Storyboard

Um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen, muss ein Objekt zunächst seine Geschwindigkeit von Ruhe aus erhöhen. Dieser Vorgang wird als Beschleunigung bezeichnet und wird in Bezug auf die Änderung der Geschwindigkeit im Laufe der Zeit definiert. Umgekehrt, wenn das Ziel darin besteht, die Geschwindigkeit zu reduzieren oder das Objekt sogar zum Stillstand zu bringen, tritt eine Verzögerung auf, wobei die Beschleunigung das entgegengesetzte Vorzeichen zur Geschwindigkeit aufweist (positive Geschwindigkeit entspricht negativer Beschleunigung und umgekehrt), ein Prozess, der allgemein als Bremsen bezeichnet wird.

>Modell

ID:(609, 0)

Konzept

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Die allgemeine Struktur des Modells von die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist so, dass es einerseits die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) entspricht und damit die Beziehung zwischen die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) herstellt.

Andererseits gibt es drei Beziehungen rund um die konstante Beschleunigung ($a_0$), in denen es mit die Geschwindigkeit ($v$) und der Zeit ($t$) ($v, t$), mit die Position ($s$) und der Zeit ($t$) ($s, t$) oder die Position ($s$) und die Geschwindigkeit ($v$) ($s, v$) assoziiert ist:

Schließlich sind diese Beziehungen mit Parametern verbunden, die nicht angezeigt werden, nämlich die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Startzeit ($t_0$), und je nach verwendetem Koordinatensystem als null definiert werden können. Dies bedeutet, dass die Bewegung am Ursprung beginnt ($s_0=0$), mit der Messung ab dem Ursprung der Zeit begonnen wird ($t_0=0$) und der Ursprung des Koordinatensystems sich in Ruhe relativ zum Beobachter befindet, sodass keine Anfangsgeschwindigkeit vorhanden ist ($v_0=0$).

ID:(15389, 0)

Konzept

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Wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist, ist es interessant zu wissen, wie sie zunimmt oder abnimmt. Dazu ist es wichtig, die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit zu kennen, die wir Beschleunigung oder Bremsung nennen, je nachdem, ob es sich um eine Erhöhung oder Abnahme handelt.

Wenn wir mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h fahren und durch Bremsen die Geschwindigkeit um 10 km/h pro Sekunde reduzieren, wissen wir, dass wir nach 10 Sekunden zum Stillstand gekommen sind.

Es basiert auf der Messung der Geschwindigkeitsänderung und der Zeitänderung.

ID:(11347, 0)

Konzept

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Wenn die Beschleunigung konstant ist, ändert sich die Geschwindigkeitsänderung, die durch die Geschwindigkeit ($v$) dargestellt wird, linear in Abhängigkeit von der Zeit ($t$). Dies kann mithilfe von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die konstante Beschleunigung ($a_0$) und der Startzeit ($t_0$) berechnet werden und ergibt die Gleichung:

Diese Beziehung wird grafisch als eine gerade Linie dargestellt, wie unten gezeigt:

ID:(2253, 0)

Konzept

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Wenn wir einen Bereich mit der Breite $\Delta t$ auf einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm betrachten, entspricht dies dem zurückgelegten Weg während dieser Zeit:

Im speziellen Fall, in dem die Beschleunigung konstant ist, wird die Geschwindigkeit auf dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm als eine gerade Linie dargestellt. Diese Linie wird durch die Geschwindigkeit ($v$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die konstante Beschleunigung ($a_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) definiert, gleich:

und wird wie folgt grafisch dargestellt:

Da die Fläche unter der Kurve als Summe aus einem Rechteck mit der Fläche

$v_0(t-t_0)$

und einem Dreieck mit der Fläche

$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$

repräsentiert werden kann, können wir den Weg die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) aus die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$) berechnen, was zu folgendem führt:

Daher ist die Position ($s$) gleich:

ID:(4828, 0)

Konzept

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Wenn wir die Gleichung für die Geschwindigkeit ($v$) nach die konstante Beschleunigung ($a_0$) mit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Startzeit ($t_0$) auflösen:

und sie in die Gleichung für die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$) einsetzen:

erhalten wir den Weg als Funktion der Geschwindigkeit:

Aus dieser Beziehung ist ersichtlich, dass sowohl der Beschleunigungsweg als auch der Bremsweg vom Quadrat der End-/Anfangsgeschwindigkeit abhängen. Mit anderen Worten, eine Verdoppelung der Geschwindigkeit erfordert einen viermal längeren Weg.

