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Para que un objeto alcance una velocidad angular determinada, primero debe aumentar su velocidad angular desde el reposo. Este proceso se denomina aceleración angular y se define en función de la variación de la velocidad angular en el tiempo. Por otro lado, si se busca reducir la velocidad angular e incluso detener la rotación del objeto, también se introduce una aceleración angular, pero con el signo opuesto al de la velocidad angular (si la velocidad angular es positiva, la aceleración angular es negativa, y viceversa), lo que se conoce como frenado angular.

>Modelo

ID:(612, 0)

Descripción

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Con la variación de la velocidad angular y el tiempo transcurrido, podemos definir una aceleración angular media:

Esto nos permite predecir la velocidad angular futura siempre que la aceleración sea constante.

ID:(12519, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La aceleración corresponde a la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo.

Por lo tanto, la variación de la velocidad angular se expresa como:

$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $

Condiciones

Variables

$\Delta\omega$

Diferencia de velocidades angulares

$rad/s$

$\omega$

Velocidad angular

$rad/s$

$\omega_0$

Velocidad angular inicial

$rad/s$

Relación

ID:(3681, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La aceleración angular media se define como la proporción en la que varía la velocidad angular a lo largo del tiempo. Para medir esta magnitud, es necesario cuantificar cómo cambia la velocidad angular en el transcurso del tiempo.

Para llevar a cabo esta medición de manera precisa, se puede emplear una lámpara estroboscópica que emite destellos luminosos en intervalos de tiempo definidos. Al capturar una fotografía en un instante específico, es posible determinar la distancia angular que el objeto recorre en ese lapso. Al calcular las velocidades angulares en dos instantes consecutivos, se puede obtener la variación de la velocidad angular, y al dividir este cambio entre el intervalo de tiempo entre las fotografías, se obtiene la aceleración angular media.

La ecuación que describe esta aceleración angular media es la siguiente:

Es importante tener en cuenta que la aceleración angular media es una estimación de la aceleración angular real. Sin embargo, existe un problema fundamental:

Si la aceleración angular varía a lo largo del tiempo, el valor de la aceleración angular media puede diferir significativamente de la aceleración angular promedio.

Por lo tanto, la clave reside en

Determinar la aceleración angular en un intervalo de tiempo lo suficientemente corto para minimizar cualquier variación significativa.

ID:(3234, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si dividimos la relación de la velocidad tangencial

por el tiempo transcurrido, podemos obtener la razón que nos permite calcular la aceleración angular a lo largo de la órbita:

$ a = r \alpha $

Condiciones

Variables

$\alpha$

Aceleración angular instantánea

$rad/s^2$

$a$

Aceleración instantanea

$m/s^2$

$r$

Radio

$m$

Relación

Desarrollo

Dado que la aceleración de traslación es igual a

$ a =\displaystyle\frac{ dv }{ dt }$

y la velocidad tangencial se expresa en función del radio y la velocidad angular

$ v = r \omega $

y la aceleración angular media se define como

$ \alpha \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

se deduce que

$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\alpha$

Dado que esta relación es general, se puede aplicar a los valores instantáneos, lo que lleva a

$ a = r \alpha $

ID:(3236, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La aceleración angular se expresa como un vector en la dirección del eje de rotación. Dado que el radio de rotación y la aceleración angular son perpendiculares a la aceleración tangencial, se obtiene la siguiente relación:

Esta relación puede escribirse como el producto cruz entre la aceleración angular y el radio, representado de la siguiente manera:

$ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $

Condiciones

Variables

$\vec{\alpha}$

Aceleración angular instantánea (vector)

$rad/s^2$

$\vec{a}$

Aceleración instantánea (vector)

$m/s^2$

$\vec{r}$

Radio (Vector)

$m$

Relación

Desarrollo

Dado que la aceleración tangencial es

$ a = r \alpha $

Si el versor del eje es $\hat{n}$ y el radial es $\hat{r}$, el versor tangencial puede calcularse mediante el producto cruz:

$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$

En consecuencia, considerando que

$\vec{a} = a \hat{t}$

,

$\vec{r} = r \hat{r}$

y

$\vec{\alpha} = \alpha \hat{n}$

,

podemos deducir que

$\vec{a} = a \hat{t} = a \hat{n} \times \hat{r} = r \alpha \hat{n} \times \hat{r} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$

,

lo que se traduce en

$ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $

ID:(11598, 0)

Imagen

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La dirección de la aceleración tangencial puede determinarse utilizando la regla de la mano derecha, donde los dedos se orientan hacia el eje y luego se giran en dirección al radio:

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