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Aceleración constante
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Para que un objeto alcance una velocidad determinada, primero debe aumentar su velocidad desde el reposo. Este proceso se denomina aceleración y se define en función de la variación de la velocidad en el tiempo. Por otro lado, si se busca reducir la velocidad e incluso detener el objeto, también se introduce una aceleración, pero con el signo opuesto al de la velocidad (si la velocidad es positiva, la aceleración es negativa, y viceversa), lo que se conoce como frenado.
ID:(609, 0)
Mecanismos
Concepto
La estructura general del modelo de la aceleración constante ($a_0$) en que por un lado se iguala a la aceleración media ($\bar{a}$) y con ello la relación entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Por otro lado existe tres relaciones en torno a la aceleración constante ($a_0$) en que se asocia a la velocidad ($v$) y el tiempo ($t$) ($v, t$), a la posición ($s$) y el tiempo ($t$) ($s, t$) o la posición ($s$) y la velocidad ($v$) ($s, v$):
Mecanismos
Por último las relaciones se asocian a parámetros que no se muestran que son la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$) y el tiempo inicial ($t_0$) y que según el sistema de coordenadas que se emplea pueden ser definidas como nulas. Esto es iniciar el movimiento en el origen ($s_0=0$), comenzar a medir desde el origen del tiempo ($t_0=0$) y el origen del sistema de coordenadas está en reposo respecto del observador por lo que no hay velocidad inicial ($v_0=0$).
ID:(15389, 0)
Aceleración
Concepto
Cuando la velocidad no es constante, es importante conocer cómo va aumentando o disminuyendo. Para ello, es necesario conocer la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo, que se conoce como aceleración o desaceleración, según se trate de un aumento o una disminución de la velocidad.
Por ejemplo, si viajamos a una velocidad de 100 km/h y frenamos reduciendo la velocidad en 10 km/h por segundo, sabemos que nos detendremos en 10 segundos.
La aceleración se basa en la medición de la variación de la velocidad y la variación del tiempo.
ID:(11347, 0)
Velocidad en el caso de aceleración constante
Concepto
Cuando la aceleración es constante, la variación de la velocidad, representada por la velocidad ($v$), cambia linealmente en función de el tiempo ($t$). Esto se puede calcular utilizando la velocidad inicial ($v_0$), la aceleración constante ($a_0$) y el tiempo inicial ($t_0$), lo que nos da la ecuación:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Esta relación se representa gráficamente como una línea recta, como se muestra a continuación:
ID:(2253, 0)
Camino calculado de la velocidad
Concepto
Si consideramos un área de ancho $\Delta t$ en un gráfico de velocidad versus tiempo, podemos ver que corresponde al desplazamiento durante ese tiempo:
En el caso particular donde la aceleración es constante, la velocidad se representa en el gráfico de velocidad versus tiempo como una recta. Esta recta está definida por la velocidad ($v$), la velocidad inicial ($v_0$), la aceleración constante ($a_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$), igual a:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
y se grafica como sigue:
Dado que el área debajo de la curva se puede representar como la suma de un rectángulo de área
$v_0(t-t_0)$
y un triángulo de área
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Podemos calcular el desplazamiento la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) a partir de la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), lo que nos lleva a:
| $ \Delta s \equiv s - s_0 $ |
Por lo tanto, la posición ($s$) es igual a:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
ID:(4828, 0)
Camino de aceleración/frenado
Concepto
Si despejamos la ecuación de la velocidad ($v$) para la aceleración constante ($a_0$) en función de la velocidad inicial ($v_0$) y el tiempo inicial ($t_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
y lo sustituimos en la ecuación de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtenemos la expresión para el camino en función de la velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
De esta relación, podemos observar que tanto el camino de aceleración como el de frenado dependen del cuadrado de la velocidad final/inicial. Es decir, duplicar la velocidad requeriría un camino cuatro veces más largo.
ID:(14461, 0)
Evolución de la velocidad en el tiempo
Descripción
Si se representa gráficamente la velocidad como una recta entre la velocidad inicial en O y la velocidad final en A:
Se puede observar que la velocidad ha aumentado durante el tiempo transcurrido. Por lo tanto, la pendiente de la gráfica de velocidad vs. tiempo corresponde a la aceleración.
Cuanto mayor sea la pendiente, mayor será el aumento de la velocidad en un menor tiempo, lo que se corresponde con una mayor aceleración.
Por el contrario, si la pendiente es menor, significa que la velocidad ha aumentado en un mayor tiempo, lo que corresponde a una menor aceleración.
