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Transporte de calor
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La humedad en el suelo está estrechamente relacionada con su temperatura, por lo que resulta crucial calcular esta distribución. Esta relación se establece en función del flujo de calor que se transporta hacia o desde la superficie del suelo.
ID:(2054, 0)
Transporte de calor
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La humedad en el suelo está estrechamente relacionada con su temperatura, por lo que resulta crucial calcular esta distribución. Esta relación se establece en función del flujo de calor que se transporta hacia o desde la superficie del suelo.
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Con la diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$), la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$), la diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$) y la diferencia de temperatura ($\Delta T$), obtenemos
que se puede reescribir con la calor transportado ($dQ$), la variación de tiempo ($dt$), la sección ($S$)
y con la conductividad térmica ($\lambda$) y el largo del conductor ($L$)
como
$\Delta T_i + \Delta T_0 + \Delta T_e = \displaystyle\frac{1}{S} \displaystyle\frac{dQ}{dt} \left(\displaystyle\frac{1}{\alpha_i} + \displaystyle\frac{1}{\alpha_e} + \displaystyle\frac{L}{\lambda}\right)$
por lo que podemos definir un coeficiente combinado como
Con la diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$), la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$), la diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$) y la diferencia de temperatura ($\Delta T$), obtenemos
que se puede reescribir con la calor transportado ($dQ$), la variación de tiempo ($dt$), la sección ($S$)
y con la conductividad térmica ($\lambda$) y el largo del conductor ($L$)
y
como
$\Delta T = \Delta T_i + \Delta T_0 + \Delta T_e = \displaystyle\frac{1}{S} \frac{dQ}{dt} \left(\displaystyle\frac{1}{\alpha_i} + \displaystyle\frac{1}{\alpha_e} + \displaystyle\frac{L}{\lambda}\right) = \displaystyle\frac{1}{Sk} \displaystyle\frac{dQ}{dt}$
lo que resulta en
Si se suman la diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$), la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$) y la diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$) y se usan las ecuaciones
y
se obtiene
$\Delta T_i + \Delta T_0 + \Delta T_e = T_i - T_e$
que con
resulta
Con la calor transportado ($dQ$), la variación de tiempo ($dt$), la sección ($S$), la diferencia de temperatura ($\Delta T$) y el coeficiente de total de transporte (multiple medio, dos interfaces) ($k$), obtenemos
que con el coeficiente de transmisión interno ($\alpha_i$) y la diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$)
resulta en
$k\Delta T = \alpha_i \Delta T_i$
y con la temperatura en el interior ($T_i$) y la temperatura en la superficie interior ($T_{is}$) y
resulta en
Con la calor transportado ($dQ$), la variación de tiempo ($dt$), la sección ($S$), la diferencia de temperatura ($\Delta T$) y el coeficiente de total de transporte (multiple medio, dos interfaces) ($k$), obtenemos
que, con el coeficiente de transmisión externo ($\alpha_e$) y la diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$)
resulta en
$k\Delta T = \alpha_e \Delta T_e$
y con la temperatura en el exterior ($T_e$) y la temperatura en la superficie exterior ($T_{es}$) y
resulta en
Ejemplos
En el caso de un s lido, y de manera similar para un l quido, podemos describir el sistema como una estructura de tomos unidos por algo que se comporta como un resorte. Cuando ambos extremos tienen valores de temperatura de una diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$), siendo la temperatura en la superficie interior ($T_{is}$) y la temperatura en la superficie exterior ($T_{es}$):
La diferencia en temperaturas implica que los tomos en los extremos oscilan de manera distinta; los tomos en la zona de alta temperatura tendr n una amplitud mayor en sus oscilaciones en comparaci n con los tomos en la zona de baja temperatura.
Sin embargo, esta diferencia llevar gradualmente a que toda la cadena oscile de tal manera que, al final, la amplitud variar a lo largo del camino, desde los valores m s altos donde la temperatura tambi n es mayor, hasta los valores m s bajos en la zona de menor temperatura.
De esta manera, la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$) conduce a una calor transportado ($dQ$) en una variación de tiempo ($dt$).
Uno de los factores clave que determina cu nto calor puede ser conducido a trav s de un s lido o l quido es su secci n transversal, es decir, la cantidad de cadenas de tomos disponibles. Cuantas m s de estas cadenas tengamos, mayor ser nuestra capacidad de transporte de calor.
