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El vapor de agua interactúa con la superficie de los granos del suelo, formando capas de agua en su superficie. El grado de cobertura depende de la presión del vapor de agua presente.

>Modelo

ID:(374, 0)

Concepto

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ID:(15209, 0)

Concepto

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Las moléculas de agua que se encuentran en forma de vapor pueden ser capturadas por la superficie de los granos. Esta absorción se produce debido a las fuerzas intermoleculares.

Por otro lado, debido a las oscilaciones térmicas, una molécula absorbida puede adquirir suficiente energía para liberarse.

Se alcanza un estado de equilibrio cuando la cantidad de partículas absorbidas es igual a la cantidad que logra liberarse nuevamente.

ID:(115, 0)

Concepto

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Cuando se compara el modelo de Langmuir con sistemas reales, se observan discrepancias significativas. Por esta razón, han surgido varios modelos que se basan en el ajuste de curvas a datos experimentales.

En la gráfica mostrada, se presentan los modelos de Langmuir de una y dos capas en el lado izquierdo, junto con los modelos de Freundlich y Temkin:

Graficas de los modelos Langmuir, Freundlich y Temkin [1]

[1] "A comparison of the Langmuir, Freundlich and Temkin equations to describe phosphate adsorption properties of soil." (Una comparación de las ecuaciones de Langmuir, Freundlich y Temkin para describir las propiedades de adsorción de fosfato del suelo), Mead, J.A., Aust. J. Soil Res. 19:333-342 (1981)

ID:(7977, 0)

Concepto

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Las moléculas en el interior de un líquido experimentan atracciones equitativas hacia todas sus vecinas. Esto resulta en que, en suma, las fuerzas ejercidas se anulan mutuamente, lo que hace que la molécula se comporte como una partícula libre.

Sin embargo, la situación es diferente para las moléculas en la superficie. Dado que hay más moléculas en el interior del líquido que generan una fuerza efectiva hacia adentro, esto evita que las moléculas en la superficie abandonen el líquido.

La fuerza descrita en la lámina anterior da origen a lo que se conoce como ($$). Esta tensión superficial crea una especie de membrana en la superficie, lo que permite que algunos insectos se desplacen sobre ella sin hundirse. Por ejemplo, la pata de la araña en la imagen no perfora la superficie, evitando así que se hunda.

La tensión superficial también es responsable de la forma de las gotas de agua. La atracción entre las moléculas tiende a hacer que la gota tenga la menor superficie posible, lo que significa que buscará asumir una forma esférica. Esto provoca que un chorro de agua tienda a romperse en gotas, y estas gotas tienden a ser esféricas o fluctuar en torno a esta forma.

ID:(1551, 0)

Concepto

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La capilaridad provoca que el agua se acumule entre los granos del suelo. Se forma un menisco alrededor de la zona de unión, como se muestra en la imagen con las flechas rojas:

Fuerza generada por la tensión superficial en el menisco formado entre los granos.

la tensión superficial ($\sigma$) genera una presión interna la presión por tensión superficial ($p_c$), que depende de radio de la curvatura ($r$), contrarrestando la presión sobre el menisco generado la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$).

El efecto final del menisco es generar una fuerza que une los granos del suelo, proporcionando cohesión, lo cual es fundamental para las propiedades mecánicas del suelo.

Por otro lado, la misma tensión dificulta la eliminación del agua del suelo durante los procesos de secado.

Para ilustrar, consideremos la construcción de castillos de arena en la playa. Si agregamos demasiada agua a la arena, los meniscos no se forman (el radio es mayor que el grano), y la arena no es moldeable. Por otro lado, a medida que el sol seca la arena, se pierde la cohesión y el castillo se derrumba.

Castillos de arena en la playa, Kirt Edblom from Kihei, Hi, United States (commons.wikimedia.org)

ID:(10687, 0)

Concepto

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La geometría está definida por dos granos que se asumen como esferas de el radio de un grano genérico ($r_0$) en contacto en un punto. En esta zona, se forma una región con agua que, gracias a la tensión superficial ($\sigma$), se concentra alrededor del punto de contacto y crea un menisco de el radio del menisco ($r_m$) en su entorno, de manera similar a si existiera un toro imaginario, como se muestra en la imagen a continuación:

&bull: la sección ($S$) corresponde a la línea del toro imaginario entre los dos puntos de contacto entre el grano y el toro, que luego debe ser rotada en torno a un eje que pasa por los dos centros de los granos.
&bull: el volumen ($V$) corresponde al área celeste que luego debe ser rotada en torno a un eje que pasa por los dos centros de los granos.