ID:(11346, 0)
Diagrama velocidad tiempo con segmento horizontal
Descripción
Un tipo de escenario en el gráfico de velocidad vs tiempo es cuando hay segmentos horizontales:
Si observamos el segmento AB, podemos ver que a pesar del paso del tiempo, la velocidad no ha cambiado. Esto significa que el objeto está viajando con velocidad constante (cuidado, esto NO significa que se haya detenido). Por lo tanto, los segmentos horizontales, que corresponden a una pendiente nula, corresponden a etapas donde la aceleración es cero.
ID:(11348, 0)
Pendiente negativa en diagrama velocidad tiempo
Descripción
En el caso de la gráfica en la que un segmento tiene pendiente negativa:
se presenta una situación en la que la velocidad se reduce entre B y C volviendo al valor cero. En otras palabras, las pendientes negativas corresponden, en este caso, a un proceso de frenado.
Para velocidades positivas, las pendientes negativas corresponden a un proceso de frenado. Sin embargo, para velocidades negativas, una pendiente negativa corresponde a un incremento de la velocidad negativa y, por lo tanto, a una aceleración. En el caso de velocidades negativas, la aceleración positiva corresponde a un proceso de frenado.
Un proceso de frenado es aquel cuya aceleración tiene un signo opuesto al de la velocidad.
ID:(11350, 0)
Parábola de la posición
Descripción
Para el caso de la aceleración constante ($a_0$), la posición ($s$) es una función de el tiempo ($t$) expresada en términos de la velocidad inicial ($v_0$), la posición inicial ($s_0$) y el tiempo inicial ($t_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
que corresponde a una parábola:
La parábola es normal si la aceleración es positiva ($a_0>0$) e invertida si es negativa ($a_0<0$).
Si $v_0/a_0$ es positivo, el mínimo ($a_0>0$) o máximo ($a_0<0$) se produce antes del tiempo inicial, por lo que la evolución no mostrará un cambio de signo en la velocidad, ya que la pendiente de la curva no cambia de signo.
Si $v_0/a_0$ es negativo, el mínimo ($a_0>0$) o máximo ($a_0<0$) se produce después del tiempo inicial, lo que resultará en una inversión del movimiento en el futuro.
En el caso de ser un mínimo ($a_0>0$), este se encuentra en una posición inferior a la posición inicial a una distancia $v_0^2/2a_0$. De manera similar, si es un máximo ($a_0<0$), se ubicará en una posición superior a la posición inicial a una distancia $v_0^2/2a_0$.
ID:(2823, 0)
Aceleración es igual a la aceleración gravitacional
Concepto
Una situación común es que la aceleración sea constante, lo que significa que la velocidad aumenta proporcionalmente al tiempo transcurrido.
Por lo tanto la aceleración constante ($a_0$),
$a_0=g$
Un ejemplo de aceleración constante es la aceleración de la gravedad que experimentan los objetos al caer sobre la superficie del planeta. En la superficie de la Tierra, esta aceleración es de $9,8 m/s^2$ y generalmente se denota con la letra $g$. De hecho, existe una unidad de medida llamada $g$ que equivale a $9,8 m/s^2$.
ID:(11351, 0)
Desplazamiento a velocidad constante
Concepto
Un cuerpo que se desplaza a una velocidad constante no experimenta aceleración.
Por lo tanto, en el caso en que la aceleración constante ($a_0$) sea nulo,
$a_0=0$
la posición ($s$), con la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$),
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
se reduce al caso de velocidad constante:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$ |
ID:(11349, 0)
Modelo
Concepto
Si igualamos la aceleración constante ($a_0$) y la aceleración media ($\bar{a}$), asociamos la definición de la aceleración media ($\bar{a}$) con la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Por otro lado, consideramos la recta que permite calcular la velocidad ($v$) en función de la velocidad inicial ($v_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$).
Usando la relación de la velocidad, podemos calcular la posición ($s$) en función de la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$), o en función de la posición inicial ($s_0$), la velocidad ($v$) y la velocidad inicial ($v_0$).
Ambas ecuaciones incluyen la aceleración constante ($a_0$). Finalmente, incorporamos la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), el tiempo transcurrido ($\Delta t$) y la diferencia de velocidad ($\Delta v$), donde restamos el valor final del valor inicial.
Estas relaciones se representan en el siguiente gráfico:
Las ecuaciones que cumplen estas relaciones dan lugar al siguiente modelo que permite calcular cualquier escenario:
Variables
Parámetros
Parámetro seleccionado
Cálculos
Ecuación
$ a_0 = \bar{a} $
a_0 = a_m
$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$
a_m = Dv / Dt
$ \Delta s \equiv s - s_0 $
Ds = s - s_0
$ \Delta t \equiv t - t_0 $
Dt = t - t_0
$ \Delta v \equiv v - v_0 $
Dv = v - v_0
$ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$
s = s_0 + v_0 * ( t - t_0 )+ a_0 *( t - t_0 )^2/2
$ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$
s = s_0 +( v ^2- v_0 ^2)/(2* a_0 )
$ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$
v = v_0 + a_0 *( t - t_0 )
ID:(15390, 0)
Variación de la velocidad
Ecuación
La aceleración se define como la variación de la velocidad por unidad de tiempo.
