Storyboard

Ein Objekt mit Geschwindigkeit neigt dazu, sich geradlinig zu bewegen. Um eine kreisförmige Umlaufbahn zu verfolgen, muss ein Objekt "radikal" von seinem geraden Pfad zur Umlaufbahnradius abweichen. Dieser "Abfall" entspricht einer Zentripetalbeschleunigung (centri = Zentrum, petal = zum), wie sie von einem externen Beobachter des Systems wahrgenommen wird.

Andererseits, wenn das Objekt seinen geraden Pfad weiterverfolgt anstatt der kreisförmigen Umlaufbahn zu folgen, würde ein Beobachter im rotierenden System dieselbe Beschleunigung wahrnehmen, jedoch sich vom Zentrum entfernen. Dies wird als Zentrifugalbeschleunigung (centri = Zentrum, fuga = sich entfernend) bezeichnet.

>Modell

ID:(758, 0)

Konzept

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ID:(15417, 0)

Beschreibung

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Wenn ein Objekt einem Modus unterworfen wird, um einen konstanten Radius beizubehalten, wird es sich wie in der Abbildung dargestellt drehen. Bei Betrachtung der Abbildung würde man bemerken, dass die Masse eine translatorische Bewegung mit einer tangentialen Geschwindigkeit ausführt, die dem Radius mal der Winkelgeschwindigkeit entspricht:

Wenn jedoch das Element, das das Objekt mit der Achse verbindet, abgeschnitten wird, wird sich das Objekt weiterhin tangential in einer geraden Linie bewegen.

ID:(310, 0)

Konzept

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Wenn ein Körper, der an einem Seil der Länge $r$ befestigt ist, mit einer Tangentialgeschwindigkeit $v$ rotiert und das Seil durchtrennt wird, wird der Körper aufgrund der Trägheit mit konstanter Geschwindigkeit $v$ in einer geraden Linie weiterbewegt.

Die Umlaufbahn von Radio r und zurückgelegtem Pfad v\,dt, falls das Objekt nicht beibehalten wird. Beide Abstände repräsentieren die Schenkel eines Hypotenuse-Rechtecks mit einer Länge, die dem Radius r und dem zurückgelegten radialen Abstand x entspricht. Durch Anwenden von Pythagoras kann dieser Pfad x als Funktion der Zeit t geschätzt werden.

In einem Zeitintervall $\Delta t$ wird der Körper eine Strecke von $v\Delta t$ tangential zu seiner vorherigen Bahn zurücklegen. Aus der Perspektive eines Beobachters auf der Achse des rotierenden Systems wird die Strecke mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet, indem das Quadrat des Bahnradius mit dem Quadrat der zurückgelegten Strecke addiert wird:

$\sqrt{r^2+v^2\Delta t^2}$

ID:(1155, 0)

Konzept

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Wenn wir eine Katapult betrachten, werden wir feststellen, dass das Projektil zunächst entlang der Kurve fliegt, die durch den Löffel beschrieben wird. Dies geschieht, weil der Löffel dafür konzipiert ist, das Projektil zurückzuhalten. Sobald der Arm stoppt, bewegt sich das Projektil weiterhin in einer geraden Linie, die tangential zum Kreis verläuft, dem es zuvor gefolgt ist.

Wenn ein Objekt nicht zurückgehalten wird und sich mit einer tangentialen Geschwindigkeit $v$ bewegt, legt es in einem Zeitintervall $\Delta t$ eine Strecke von $v\Delta t$ zurück, indem es sich von Punkt B nach Punkt C bewegt. Wenn es jedoch weiterhin eine Umlaufbahn beibehält, erreicht es nach dem Zeitintervall $\Delta t$ den Punkt D. Wenn das Objekt den Punkt C erreicht, gibt es aus der Perspektive eines Beobachters auf der Erde eine Beschleunigung, die bewirkt, dass sich das Objekt von der Erde entfernt (Zentrifugalbeschleunigung) und dabei die Strecke $\Delta r$ im Zeitintervall $\Delta t$ zurücklegt.

Für einen Beobachter im Weltraum fällt ein Objekt in einer Umlaufbahn ständig: Anstatt den Punkt C zu erreichen, fällt es im Zeitintervall $\Delta t$ über die Strecke $\Delta r$ bis es den Punkt D erreicht. In beiden Fällen können wir die Situation graphisch darstellen und unter Verwendung des Satzes des Pythagoras feststellen, dass folgende Gleichung gelten muss:

$(r+\Delta r)^2=r^2+(v\Delta t)^2$

Durch Auflösen der Gleichung ergibt sich:

$2\Delta rr+\Delta r^2=v^2\Delta t^2$

Da die Variation des Radius $\Delta r$ viel kleiner ist als der Radius selbst ($r\ll\Delta r$), können wir schlussfolgern, dass gilt:

$2\Delta rr=v^2\Delta t^2$

Wenn wir nach $\Delta r$ auflösen, erhalten wir:

$\Delta r=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v^2}{r}\Delta t^2$

Wenn wir diese Gleichung mit der Gleichung $s=at^2/2$ vergleichen, können wir feststellen, dass das Objekt mit einer Beschleunigung von $v^2/r$ beschleunigt.