ID:(15151, 0)

Concepto

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Parámetro seleccionado

Cálculos

ID:(15233, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Las moléculas de agua pueden ser adsorbidas por la superficie de los granos, es decir, capturadas y retenidas mediante fuerzas intermoleculares.

La cantidad retenida depende tanto de estas fuerzas intermoleculares como de la concentración o presión del vapor de agua presente en la superficie.

En 1918, Langmuir [1] estudió el equilibrio entre un gas de partículas asociado a la concentración segunda componente ($[P]$), los espacios vacíos asociados a la concentración primera componente ($[S]$) y los espacios ocupados asociados a la concentración componente reaccionada ($[SP]$):

$S + P\rightleftharpoons SP$

Propuso que las concentraciones cumplen una ecuación del tipo:

$ K =\displaystyle\frac{ [SP] }{ [S] [P] }$

Condiciones

Variables

$K$

Cociente de concentración

$1/m^3$

$[SP]$

Concentración componente reaccionada

$1/m^3$

$[S]$

Concentración primera componente

$1/m^3$

$[P]$

Concentración segunda componente

$1/m^3$

Relación

[1] "The Adsorption of Gases on Plane Surfaces of Glass, Mica, and Platinum" (La adsorción de gases en superficies planas de vidrio, mica y platino), Irving Langmuir, Journal of the American Chemical Society, Volume 40, Issue 9, pages 1361-1403 (1918).

ID:(4745, 0)

Ecuación

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Basándonos en la suposición de que las concentraciones en una reacción química pueden compararse con las 'componentes': las moléculas de agua en el aire (la concentración segunda componente ($[P]$)), los espacios vacíos sobre el grano (la concentración primera componente ($[S]$)), y los lugares ocupados (la concentración componente reaccionada ($[SP]$)), podemos modelar la cobertura del grano con la relación en el cociente de concentración ($K$):

De esta manera, utilizando la concentración molar ($c_m$), fracción de cobertura de agua ($\theta$) y la constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) [1], obtenemos el grado de cobertura en función de la presión de vapor de agua:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

Condiciones

Variables

$c_n$

Concentración

$1/m^3$

$\alpha$

Constante de Langmuir ($m^3/mol$)

$m^3/mol$

$\theta$

Fracción de cobertura de agua

$-$

Relación

Desarrollo

With the occupied spaces la concentración segunda componente ($[P]$), the empty spaces associated with la concentración primera componente ($[S]$), and the occupied spaces associated with la concentración componente reaccionada ($[SP]$) and el cociente de concentración ($K$):

$ K =\displaystyle\frac{ [SP] }{ [S] [P] }$

If fracción de cobertura de agua ($\theta$) represents the fraction of surface occupied by molecules:

$[SP] \propto \theta$ - occupied spaces on the grain

$[S] \propto 1-\theta$ - empty spaces on the grain, and

$[P] \propto c$ - vapor concentration of water in the intergranular space

Then, it can be rewritten as

$\alpha=\displaystyle\frac{\theta}{(1-\theta)c}$

with la constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$).

If we solve for fracción de cobertura de agua ($\theta$), we obtain the degree of coverage as a function of water vapor pressure:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

El significado físico de la constante de Langmuir es un coeficiente de afinidad de la superficie del grano con el agua. Cuanto mayor sea su valor, mayor será la probabilidad de que las moléculas de agua se adhieran a la superficie.

[1] "The Constitution and Fundamental Properties of Solids and Liquids. Part I. Solids" (La Constitución y Propiedades Fundamentales de Sólidos y Líquidos. Parte I. Sólidos) - Irving Langmuir, Journal of the American Chemical Society, Volume 38, Issue 11, páginas 2221-2295 (1916).

