Storyboard

Um eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit zu erreichen, muss ein Objekt zunächst seine Winkelgeschwindigkeit von Ruhe aus erhöhen. Dieser Vorgang wird als Winkelbeschleunigung bezeichnet und wird in Bezug auf die Änderung der Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit definiert. Andererseits, wenn das Ziel darin besteht, die Winkelgeschwindigkeit zu verringern und sogar die Rotation des Objekts zu stoppen, wird auch eine Winkelbeschleunigung eingeführt, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen zur Winkelgeschwindigkeit (wenn die Winkelgeschwindigkeit positiv ist, ist die Winkelbeschleunigung negativ, und umgekehrt), was als Bremsen der Rotation bekannt ist.

>Modell

ID:(612, 0)

Konzept

>Top

ID:(15413, 0)

Konzept

>Top

Wenn die Winkelgeschwindigkeit nicht konstant ist, ist es wichtig zu verstehen, wie sie sich im Laufe der Zeit ändert. Hierfür müssen wir die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit kennen, die als Winkelbeschleunigung oder -verzögerung bezeichnet wird, je nachdem, ob die Winkelgeschwindigkeit zunimmt oder abnimmt.

Die Winkelbeschleunigung wird durch Messung der Variation der Winkelgeschwindigkeit über die Zeit bestimmt.

ID:(12519, 0)

Konzept

>Top

Die durchschnittliche Winkelbeschleunigung wird als das Verhältnis definiert, in dem sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert. Um diese Größe genau zu messen, ist es erforderlich, zu quantifizieren, wie sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert.

Um diese Messung präzise durchzuführen, kann eine Stroboskoplampe verwendet werden, die in definierten Intervallen Lichtblitze abgibt. Durch Aufnahme eines Fotos zu einem bestimmten Zeitpunkt lässt sich der Winkelabstand bestimmen, den das Objekt während dieser Zeitspanne zurücklegt. Durch Berechnung der Winkelgeschwindigkeiten zu zwei aufeinanderfolgenden Momenten kann die Änderung der Winkelgeschwindigkeit ermittelt werden. Durch Division dieser Änderung durch das Zeitintervall zwischen den Fotos wird die durchschnittliche Winkelbeschleunigung berechnet.

Die Gleichung, die diese durchschnittliche Winkelbeschleunigung beschreibt, lautet wie folgt:

Es ist wichtig zu beachten, dass die durchschnittliche Winkelbeschleunigung eine Schätzung der tatsächlichen Winkelbeschleunigung ist. Es gibt jedoch ein grundlegendes Problem:

Wenn die Winkelbeschleunigung im Laufe der Zeit variiert, kann der Wert der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung erheblich von der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung abweichen.

Daher liegt der Schlüssel darin,

Die Winkelbeschleunigung innerhalb eines ausreichend kurzen Zeitintervalls zu bestimmen, um jegliche signifikante Variation zu minimieren.

ID:(15519, 0)

Beschreibung

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Im Fall einer konstanten Winkelbeschleunigung folgt die Winkelgeschwindigkeit einer linearen Beziehung zur Zeit:

wie in der folgenden Grafik dargestellt:

ID:(11429, 0)

Konzept

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Mit die konstante Beschleunigung ($a_0$) beschreibt die Funktion von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) eine Gerade, deren Steigung gleich der Winkelbeschleunigung ist. Zusammen mit die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) wird die Beziehung durch die Gleichung ausgedrückt:

Daher besteht die Fläche unter einer Kurve, die die gesamte Wegstrecke darstellt, aus einem Rechteck und einem Dreieck:

Das Rechteck hat eine Höhe, die der Anfangsgeschwindigkeit entspricht, und eine Basis gleich der verstrichenen Zeit. Das Dreieck hingegen hat eine Höhe, die das Produkt aus Winkelbeschleunigung und verstrichener Zeit ist, und eine Basis, die ebenfalls der verstrichenen Zeit entspricht. Mit diesen Informationen kann der gesamte Weg der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt berechnet werden:

ID:(11418, 0)

Bild

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Die Ausrichtung der Tangentialbeschleunigung kann mithilfe der Rechten-Hand-Regel ermittelt werden, indem die Finger in Richtung der Achse zeigen und dann in Richtung des Radius gedreht werden:

ID:(11600, 0)

Konzept

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Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15424, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Rate, mit der sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert, wird als die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) definiert. Um dies zu messen, müssen wir die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) beobachten.

Die Gleichung, die die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) beschreibt, lautet wie folgt:

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

$\bar{\alpha}$

Mittlere Winkelbeschleunigung

$rad/s^2$

$\Delta\omega$

Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten

$rad/s$

Beziehung

Entwicklung

Die Definition der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung basiert auf dem zurückgelegten Winkel

$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $

und der verstrichenen Zeit

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Die Beziehung zwischen beiden wird als die durchschnittliche Winkelbeschleunigung definiert

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

innerhalb dieses Zeitintervalls.