ID:(14461, 0)

Beschreibung

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Wenn die Geschwindigkeit als Gerade zwischen der Geschwindigkeit an O und derjenigen an A dargestellt wird:

ist zu erkennen, dass die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit zugenommen hat. Deshalb entspricht die Steigung des Graphen der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit der Beschleunigung.

Eine größere Steigung bedeutet eine Erhöhung der Geschwindigkeit in kürzerer Zeit, was einer höheren Beschleunigung entspricht.

Eine kleinere Steigung bedeutet eine Erhöhung der Geschwindigkeit in längeren Zeitintervallen, was einer geringeren Beschleunigung entspricht.

ID:(11346, 0)

Beschreibung

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Ein Typ von Szenario im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm sind horizontale Abschnitte:

Wenn wir uns den Abschnitt AB ansehen, können wir sehen, dass trotz des Verlaufs der Zeit die Geschwindigkeit unverändert geblieben ist. Das bedeutet, dass das Objekt mit konstanter Geschwindigkeit reist (Vorsicht, das bedeutet NICHT, dass es gestoppt hat). Deshalb entsprechen horizontale Abschnitte, die einer Nullsteigung entsprechen, Stadien, in denen die Beschleunigung Null ist.

ID:(11348, 0)

Beschreibung

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Im Falle des Diagramms, in dem ein Segment eine negative Steigung aufweist:

befindet sich die Situation, in der sich die Geschwindigkeit zwischen B und C reduziert und wieder auf den Wert Null zurückkehrt. Mit anderen Worten, negative Steigungen entsprechen in diesem Fall einem Bremsvorgang.

Für positive Geschwindigkeiten entsprechen negative Steigungen einem Bremsvorgang. Bei negativen Geschwindigkeiten entspricht eine negative Steigung jedoch einer Erhöhung der negativen Geschwindigkeit und damit einer Beschleunigung. Bei negativen Geschwindigkeiten entspricht eine positive Beschleunigung einem Bremsvorgang.

Ein Bremsvorgang ist ein Vorgang, bei dem die Beschleunigung entgegengesetzt zum Vorzeichen der Geschwindigkeit ist.

ID:(11350, 0)

Beschreibung

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Für den Fall von die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist die Position ($s$) eine Funktion von der Zeit ($t$), ausgedrückt in Bezug auf die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die Ausgangsstellung ($s_0$) und der Startzeit ($t_0$):

was einer Parabel entspricht:

Die Parabel ist normal, wenn die Beschleunigung positiv ist ($a_0>0$) und umgekehrt, wenn sie negativ ist ($a_0<0$).

Wenn $v_0/a_0$ positiv ist, tritt das Minimum ($a_0>0$) oder Maximum ($a_0<0$) vor der Anfangszeit auf, sodass die Entwicklung keine Änderung des Vorzeichens in der Geschwindigkeit zeigt, da die Steigung der Kurve kein Vorzeichenwechsel aufweist.

Wenn $v_0/a_0$ negativ ist, tritt das Minimum ($a_0>0$) oder Maximum ($a_0<0$) nach der Anfangszeit auf, was zu einer Umkehrung der Bewegung in der Zukunft führt.

Im Falle eines Minimums ($a_0>0$) befindet es sich unterhalb der Anfangsposition um eine Entfernung von $v_0^2/2a_0$. Ähnlich verhält es sich, wenn es ein Maximum ($a_0<0$) ist, es befindet sich oberhalb der Anfangsposition um eine Entfernung von $v_0^2/2a_0$.

ID:(2823, 0)

Konzept

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Eine häufige Situation ist, wenn die Beschleunigung konstant ist, was bedeutet, dass die Geschwindigkeit proportional zur vergangenen Zeit zunimmt.