ID:(7973, 0)

Ecuación

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La obtención de fracción de cobertura de agua ($\theta$) se basa en la concentración ($c_n$) y, por lo tanto, puede expresarse en función de la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$) utilizando la constante universal de los gases ($R$) y la temperatura absoluta ($T$) mediante la ecuación:

En este caso, la constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) puede ser sustituido por la constante de Langmuir ($1/Pa$) ($\alpha_p$) utilizando la ecuación:

$ \alpha_p \equiv\displaystyle\frac{ \alpha }{ R T }$

Condiciones

Variables

$\alpha$

Constante de Langmuir ($1/Pa$)

$1/Pa$

$\alpha$

Constante de Langmuir ($m^3/mol$)

$m^3/mol$

$R$

Constante universal de los gases

8.4135

$J/mol K$

$T$

Temperatura absoluta

$K$

Relación

Desarrollo

fracción de cobertura de agua ($\theta$) se puede calcular con la constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) y la concentración molar ($c_m$) con

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

Si se reeemplaza la concentración molar ($c_m$) con la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$) empleando con la constante universal de los gases ($R$) y la temperatura absoluta ($T$) la ecuación

$ p = c_m R T $

se observa que la constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) puede ser reemplazado por un la constante de Langmuir ($1/Pa$) ($\alpha_p$) resultando

$ \alpha_p \equiv\displaystyle\frac{ \alpha }{ R T }$

Se puede consultar un artículo que describe cómo estimar la constante de Langmuir en [1]. Otro artículo estudia la absorción de diferentes iones en la superficie de los granos [2]. Para una constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) del orden de 1000 L/mol, como se describe en el artículo, la constante de Langmuir ($1/Pa$) ($\alpha_p$) será de aproximadamente 4.1E-4 1/Pa a temperatura ambiente.

[1] "Evaluation of thermodynamic parameters of cadmium adsorption on sand from Temkin adsorption isotherm" (Evaluación de los parámetros termodinámicos de la adsorción de cadmio en arena de la isoterma de adsorción de Temkin), Abdul Satter Ali Khan, Turk J. Chem 36, 437-443 (2012).

[2] "A Comparison of the Langmuir, Freundlich and Temkin Equations to Describe Phosphate Sorption Characteristics of Some Representative Soils of Bangladesh" (Una comparación de las ecuaciones de Langmuir, Freundlich y Temkin para describir las características de sorción de fosfato de algunos suelos representativos de Bangladesh), Mohammad Z. Afsar, Sirajul Hoque, K.T. Osman, International Journal of Soil Science 7 (3): 91-99 (2012).

ID:(7976, 0)

Ecuación

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fracción de cobertura de agua ($\theta$) se calcula en función de la concentración ($c_n$), lo que permite su reescritura en términos de la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$) utilizando la constante universal de los gases ($R$) y la temperatura absoluta ($T$) a través de la ecuación:

En este caso, la expresión para fracción de cobertura de agua ($\theta$) se puede reescribir en términos de la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$) como sigue:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha_p p_v }{1+ \alpha_p p_v }$

Condiciones

Variables

$\alpha$

Constante de Langmuir ($1/Pa$)

$1/Pa$

$\theta$

Fracción de cobertura de agua

$-$

$p_v$

Presión de vapor de agua no saturado

$Pa$

Relación

Desarrollo

fracción de cobertura de agua ($\theta$) se puede calcular utilizando la constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) y la concentración molar ($c_m$) mediante la ecuación:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

Si sustituimos la concentración molar ($c_m$) por la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$) utilizando la constante universal de los gases ($R$) y la temperatura absoluta ($T$) a través de la ecuación:

$ p = c_m R T $

se observa que la constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) puede ser reemplazado por la constante de Langmuir ($1/Pa$) ($\alpha_p$) utilizando la ecuación:

$ \alpha_p \equiv\displaystyle\frac{ \alpha }{ R T }$

lo que resulta en:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha_p p_v }{1+ \alpha_p p_v }$

ID:(4444, 0)

Ecuación

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En 1834, Émile Clapeyron reconoció que la presión ($p$), el volumen ($V$), la temperatura absoluta ($T$) y el número de moles ($n$) se relacionan mediante la ley de Boyle, la ley de Charles, la ley de Gay-Lussac y la ley de Avogadro. Estas leyes se pueden reescribir en la forma:

$ p V = n R T $

Condiciones

Variables

$R$

Constante universal de los gases

8.4135

$J/mol K$

$n$

Número de moles

$-$

$p$

Presión

$Pa$

$T$

Temperatura absoluta

$K$

$V$

Volumen

$m^3$

Relación

Desarrollo

La presión ($p$), el volumen ($V$), la temperatura absoluta ($T$) y el número de moles ($n$) están vinculados a través de las siguientes leyes físicas:

• La ley de Boyle

$ p V = C_{pV} $

• La ley de Charles

$\displaystyle\frac{ V }{ T } = C_{VT}$

• La ley de Gay-Lussac

$\displaystyle\frac{ p }{ T } = C_{pT}$

• La ley de Avogadro

$\displaystyle\frac{ n }{ V } = C_{nV} $

Estas leyes pueden ser expresadas de manera más general como:

$\displaystyle\frac{pV}{nT}=cte$

Esta relación general establece que el producto de la presión y el volumen dividido por el número de moles y la temperatura se mantiene constante:

$ p V = n R T $

En esta ecuación, la constante universal de los gases ($R$) asume el valor 8.314 J/K·mol.