ID:(3234, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Beschleunigung nicht variiert, wird die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) sein, was wie folgt ausgedrückt wird:

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $

Bedingungen

Variablen

$\alpha_0$

Constant Angular Acceleration

$rad/s^2$

$\bar{\alpha}$

Mittlere Winkelbeschleunigung

$rad/s^2$

Beziehung

ID:(9873, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Rotation eines Objekts zu beschreiben, müssen wir die Winkelvariation ($\Delta\theta$) bestimmen. Dies geschieht, indem wir der Anfangswinkel ($\theta_0$) von der Winkel ($\theta$) subtrahieren, den Wert, den das Objekt während seiner Rotation erreicht:

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $

Bedingungen

Variablen

$\theta_0$

Anfangswinkel

$rad$

$\theta$

Winkel

$rad$

$\Delta\theta$

Winkelvariation

$rad$

Beziehung

ID:(3680, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Beschleunigung wird als Änderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit definiert.

Daher kann die Winkelbeschleunigung die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Zeit die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) wie folgt ausgedrückt werden:

$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $

Bedingungen

Variablen

$\omega_0$

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

$\Delta\omega$

Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten

$rad/s$

$\omega$

Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

Beziehung

ID:(3681, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, müssen wir die vergangene Zeit berechnen. Diese Größe wird durch Messung der Anfangszeit und der Endzeit der Bewegung ermittelt. Die Dauer wird durch Subtraktion der Anfangszeit von der Endzeit bestimmt.

Mathematisch wird dies als

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

$t_0$

Startzeit

$s$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

dargestellt, wobei $\Delta t$ die Dauer, $t$ die Endzeit und $t_0$ die Anfangszeit ist.

ID:(4353, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Mit die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) stellt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) eine lineare Beziehung mit der Zeit ($t$) her, die auch die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) und der Startzeit ($t_0$) einbezieht, wie folgt:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Bedingungen

Variablen

$\omega_0$

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

$\alpha_0$

Constant Angular Acceleration

$rad/s^2$

$t_0$

Startzeit

$s$

$\omega$

Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir annehmen, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) konstant und gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist, dann gilt die folgende Gleichung:

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $

Daher, unter Berücksichtigung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) zusammen mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$):

$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $

und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) in Bezug auf der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

kann die Gleichung für die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

wie folgt ausgedrückt werden:

$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$

Durch Auflösen erhalten wir:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Diese Gleichung repräsentiert eine Gerade im Raum der Winkelgeschwindigkeit gegenüber der Zeit.

ID:(3237, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da der gesamte Weg der Fläche unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit gegenüber der Zeit entspricht, ergibt sich im Fall von eine Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$), dass der Weg der Winkel ($\theta$) mit den Variablen der Anfangswinkel ($\theta_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) wie folgt ist:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Bedingungen

Variablen

$\theta_0$

Anfangswinkel

$rad$

$\omega_0$

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

$\alpha_0$

Constant Angular Acceleration

$rad/s^2$

$t_0$

Startzeit

$s$

$\theta$

Winkel

$rad$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

Entwicklung

Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) folgt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als Funktion von der Zeit ($t$) einer linearen Beziehung mit der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) in der Form:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Da der zurückgelegte Winkel gleich der Fläche unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit-Zeit ist, kann in diesem Fall der Beitrag des Rechtecks:

$\omega_0(t-t_0)$

und des Dreiecks:

$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$

hinzugefügt werden.

Dies führt uns zu dem Ausdruck für der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$):

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Diese Ausdruck entspricht der allgemeinen Form einer Parabel.

ID:(3682, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) wird die Funktion von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) bezüglich der Zeit ($t$), zusammen mit den zusätzlichen Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) und der Startzeit ($t_0$), durch die Gleichung ausgedrückt:

Aus dieser Gleichung lässt sich die Beziehung zwischen der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$) sowie die Veränderung der Winkelgeschwindigkeit berechnen:

$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

Bedingungen

Variablen

$\theta_0$

Anfangswinkel

$rad$

$\omega_0$

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

$\alpha_0$

Constant Angular Acceleration

$rad/s^2$

$\theta$

Winkel

$rad$

$\omega$

Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir die Zeit in der Gleichung von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) auflösen, die die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) umfasst:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

erhalten wir den folgenden Ausdruck für die Zeit:

$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$

Diese Lösung kann in die Gleichung eingesetzt werden, um der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt zu berechnen:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

was in der folgenden Gleichung resultiert:

$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

ID:(4386, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir das Verhältnis zwischen die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$), der Radio ($r$) und die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$), das in der folgenden Gleichung dargestellt ist:

durch den Wert von der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, können wir den Faktor ermitteln, der es uns ermöglicht, die Winkelbeschleunigung entlang der Umlaufbahn zu berechnen:

$ a = r \alpha$

Bedingungen

Variablen

$a$

Augenblickliche Beschleunigung

$m/s^2$

$\alpha$

Augenblickliche Winkelbeschleunigung

$rad/s^2$

$r$

Radio

$m$

Beziehung

Entwicklung

Angesichts dessen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gemäß

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$

und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) laut

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

ist, folgt daraus, dass

$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$

Unter der Annahme, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $

und angenommen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist

$ a_0 = \bar{a} $

ergibt sich folgende Gleichung:

$ a = r \alpha$

ID:(3236, 0)