Sin embargo, la longitud de las cadenas puede ser contraproducente. A medida que la cadena de resortes se vuelve m s larga, nuestra capacidad de transmitir calor disminuye, ya que m s tomos deben modificar su amplitud de oscilaci n.
Si representamos esto con la sección ($S$) y el largo del conductor ($L$), el diagrama adquirir la siguiente forma:
Finalmente, la capacidad de los medios y del material para transportar el calor, que se describen mediante la conductividad térmica ($\lambda$), explica c mo el calor se desplaza ante la diferencia de temperatura ($\Delta T$) transportanto la calor transportado ($dQ$) en la variación de tiempo ($dt$):
La conducci n de calor fue modelada por primera vez por Jean Baptiste Joseph Fourier [1], quien estableci que la tasa de flujo de calor ($q$), definido mediante la calor transportado ($dQ$), la variación de tiempo ($dt$) y la sección ($S$), se expresa a trav s de:
Esta teor a tambi n se relaciona con la sección ($S$), el largo del conductor ($L$), la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$) y la conductividad térmica ($\lambda$), como se muestra en:
y se ilustra mediante el siguiente diagrama:
[1] "Th orie Analytique de la Chaleur" (La Teor a Anal tica del Calor), Jean Baptiste Joseph Fourier, 1822.
El principal impulsor de la transferencia de calor desde un medio a un conductor es la diferencia de temperatura. Cuando en el medio la temperatura en el interior ($T_i$), las part culas poseen m s energ a y al chocar con las del conductor a una temperatura en la superficie interior ($T_{is}$), tienden a aumentar la energ a de este ltimo. Esta interacci n se puede representar de la siguiente manera:
Adem s de la temperatura en s , el flujo de calor depende de la diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$):
Otro factor clave es el n mero de tomos a los que se les puede aumentar la amplitud de la oscilaci n, lo cual depende de la sección ($S$). Por ltimo, debemos considerar las propiedades de la superficie, que se describen mediante el coeficiente de transmisión interno ($\alpha_i$), que corresponde a la relaci n entre el calor transmitido, la superficie, la diferencia de temperatura y el tiempo transcurrido:
De esta forma, establecemos una relaci n que nos permite calcular la tasa de flujo de calor ($q$) en funci n de la diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$) y el coeficiente de transmisión interno ($\alpha_i$):
Esta expresi n puede formularse matem ticamente de la siguiente manera:
El principal impulsor de la transferencia de calor desde un conductor hacia un medio es la diferencia de temperatura. Cuando la temperatura en la superficie exterior ($T_{es}$), las part culas tienen m s energ a y oscilan con una amplitud mayor al interactuar con los tomos y mol culas del medio a una temperatura en el exterior ($T_e$). Esto tiende a aumentar la energ a de estos ltimos. Esta interacci n se puede representar de la siguiente manera:
Adem s de la temperatura, el flujo de calor depende de la diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$).
Otro factor clave es el n mero de tomos que pueden tener aumentada su amplitud de oscilaci n, lo cual depende de la sección ($S$). Finalmente, debemos considerar las propiedades superficiales, representadas por el coeficiente de transmisión externo ($\alpha_e$), que corresponde a la relaci n entre el calor transmitido, el rea superficial, la diferencia de temperatura y el tiempo transcurrido:
De esta manera, establecemos una relaci n que nos permite calcular la tasa de flujo de calor ($q$) en funci n de la diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$) y el coeficiente de transmisión externo ($\alpha_e$):
Matem ticamente, esto puede expresarse de la siguiente manera:
Los modelos de transferencia y conducci n de calor sugieren que es posible desarrollar una relaci n que incorpore los tres mecanismos en conjunto. Esta ecuaci n deber tener en cuenta la calor transportado ($dQ$), la variación de tiempo ($dt$), la diferencia de temperatura ($\Delta T$), la sección ($S$) y el coeficiente de total de transporte (multiple medio, dos interfaces) ($k$):
Matem ticamente, esto se puede expresar de la siguiente manera:
Uno de los efectos de la transferencia de calor de un conductor a un medio externo es el calentamiento del medio cercano a la interfaz, creando una zona de interferencia en la transmisi n. Esto disminuye la eficiencia de la transferencia y tiende a formar una capa aislante que reduce el flujo de energ a.