ID:(313, 0)

Konzept

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Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15428, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Körper tendieren aufgrund ihrer Trägheit dazu, sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer geraden Linie zu bewegen. Daher weicht ein Körper, der einen anderen umkreist, von seinem geraden Pfad ab und 'fällt' in eine Umlaufbahn. Ebenso wird ein Körper, wenn nichts ihn festhält, beginnen, sich von der Umlaufbahn zu entfernen und dabei für ein Objekt im Zentrum des rotierenden Systems eine scheinbare Beschleunigung erfahren, die es vom Zentrum wegführt - dies nennt man Zentrifugalbeschleunigung. Die Beschleunigung wird definiert als:

$ a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

Bedingungen

Variablen

$v$

Geschwindigkeit

$m/s$

$a_c$

Kreiselbeschleunigung

$m/s^2$

$r$

Radius

0

$m$

Beziehung

Entwicklung

Wenn die zurückgelegte Strecke klein ist ($v\Delta t\ll r$), kann die Wurzel des Abstands zwischen dem Zentrum und dem Körper,

$\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}$

,

genähert werden durch

$r+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v^2}{r}\Delta t^2$

,

was einer Parabel in Abhängigkeit von der Zeit $\Delta t$ entspricht. Daher kann das Verhalten mit einer Beschleunigung beschrieben werden, die wie folgt lautet:

$ a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

Die Zentrifugalbeschleunigung ist eine Beschleunigung, die von einem System in der Rotationsachse beobachtet wird, wenn sich ein Objekt mit konstanter Geschwindigkeit entfernt (flieht). Für das sich entfernde Objekt existiert eine solche Beschleunigung nicht.

ID:(4735, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir die Tangentialgeschwindigkeit in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit ausdrücken, ergibt sich die Zentrifugalbeschleunigung zu:

$ a_c = r \omega ^2$

Bedingungen

Variablen

$\omega$

Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

$a_c$

Kreiselbeschleunigung

$m/s^2$

$r$

Radius

0

$m$

Beziehung

Entwicklung

Da die Zentrifugalbeschleunigung gleich

$ a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

mit v als Geschwindigkeit und r als Radius ist, und unter Berücksichtigung der Beziehung zwischen Tangentialgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit als

$ v = r \omega $

können wir folgern, dass:

$ a_c = r \omega ^2$

ID:(4384, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn ein Objekt mit einem Radius $r$ und einer Tangentialgeschwindigkeit $v$ in einer Umlaufbahn ist, bleibt es dauerhaft in einem Abstand zum Zentrum, der gleich dem Radius ist.

Für einen externen Beobachter des Systems weicht der Körper, der sich aufgrund seiner Trägheit eigentlich in einer geraden Linie bewegen würde, von dieser Bahn ab und hält dabei den Abstand zum Zentrum ein. Aus Sicht dieses Beobachters beschleunigt der Körper zum Zentrum hin (Zentripetalbeschleunigung) der Umlaufbahn. Im Gegensatz zur Zentrifugalbeschleunigung erfährt das Objekt eine reale Beschleunigung. Die Größe dieser Beschleunigung ist gleich der Zentrifugalbeschleunigung, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. Daher ist die Betragsgröße der Zentripetalbeschleunigung:

Im Gegensatz zur Zentrifugalbeschleunigung ist die Zentripetalbeschleunigung für das Objekt messbar, das buchstäblich zum Zentrum 'fällt\'.

ID:(4383, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir das Verhältnis zwischen die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Radius ($r$) durch die Winkelvariation ($\Delta\theta$) teilen,

und das dann durch der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, erhalten wir die Beziehung, die es uns ermöglicht, die Geschwindigkeit ($v$) entlang der Umlaufbahn zu berechnen, bekannt als die tangentielle Geschwindigkeit, die mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) verbunden ist:

$ v = r \omega $

Bedingungen

Variablen

$v$

Geschwindigkeit

$m/s$

$r$

Radius

0

$m$

$\omega$

Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

Beziehung

Entwicklung

Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist

$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist

$ \Delta s=r \Delta\theta $

und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

dann ist

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$

Da die Beziehung allgemein ist, kann sie für momentane Werte angewendet werden, was zu

$ v = r \omega $

führt.

ID:(3233, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, müssen wir die vergangene Zeit berechnen. Diese Größe wird durch Messung der Anfangszeit und der Endzeit der Bewegung ermittelt. Die Dauer wird durch Subtraktion der Anfangszeit von der Endzeit bestimmt.

Mathematisch wird dies als

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

$t_0$

Startzeit

$s$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

dargestellt, wobei $\Delta t$ die Dauer, $t$ die Endzeit und $t_0$ die Anfangszeit ist.