Daher gilt die konstante Beschleunigung ($a_0$):

$a_0=g$

Ein Beispiel für eine konstante Beschleunigung ist die Beschleunigung durch die Schwerkraft, die von Objekten auf der Oberfläche des Planeten erfahren wird, wenn sie fallen. Auf der Oberfläche der Erde beträgt diese Beschleunigung $9,8 m/s^2$ und wird allgemein mit dem Buchstaben $g$ bezeichnet. Tatsächlich gibt es eine Maßeinheit namens $g$, die $9,8 m/s^2$ entspricht.

ID:(11351, 0)

Konzept

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Ein Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, erfährt keine Beschleunigung.

Daher ist im Fall, dass die konstante Beschleunigung ($a_0$) null ist,

$a_0=0$

die Position ($s$), mit die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$),

reduziert sich auf den Fall konstanter Geschwindigkeit:

ID:(11349, 0)

Konzept

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Wenn die konstante Beschleunigung ($a_0$) mit die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleichgesetzt wird, wird die Definition von die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) mit die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) assoziiert, und andererseits wird die Linie berücksichtigt, die die Berechnung von die Geschwindigkeit ($v$) in Bezug auf die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) ermöglicht. Mit Hilfe der Geschwindigkeitsbeziehung kann die Position ($s$) basierend auf die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) oder basierend auf die Ausgangsstellung ($s_0$), die Geschwindigkeit ($v$) und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) berechnet werden. Beide Gleichungen enthalten die konstante Beschleunigung ($a_0$). Schließlich werden die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$), der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) und die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) einbezogen, bei denen der Endwert vom Anfangswert abgezogen wird.

Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15390, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Beschleunigung entspricht der Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit.

Deshalb ist es notwendig, die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) in Abhängigkeit von die Geschwindigkeit ($v$) und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) wie folgt zu definieren:

$ \Delta v \equiv v - v_0 $

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

$v$

Geschwindigkeit

$m/s$

$\Delta v$

Geschwindigkeit Unterschied

$m/s$

Beziehung

ID:(4355, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, müssen wir die vergangene Zeit berechnen. Diese Größe wird durch Messung der Anfangszeit und der Endzeit der Bewegung ermittelt. Die Dauer wird durch Subtraktion der Anfangszeit von der Endzeit bestimmt.

Mathematisch wird dies als

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

$t_0$

Startzeit

$s$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

dargestellt, wobei $\Delta t$ die Dauer, $t$ die Endzeit und $t_0$ die Anfangszeit ist.

ID:(4353, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Verhältnis, in dem die Geschwindigkeitsänderung im Laufe der Zeit definiert ist, wird als die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) bezeichnet. Um es zu messen, ist es notwendig, die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) zu beobachten.

Eine gängige Methode zur Messung der durchschnittlichen Beschleunigung besteht darin, eine Stroboskoplampe zu verwenden, die das Objekt in definierten Intervallen beleuchtet. Durch Aufnahme eines Fotos kann man die Strecke bestimmen, die das Objekt in dieser Zeit zurückgelegt hat. Durch Berechnung von zwei aufeinanderfolgenden Geschwindigkeiten kann man ihre Änderung bestimmen und mit der verstrichenen Zeit zwischen den Fotos die durchschnittliche Beschleunigung berechnen.

Die Gleichung für die durchschnittliche Beschleunigung lautet:

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

$\Delta v$

Geschwindigkeit Unterschied

$m/s$

$\bar{a}$

Mittlere Beschleunigung

$m/s^2$

Beziehung

Entwicklung

Die Definition von die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) wird als die Beziehung zwischen die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) betrachtet. Das heißt,

$ \Delta v \equiv v - v_0 $

und

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Die Beziehung zwischen beiden wird als die Kreiselbeschleunigung ($a_c$)

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$

innerhalb dieses Zeitintervalls definiert.

Es ist wichtig zu beachten, dass die durchschnittliche Beschleunigung eine Schätzung der tatsächlichen Beschleunigung darstellt.