Por lo tanto, es necesario establecer la diferencia de velocidad ($\Delta v$) en función de la velocidad ($v$) y la velocidad inicial ($v_0$) de la siguiente manera:
 $ \Delta v \equiv v - v_0 $ |
ID:(4355, 0)
Tiempo transcurrido
Ecuación
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duración se determina restando el tiempo inicial a el tiempo final:
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 0)
Aceleración media
Ecuación
La proporción en la que la variación de la velocidad a lo largo del tiempo se define como la aceleración media ($\bar{a}$). Para medirla, es necesario observar la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Un método común para medir la aceleración media consiste en utilizar una lámpara estroboscópica que ilumina el objeto en intervalos definidos. Al tomar una fotografía, se puede determinar la distancia recorrida por el objeto en ese tiempo. Al calcular dos velocidades consecutivas, se puede determinar su variación y, con el tiempo transcurrido entre las fotos, la aceleración media.
La ecuación que describe la aceleración media es la siguiente:
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
La definición de la aceleración media ($\bar{a}$) se considera como la relación entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Es decir,
| $ \Delta v \equiv v - v_0 $ |
y
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Se define la relación entre ambos como la aceleración centrifuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
en dicho intervalo de tiempo.
Es importante tener en cuenta que la aceleración media es una estimación de la aceleración real.
El problema principal radica en que si la aceleración varía durante el tiempo transcurrido, el valor de la aceleración media puede diferir en gran medida de la aceleración promedio
.
Por lo tanto, la clave es
Determinar la aceleración en un período de tiempo suficientemente corto para minimizar la variación.
ID:(3678, 0)
Aceleración constante
Ecuación
Si la aceleración no varía, la aceleración media ($\bar{a}$) será igual a la aceleración constante ($a_0$), lo que se expresa como:
| $ a_0 = \bar{a} $ |
ID:(10296, 0)
Velocidad con aceleración constante
Ecuación
Si la aceleración constante ($a_0$), entonces la aceleración media ($\bar{a}$) es igual al valor de la aceleración, es decir,
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
En este caso, la velocidad ($v$) como función de el tiempo ($t$) se puede calcular recordando que está asociada con la diferencia entre la velocidad ($v$) y la velocidad inicial ($v_0$), así como el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$).
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
En el caso de que la aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración media ($\bar{a}$), será igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Por lo tanto, considerando la diferencia de velocidad ($\Delta v$)
| $ \Delta v \equiv v - v_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$)
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
la ecuación de la aceleración constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
se puede escribir como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
y al despejar, se obtiene
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
De esta manera, la ecuación representa una línea recta en el espacio de velocidad-tiempo.
ID:(3156, 0)
Camino con aceleración constante
Ecuación
En el caso de que una aceleración constante ($a_0$), la variable la velocidad ($v$) varía de forma lineal con respecto a el tiempo ($t$), utilizando la velocidad inicial ($v_0$) y el tiempo inicial ($t_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Así, el área bajo esta recta se puede calcular, lo que nos proporciona la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$). Al combinar esto con la posición inicial ($s_0$), podemos calcular la posición ($s$), lo que resulta en:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
En el caso de la aceleración constante ($a_0$), la velocidad ($v$) en función de el tiempo ($t$) es una recta que pasa por el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad inicial ($v_0$), definida por la ecuación:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) representa el área bajo la curva velocidad-tiempo, podemos sumar las contribuciones del rectángulo:
$v_0(t-t_0)$
y el triángulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Para obtener la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), resultando en:
| $ \Delta s \equiv s - s_0 $ |
Por lo tanto:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
Esto corresponde a la forma general de una parábola.
ID:(3157, 0)
Camino de aceleración/frenado en función de la velocidad
Ecuación
En el caso de una aceleración constante, podemos calcular la posición ($s$) a partir de la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) según la ecuación:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
Esto nos permite calcular la relación entre la distancia de aceleración/frenado y el cambio de velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
Si despejamos las ecuaciones para el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) en la ecuación de la velocidad ($v$), que depende de la velocidad inicial ($v_0$) y la aceleración constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Y al sustituir esto en la ecuación de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtenemos una expresión para el camino recorrido en función de la velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
ID:(3158, 0)
Distancia recorrida
Ecuación
Podemos calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) a partir de la posición inicial ($s_0$) y la posición ($s$) mediante la siguiente ecuación:
| $ \Delta s \equiv s - s_0 $ |
ID:(4352, 0)