Sin embargo, este efecto puede modificarse en presencia de viento. El viento puede disipar la capa de tomos y mol culas a alta temperatura, aumentando la eficiencia de la transferencia de calor. Esto indica que el coeficiente de transmisión ($\alpha$) est influenciado por la velocidad del medio ($v_m$) [1,2]:
En este contexto, modelamos la relaci n en funci n de ERROR:9844,0 y un factor de referencia el velocidad de referencia del medio ($v_0$).
La relaci n matem tica que describe este fen meno para un gas con el coeficiente de transmisión en gases, dependiente de la velocidad ($\alpha_{gv}$), la velocidad del medio ($v_m$), el coeficiente de transmisión en gases, independiente de la velocidad ($\alpha_{g0}$) y el factor velocidad del gas del coeficiente de transmisión ($v_{g0}$) es:
Y para un l quido con el coeficiente de transmisión en liquido, dependiente de la velocidad ($\alpha_{wv}$), la velocidad del medio ($v_m$), el coeficiente de transmisión en liquido, independiente de la velocidad ($\alpha_{w0}$) y el factor velocidad del liquido del coeficiente de transmisión ($v_{w0}$):
Esto demuestra c mo el viento puede afectar significativamente la eficiencia de la transferencia de calor entre un conductor y un medio externo.
[1] " ber Fl ssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung" (Sobre el movimiento de fluidos con muy poca fricci n), Ludwig Prandtl, 1904
[2] "Die Abh ngigkeit der W rme bergangszahl von der Rohrl nge" (La dependencia del coeficiente de transferencia de calor de la longitud del tubo), Wilhelm Nusselt, 1910
En el caso de un s lido, y de manera similar para un l quido, podemos describir el sistema como una estructura de tomos unidos por algo que se comporta como un resorte. Cuando ambos extremos tienen valores de temperatura de una diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$), siendo la temperatura en la superficie interior ($T_{is}$) y la temperatura en la superficie exterior ($T_{es}$):
La diferencia de temperatura ($\Delta T$) se calcula restando la temperatura en el exterior ($T_e$) y la temperatura en el interior ($T_i$), lo cual se expresa de la siguiente manera:
El flujo de calor ($q$) es una funci n de la conductividad térmica ($\lambda$), el largo del conductor ($L$) y la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$):
La diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$) se calcula restando la temperatura en la superficie interior ($T_{is}$) de la temperatura en el interior ($T_i$):
De esta forma, establecemos una relaci n que nos permite calcular la tasa de flujo de calor ($q$) en funci n de la diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$) y el coeficiente de transmisión interno ($\alpha_i$):
La diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$) se calcula restando la temperatura en la superficie exterior ($T_{es}$) de la temperatura en el exterior ($T_e$):
De esta manera, establecemos una relaci n que nos permite calcular la tasa de flujo de calor ($q$) en funci n de la diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$) y el coeficiente de transmisión externo ($\alpha_e$):
De esta manera, establecemos una relaci n que nos permite calcular la tasa de flujo de calor ($q$) en funci n de el coeficiente de total de transporte (multiple medio, dos interfaces) ($k$) y la diferencia de temperatura ($\Delta T$):
En el proceso de transporte de calor, la temperatura disminuye gradualmente desde el sistema con mayor temperatura (interno) al de menor temperatura (externo). En este proceso, primero desciende desde la temperatura media interna hasta llegar a la diferencia de temperatura en interfaz interna ($\Delta T_i$), luego a la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$) y finalmente a la diferencia de temperatura en la interfaz externa ($\Delta T_e$). La suma de estas tres variaciones equivale a la ca da total, es decir, la diferencia de temperatura ($\Delta T$), como se muestra a continuaci n:
El valor de el coeficiente de total de transporte ($k$) en la ecuaci n de transporte se determina utilizando el coeficiente de transmisión externo ($\alpha_e$), el coeficiente de transmisión interno ($\alpha_i$), la conductividad térmica ($\lambda$) y el largo del conductor ($L$) de la siguiente manera:
La temperatura en la superficie interior ($T_{is}$) no es igual a la temperatura del medio, que es la temperatura en el interior ($T_i$). Esta temperatura se puede calcular a partir de la diferencia de temperatura ($\Delta T$), el coeficiente de total de transporte (multiple medio, dos interfaces) ($k$) y el coeficiente de transmisión interno ($\alpha_i$) mediante la siguiente f rmula:
La temperatura en la superficie exterior ($T_{es}$) no es igual a la temperatura del medio, que es la temperatura en el exterior ($T_e$). Esta temperatura se puede calcular a partir de la diferencia de temperatura ($\Delta T$), el coeficiente de total de transporte (multiple medio, dos interfaces) ($k$) y el coeficiente de transmisión externo ($\alpha_e$) utilizando la siguiente f rmula:
El valor de el coeficiente de total de transporte ($k$) en la ecuaci n de transporte se determina utilizando el coeficiente de transmisión externo ($\alpha_e$), la conductividad térmica ($\lambda$) y el largo del conductor ($L$) de la siguiente forma:
El valor de la tasa de flujo de calor ($q$) en la ecuaci n de transporte se determina utilizando el coeficiente de transmisión interno ($\alpha_i$), el coeficiente de transmisión externo ($\alpha_e$), la conductividad térmica elemento i ($\lambda_i$) y el largo elemento i ($L_i$) de la siguiente forma:
Si un medio se desplaza con una constante de el coeficiente de transmisión en gases, dependiente de la velocidad ($\alpha_{gv}$) y la velocidad del medio ($v_m$) es igual a
donde el coeficiente de transmisión en gases, independiente de la velocidad ($\alpha_{g0}$) representa el caso en el que el medio no se desplaza y el factor velocidad del gas del coeficiente de transmisión ($v_{g0}$) es la velocidad de referencia.
La constante de transferencia t rmica del material en el caso de un gas en reposo es de $5.6 J/m^2sK$, mientras que la velocidad de referencia es de $1.41 m/s$
Si un medio se desplaza con una constante de el coeficiente de transmisión en liquido, dependiente de la velocidad ($\alpha_{wv}$) y la velocidad del medio ($v_m$) es igual a
donde el coeficiente de transmisión en liquido, independiente de la velocidad ($\alpha_{w0}$) representa el caso en el que el medio no se desplaza y el factor velocidad del liquido del coeficiente de transmisión ($v_{w0}$) es la velocidad de referencia.
La constante de transferencia t rmica del material para el caso de un l quido en reposo es igual a $340 J/m^2sK$, mientras que la velocidad de referencia es de $0.0278 m/s$.
La modelaci n de la conductividad t rmica en un medio poroso como el suelo es un desaf o. En este estudio, se llevaron a cabo an lisis en una amplia variedad de muestras y se desarroll un modelo num rico para predecir la conductividad térmica en el suelo seco ($\lambda_b$) en funci n de las texturas del suelo [1].
La relaci n de la conductividad térmica en el suelo seco ($\lambda_b$) se determin en base a la conductividad térmica en arena ($\lambda_a$), la conductividad térmica en limo ($\lambda_i$), la conductividad térmica en arcilla ($\lambda_c$) y la fracción de masa de arena en la muestra ($g_a$), la fracción de masa de limo en la muestra ($g_i$), la fracción de masa de arcilla en la muestra ($g_c$), utilizando la siguiente f rmula:
[1] "Physical principles and calculation methods of moisture and heat transfer in cable trenches." (Principios f sicos y m todos de c lculo de la transferencia de humedad y calor en zanjas de cables.), Brakelmann, H., etz-Report 19, 93p. (1984), Berlin; Offenbach.
El modelo de Brakelmann permite estimar la conductividad térmica en el suelo con agua ($\lambda$) con la conductividad térmica en el suelo seco ($\lambda_b$), la conductividad térmica en el agua ($\lambda_w$), la porosidad másica ($\Phi$), el saturación relativa másica ($\theta_S$) y el parámetro del Modelo de Brakelmann ($\beta$) mediante
[1] "Physical principles and calculation methods of moisture and heat transfer in cable trenches." (Principios f sicos y m todos de c lculo de la transferencia de humedad y calor en zanjas de cables.), Brakelmann, H., etz-Report 19, 93p. (1984), Berlin; Offenbach.
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