Das Hauptproblem besteht darin, dass, wenn sich die Beschleunigung während der verstrichenen Zeit ändert, der Wert der durchschnittlichen Beschleunigung stark von der mittleren Beschleunigung abweichen kann.

Daher

Der Schlüssel ist die Beschleunigung über einen ausreichend kurzen Zeitraum zu bestimmen, um die Variation zu minimieren.

ID:(3678, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Beschleunigung konstant bleibt, wird die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) sein, was wie folgt ausgedrückt wird:

$ a_0 = \bar{a} $

Bedingungen

Variablen

$a_0$

konstante Beschleunigung

$m/s^2$

$\bar{a}$

Mittlere Beschleunigung

$m/s^2$

Beziehung

ID:(10296, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist, dann ist die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich dem Wert der Beschleunigung, das heißt,

.

In diesem Fall kann die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von der Zeit ($t$) berechnet werden, indem berücksichtigt wird, dass sie mit der Differenz zwischen die Geschwindigkeit ($v$) und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) sowie der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) verbunden ist.

$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

$v$

Geschwindigkeit

$m/s$

$a_0$

konstante Beschleunigung

$m/s^2$

$t_0$

Startzeit

$s$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

Entwicklung

Im Falle, dass die konstante Beschleunigung ($a_0$) gleich die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) ist, wird es gleich

$ a_0 = \bar{a} $

.

Deshalb, wenn wir die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) als

$ \Delta v \equiv v - v_0 $

und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) als

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

betrachten, kann die Gleichung für die konstante Beschleunigung ($a_0$)

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$

als

$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$

geschrieben werden, und durch Umstellen erhalten wir

$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$

.

Diese Gleichung repräsentiert somit eine Gerade im Geschwindigkeits-Zeit-Raum.

ID:(3156, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Fall von ($$) variiert die Geschwindigkeit ($v$) linear mit der Zeit ($t$), unter Verwendung von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Startzeit ($t_0$):

Daher kann die Fläche unter dieser Linie berechnet werden, was zu die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) führt. In Kombination mit die Ausgangsstellung ($s_0$) können wir die Position ($s$) berechnen, was zu folgendem Ergebnis führt:

$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

$s_0$

Ausgangsstellung

$m$

$a_0$

konstante Beschleunigung

$m/s^2$

$s$

Position

$m$

$t_0$

Startzeit

$s$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

Entwicklung

Im Fall von die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von der Zeit ($t$) eine Gerade, die durch der Startzeit ($t_0$) und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) verläuft und durch die Gleichung definiert ist:

$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$

Da die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) den Bereich unter der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve darstellt, können wir die Beiträge des Rechtecks summieren:

$v_0(t-t_0)$

und des Dreiecks:

$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$

Um die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) mit die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$) zu erhalten, ergibt sich:

$ \Delta s \equiv s - s_0 $

Daraus folgt:

$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

Dies entspricht der allgemeinen Form einer Parabel.

ID:(3157, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Falle einer konstanten Beschleunigung können wir die Position ($s$) aus die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) mit der Gleichung berechnen:

Dies ermöglicht es uns, die Beziehung zwischen der während der Beschleunigung/Verzögerung zurückgelegten Strecke und der Änderung der Geschwindigkeit zu bestimmen:

$ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

$s_0$

Ausgangsstellung

$m$

$v$

Geschwindigkeit

$m/s$

$a_0$

konstante Beschleunigung

$m/s^2$

$s$

Position

$m$

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir die Gleichungen für der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) in die Gleichung für die Geschwindigkeit ($v$) auflösen, die von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und die konstante Beschleunigung ($a_0$) abhängt:

$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$

erhalten wir:

$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$

Dann, wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung für die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$) einsetzen:

$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

erhalten wir einen Ausdruck für den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit:

$ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$

ID:(3158, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wir können die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) aus die Ausgangsstellung ($s_0$) und die Position ($s$) berechnen mit der folgenden Gleichung:

$ \Delta s \equiv s - s_0 $

Bedingungen

Variablen

$s_0$

Ausgangsstellung

$m$

$s$

Position

$m$

$\Delta s$

Zurückgelegte Strecke in einer Zeit

$m$

Beziehung

ID:(4352, 0)