ID:(3183, 0)

Ecuación

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El número de moles ($n$) se determina dividiendo el volumen ($V$) de una sustancia por su el volumen molar ($V_m$), que corresponde al peso de un mol de la sustancia.

Por lo tanto, se puede establecer la siguiente relación:

$ n =\displaystyle\frac{ V }{ V_m }$

Condiciones

Variables

Relación

El volumen molar se expresa en metros cúbicos por mol ($m^3/mol$).

Es importante tener en cuenta que el volumen molar depende de las condiciones de presión y temperatura en las que se encuentra la sustancia, especialmente en el caso de un gas, por lo que se define considerando las condiciones específicas.

ID:(15147, 0)

Ecuación

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En general, el diferencial de la energía libre de Gibbs ($dG$) es igual a la entropía ($S$), la variación de la temperatura ($dT$), el volumen ($V$), y la variación de la presión ($dp$), lo cual se expresa de la siguiente manera:

Durante un cambio de fase, es necesario tener en cuenta la diferencia de esta expresión entre las dos fases. Sin embargo, en este caso, la temperatura absoluta ($T$) no varía, por lo que el término $SdT$ no aparece. Por otro lado, al considerar la variación de los términos el volumen ($V$) y la variación de la presión ($dp$), se abarca la variación de volumen en cambio de fase ($\Delta V$). Finalmente, es necesario incluir el término la tensión superficial ($\sigma$) y la variación de la superficie ($dS$):

$ dG = \sigma dS + \Delta V dp $

Condiciones

Variables

Relación

ID:(15146, 0)

Ecuación

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En general, el diferencial de la energía libre de Gibbs ($dG$) es igual a la tensión superficial ($\sigma$), la variación de la superficie ($dS$), el volumen ($V$) y la variación de la presión ($dp$), lo cual se expresa de la siguiente manera:

Sin embargo, en el caso del menisco de agua, la temperatura absoluta ($T$) no varía, pero la superficie sí cambia a medida que más moléculas se condensan dentro de el volumen ($V$) de agua. Por lo tanto, al integrar desde la ausencia de moléculas de agua hasta alcanzar el estado de equilibrio, se obtiene la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) en términos de la sección ($S$), la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$), la presión de vapor de agua saturado ($p_s$), el volumen molar ($V_m$), y la constante universal de los gases ($R$):

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

El diferencial de la energía libre de Gibbs ($dG$) with la tensión superficial ($\sigma$), la variación de la superficie ($dS$), el volumen ($V$), and la variación de la presión ($dp$) leads to:

$ dG = \sigma dS + \Delta V dp $

Integrating el diferencial de la energía libre de Gibbs ($dG$) from the state where there are no water molecules in the meniscus to the state where they reach saturated pressure requires two trivial integrals that yield la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$):

$\displaystyle\int dG = \Delta G$

and the integration of the entire la conductividad térmica ($\lambda$):

$\displaystyle\int \sigma dS = \sigma S$

To integrate $Vdp$, it is important to remember that el volumen ($V$) results from the difference between the volume of the liquid $V_l$ and the gas $V_g$:

$\Delta V = V_l - V_g \sim - V$

since $V_l\ll V_g$.

Furthermore, if we consider the ideal gas equation with la constante universal de los gases ($R$)

$ p V = n R T $

the third integral becomes

$-nRT\displaystyle\int_{p_v}^{p_s}\displaystyle\frac{dp}{p}=-nRT\ln\left(\displaystyle\frac{p_s}{p_v}\right)$

With these considerations, la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) can be expressed as:

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

ID:(15148, 0)

Ecuación

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La relación entre la concentración de moleculas de vapor de agua ($c_v$) y concentración de vapor de agua saturado ($c_s$) se denomina la humedad relativa ($RH$):

y se puede expresar en términos de la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$) y la presión de vapor de agua saturado ($p_s$) de la siguiente manera:

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

Condiciones

Variables

$RH$

Humedad relativa

$-$

$p_v$

Presión de vapor de agua no saturado

$Pa$

$p_s$

Presión de vapor de agua saturado

$Pa$

Relación

Desarrollo

La relación entre la humedad relativa ($RH$) con la concentración de moleculas de vapor de agua ($c_v$) y concentración de vapor de agua saturado ($c_s$) se expresa como:

$ RH =\displaystyle\frac{ c_v }{ c_s }$

y relacionando la presión ($p$) con la concentración molar ($c_m$), la temperatura absoluta ($T$) y la constante universal de los gases ($R$) se obtiene:

$ p = c_m R T $

Esto se aplica a la presión de vapor de agua, donde:

$p_v = c_v R T$

y a la presión saturada de vapor de agua:

$p_s = c_s R T$

Lo que resulta en la siguiente ecuación:

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

ID:(4478, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) con la tensión superficial ($\sigma$), la sección ($S$), la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$), la presión de vapor de agua saturado ($p_s$), el volumen ($V$), el volumen molar ($V_m$), la temperatura absoluta ($T$) y la constante universal de los gases ($R$) se iguala a:

Para calcular la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$), debemos calcular la tensión superficial ($\sigma$) y el volumen ($V$) para el mensico de radio el radio del menisco ($r_m$) que se forma entre los granos, suponiendo un valor de el radio de un grano genérico ($r_0$):

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

La suma de la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) junto con la tensión superficial ($\sigma$), la sección ($S$), la presión de vapor de agua no saturado ($p_v$), la presión de vapor de agua saturado ($p_s$), el volumen ($V$), el volumen molar ($V_m$), la temperatura absoluta ($T$) y la constante universal de los gases ($R$) se iguala a:

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

La integral de la sección ($S$) para dos granos de el radio de un grano genérico ($r_0$) con un menisco de agua de el radio del menisco ($r_m$) en el límite $r_m\ll r_0$ es igual a:

$S=4\pi \displaystyle\int_0^{r_0r_m/(r_0+r_m)}du[\sqrt{r_0^2+2r_mr_0}-\sqrt{r_m^2-u^2}]\sim 4\pi \sqrt{2r_0r_m^3}$

Y para el volumen ($V$),

$V=4\pi\displaystyle\int_0^{r_0r_m/(r_0+r_m)}du[r_m^2+r_0(r_m-u)-\sqrt{(r_m(r_m+2r_0)(r_m^2-u^2)}]\sim 2\pi r_0 r_m^2$

Así que, con la definición de la humedad relativa ($RH$),

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

obtenemos:

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

ID:(15149, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La suma de la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) con la tensión superficial ($\sigma$), el radio del menisco ($r_m$), el radio de un grano genérico ($r_0$), la constante universal de los gases ($R$), la temperatura absoluta ($T$) y la humedad relativa ($RH$) es igual a:

El valor de el radio del menisco ($r_m$) debe ser elegido de manera que la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) sea mínimo. Para lograr esto, podemos derivar la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) con respecto a el radio del menisco ($r_m$), igualar la derivada a cero y resolver para el radio del menisco ($r_m$). Esto nos da:

$ r_m = \displaystyle\frac{3^2}{2^2}\displaystyle\frac{ \sigma ^2 V_m ^2}{ R ^2 T ^2 r_0} \displaystyle\frac{1}{\ln^2\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)}$

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

Para minimizar la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) con la tensión superficial ($\sigma$), el radio del menisco ($r_m$), el radio de un grano genérico ($r_0$), la constante universal de los gases ($R$), la temperatura absoluta ($T$) y la humedad relativa ($RH$), definimos el radio del menisco ($r_m$) de la siguiente manera:

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

Podemos derivar la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$) con respecto a el radio del menisco ($r_m$) y establecer la derivada en cero para encontrar el valor de el radio del menisco ($r_m$) que minimiza la diferencia de la energía libre de Gibbs ($\Delta G$). Esto nos lleva a la siguiente ecuación:

$\displaystyle\frac{\partial\Delta G}{\partial r_m} = 6 \pi \sqrt{2 r_0 r_m } \sigma - 4 \pi r_m r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)$

Resolviendo para el radio del menisco ($r_m$), obtenemos:

$ r_m = \displaystyle\frac{3^2}{2^2}\displaystyle\frac{ \sigma ^2 V_m ^2}{ R ^2 T ^2 r_0} \displaystyle\frac{1}{\ln^2\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)}$

ID:(15150, 0)