ID:(4353, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wir können die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) aus die Ausgangsstellung ($s_0$) und die Position ($s$) berechnen mit der folgenden Gleichung:

$ \Delta s \equiv s - s_0 $

Bedingungen

Variablen

$s_0$

Ausgangsstellung

$m$

$s$

Position

$m$

$\Delta s$

Zurückgelegte Strecke in einer Zeit

$m$

Beziehung

ID:(4352, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Rotation eines Objekts zu beschreiben, müssen wir die Winkelvariation ($\Delta\theta$) bestimmen. Dies geschieht, indem wir der Anfangswinkel ($\theta_0$) von der Winkel ($\theta$) subtrahieren, den Wert, den das Objekt während seiner Rotation erreicht:

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $

Bedingungen

Variablen

$\theta_0$

Anfangswinkel

$rad$

$\theta$

Winkel

$rad$

$\Delta\theta$

Winkelvariation

$rad$

Beziehung

ID:(3680, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) kann aus die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) berechnet werden mit:

$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

$\bar{v}$

Mittlere Geschwindigkeit

$m/s$

$\Delta s$

Zurückgelegte Strecke in einer Zeit

$m$

Beziehung

ID:(3152, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Geschwindigkeit gleich eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) ist, dann ist die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) gleich dieser:

.

In diesem Fall kann der zurückgelegte Weg als Funktion der Zeit berechnet werden, indem die Differenz zwischen die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$) durch die Differenz zwischen der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) geteilt wird:

$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$

Bedingungen

Variablen

$s_0$

Ausgangsstellung

$m$

$v_0$

Konstante Geschwindigkeit

$m/s$

$s$

Position

$m$

$t_0$

Startzeit

$s$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

Entwicklung

Im Falle, dass eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) gleich die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) ist:

$ \bar{v} = v_0$

Daher ist mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) gleich die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$):

$ \Delta s \equiv s - s_0 $

und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) ist gleich der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Die Gleichung für die durchschnittliche Geschwindigkeit:

$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

kann geschrieben werden als:

$v_0 = v_m = displaystylefrac{Delta s}{Delta t} = displaystylefrac{s - s_0}{t - t_0}$

somit ergibt sich, wenn man nach ihr auflöst:

$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$

Die Gleichung stellt eine Gerade im Weg-Zeit-Raum dar.

ID:(3154, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Verschiebung eines Objekts zu schätzen, ist es notwendig, seine die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) in Abhängigkeit von der Zeit ($t$) zu kennen. Daher wird die die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) eingeführt, die als das Verhältnis zwischen die Winkelvariation ($\Delta\theta$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert ist.

Um dies zu messen, kann ein System wie das im Bild gezeigt verwendet werden:

Um die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen, wird ein reflektierendes Element auf der Achse oder auf einer Scheibe mit mehreren reflektierenden Elementen platziert, und der Durchgang wird erfasst, um die Länge des Bogens $\Delta s$ und den Winkel, der mit dem Radius $r$ verbunden ist, zu schätzen. Dann wird der Zeitunterschied aufgezeichnet, wenn die Markierung vor dem Sensor vorbeigeht, als $\Delta t$. Die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit wird durch die Division des zurückgelegten Winkels durch die verstrichene Zeit bestimmt.

Die Gleichung, die die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit beschreibt, lautet:

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

$\Delta\theta$

Differenz von Winkel

$rad$

$\bar{\omega}$

Mittlere Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

Beziehung

Entwicklung

Die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) wird als die Winkelvariation ($\Delta\theta$) betrachtet,

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $

und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$),

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Die Beziehung zwischen beiden wird als die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) definiert:

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Es ist zu beachten, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit eine Schätzung der tatsächlichen Winkelgeschwindigkeit ist. Das Hauptproblem ist, dass:

Wenn sich die Winkelgeschwindigkeit während der verstrichenen Zeit ändert, kann der Wert der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit sehr unterschiedlich zur durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit sein.

Daher ist der Schlüssel:

Die Geschwindigkeit in einer ausreichend kurzen verstrichenen Zeit zu bestimmen, um ihre Variation zu minimieren.

ID:(3679, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Fall, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, fällt die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) mit dem Wert von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) zusammen, daher

In diesem Fall können wir den Winkel als Funktion der Zeit berechnen, indem wir uns daran erinnern, dass er sich aus der Differenz zwischen dem aktuellen und dem Anfangswinkel sowie der aktuellen und der Anfangszeit ergibt. Daher ist der Winkel ($\theta$) gleich der Anfangswinkel ($\theta_0$), die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$), wie unten gezeigt:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

Bedingungen

Variablen

$\theta_0$

Anfangswinkel

$rad$

$\omega_0$

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

$t_0$

Startzeit

$s$

$\theta$

Winkel

$rad$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

Entwicklung

Im Fall, dass die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) gleich die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist,

$ \bar{\omega} = \omega_0 $

Deshalb erhalten wir mit die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$), welches gleich der Winkel ($\theta$) geteilt durch der Anfangswinkel ($\theta_0$) ist:

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $

Und mit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$), welches gleich der Zeit ($t$) geteilt durch der Startzeit ($t_0$) ist:

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Wir können die Gleichung für die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) umschreiben als:

$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Dies kann ausgedrückt werden als:

$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$

Bei der Lösung erhalten wir:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

Die Gleichung stellt eine Gerade im Winkel-Zeit-Raum dar.

ID:(1023, 0)