$\omega=\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}\rightarrow lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\theta}{dt}$
Esta ltima expresi n corresponde a la derivada de la funci n de ngulo $\theta(t)$, que a su vez es la pendiente de la representaci n gr fica de dicha funci n en el tiempo.
Dado que la velocidad ($v$) est con la velocidad angular instantánea ($\omega$) y el radio ($r$) es igual a:
podemos calcular la velocidad (vector) ($\vec{v}$) utilizando el producto cruzado con el versor del eje, denotado como $\hat{n}$, y el versor radial, denotado como $\hat{r}$:
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
Por lo tanto, si definimos
$\vec{v}=v\hat{t}$
,
$\vec{r}=r\hat{r}$
y
$\vec{\omega}=\omega\hat{n}$
,
entonces podemos expresar la velocidad como
$\vec{v}=v\hat{t}=v\hat{n}\times\hat{r}=r\omega\hat{n}\times\hat{r}=\vec{\omega}\times\vec{r}$
es decir
Ejemplos
Si se toma un tiempo $t$ con un ngulo $\theta(t)$ y se observa un punto en un tiempo futuro $t+\Delta t$ con un ngulo $\theta(t+\Delta t)$ se puede estimar la velocidad como el ngulo recorrido
$\theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
recorrido en el tiempo $\Delta t$
$\omega\sim\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}$
A medida que se va reduciendo el valor del tiempo $\Delta t$ la velocidad angular va tomando el rol de la tangente a la curva posici n en el tiempo:
Esto generaliza lo que ya se hab a visto para lo que es el caso de velocidad angular constante.
Si observamos que la velocidad angular $\omega$ es igual al ngulo $\Delta\theta$ multiplicado por el tiempo $\Delta t$, podemos afirmar que el desplazamiento es
$\Delta\theta = \omega\Delta t$
Dado que el producto $\omega\Delta t$ es el rea bajo la curva de velocidad angular en funci n del tiempo, y esto, a su vez, es igual al desplazamiento recorrido:
La integral de una funci n corresponde al rea debajo de la curva que define la funci n. Por lo tanto, la integral de la velocidad entre los tiempos $t_0$ y $t$ corresponde al ngulo recorrido entre la posici n inicial $\theta_0$ y $\theta$.
Esto se puede expresar matem ticamente como:
Esta relaci n se muestra gr ficamente a continuaci n:
Esta f rmula es til para calcular el ngulo recorrido por un objeto en situaciones en las que se conoce la funci n de velocidad. La integral de la funci n de velocidad proporciona una medida del desplazamiento total del objeto entre los dos tiempos $t_0$ y $t$, lo que se puede utilizar para calcular el ngulo recorrido por el objeto dividiendo el desplazamiento por el radio del c rculo. Este concepto es especialmente til en aplicaciones de f sica e ingenier a en las que se involucra el movimiento de rotaci n.
La orientaci n de la velocidad tangencial puede ser obtenida utilizando la regla de la mano derecha. Si los dedos se colocan en direcci n del eje de rotaci n y se rotan hacia el vector de posici n (radio), el pulgar apuntar en la direcci n de la velocidad tangencial:
Si un objeto se somete a un modo de mantener un radio constante, girar como se indica en la figura. Al observar la figura, se notar que la masa realiza un movimiento de traslaci n con una velocidad tangencial que es igual al radio por la velocidad angular:
Sin embargo, si se corta el elemento que une el objeto al eje, este continuar movi ndose tangencialmente en l nea recta.
La la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), calculada a partir de una variación del angulo ($\Delta\theta$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante la ecuaci n
es una aproximaci n de la la velocidad angular instantánea ($\omega$) real que tiende a distorsionarse a medida que la velocidad angular fluct a durante el intervalo de tiempo. Por lo tanto, se introduce el concepto de la velocidad angular instantánea ($\omega$) determinada en un tiempo muy peque o. En este caso, hablamos de un intervalo de tiempo infinitesimalmente peque o.
que corresponde a la derivada del ngulo.
Como el tiempo ($t$) es la derivada de el ángulo ($\theta$) respecto a la velocidad angular instantánea ($\omega$), es decir,
la integraci n de el tiempo ($t$) entre el tiempo inicial ($t_0$) y el tiempo ($t$) corresponde al ngulo recorrido entre el ángulo inicial ($\theta_0$) y el ángulo ($\theta$), como se demuestra en
Si se divide el camino expresado como arco de un circulo se tendr que con
por el tiempo transcurrido
y como la velocidad angular con
se tiene con
La velocidad angular instantánea ($\omega$) se define como un vector cuya direcci n coincide con el eje de rotaci n. Dado que el eje de rotaci n el radio ($r$) y la velocidad angular instantánea ($\omega$) son perpendiculares a la velocidad ($v$), se puede expresar como el producto vectorial entre la velocidad angular instantánea ($\omega$) y el eje de rotaci n el radio ($r$):
la velocidad ($v$) se puede escribir en forma vectorial como la velocidad (vector) ($\vec{v}$), resultado del producto cruz entre la velocidad angular ($\vec{\omega}$) y el radio (vector) ($\vec{r}$):
En general, la velocidad angular instantánea ($\omega$) debe entenderse como una entidad tridimensional, es decir, un vector la velocidad angular ($\vec{\omega}$). Cada componente se puede definir como la derivada de el ángulo ($\theta$) respecto a el tiempo ($t$):
Por lo tanto, se puede expresar con la derivada en el tiempo ($t$) de el ángulo (vector) ($\vec{\theta}$) como la velocidad angular ($\vec{\omega}$):
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