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La vapeur d'eau interagit avec la surface des grains du sol, formant ainsi des couches d'eau à leur surface. Le degré de couverture dépend de la pression de la vapeur d'eau existante.

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ID:(374, 0)

Concept

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ID:(15209, 0)

Concept

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Les molécules d'eau suspendues sous forme de vapeur peuvent être capturées par la surface des grains. Cette absorption est due aux forces intermoléculaires.

D'autre part, en raison des oscillations thermiques, une molécule absorbée peut acquérir suffisamment d'énergie pour se libérer.

Un état d'équilibre est atteint lorsque le nombre de particules absorbées est égal au nombre de celles qui peuvent être libérées à nouveau.

ID:(115, 0)

Concept

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Lorsque l'on compare le modèle de Langmuir à des systèmes réels, on observe des divergences significatives. C'est pourquoi plusieurs modèles ont été développés, basés sur l'ajustement de courbes à des données expérimentales.

Sur le graphique présenté, on trouve les modèles de Langmuir à une et deux couches du côté gauche, ainsi que les modèles de Freundlich et de Temkin :

Graphiques des modèles Langmuir, Freundlich et Temkin [1]

[1] "A comparison of the Langmuir, Freundlich and Temkin equations to describe phosphate adsorption properties of soil." (Comparaison des équations de Langmuir, Freundlich et Temkin pour décrire les propriétés d'adsorption du phosphate dans le sol), Mead, J.A., Aust. J. Soil Res. 19:333-342 (1981).

ID:(7977, 0)

Concept

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Les molécules à l'intérieur d'un liquide subissent des attractions égales envers toutes leurs voisines. Cela a pour conséquence que les forces globalement exercées s'annulent mutuellement, faisant en sorte que la molécule se comporte comme une particule libre.

Cependant, la situation est différente pour les molécules à la surface. Étant donné qu'il y a plus de molécules à l'intérieur du liquide générant une force effective vers l'intérieur, cela empêche les molécules à la surface de quitter le liquide.

La force décrite dans la section précédente donne naissance à ce que l'on appelle la ($$). Cette tension superficielle crée une sorte de membrane à la surface, ce qui permet à certains insectes de se déplacer sur celle-ci sans couler. Par exemple, la patte de l'araignée sur l'image ne pénètre pas la surface, évitant ainsi de couler.

La tension superficielle est également responsable de la forme des gouttes d'eau. L'attraction entre les molécules tend à faire en sorte que la goutte ait la plus petite surface possible, ce qui signifie qu'elle cherchera à adopter une forme sphérique. Cela fait qu'un jet d'eau a tendance à se briser en gouttes, et ces gouttes ont tendance à être sphériques ou à fluctuer autour de cette forme.

ID:(1551, 0)

Concept

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La capillarité provoque l'accumulation de l'eau entre les grains du sol. Un ménisque se forme autour de la zone de jonction, comme indiqué par les flèches rouges dans l'image ci-dessous :

a tension superficielle ($\sigma$) génère une pression interne a pression de tension superficielle ($p_c$), qui dépend de rayon de courbure ($r$), contrecarrant la pression sur le ménisque généré A pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$).

L'effet final du ménisque est de générer une force qui lie les grains du sol, fournissant une cohésion essentielle pour les propriétés mécaniques du sol.

D'autre part, la même tension entrave l'élimination de l'eau du sol lors des processus de séchage.

Pour illustrer, envisagez la construction de châteaux de sable sur la plage. Si nous ajoutons trop d'eau au sable, les ménisques ne se forment pas (le rayon est plus grand que le grain), et le sable n'est pas malléable. En revanche, lorsque le soleil sèche le sable, la cohésion est perdue, et le château s'effondre.

ID:(10687, 0)

Concept

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La géométrie est définie par deux grains supposés être des sphères de le rayon d'un grain générique ($r_0$) en contact en un point. Dans cette région, une zone d'eau se forme, qui, grâce à A tension superficielle ($\sigma$), se concentre autour du point de contact et crée un ménisque de le rayon du ménisque ($r_m$) dans son voisinage, de manière similaire à s'il existait un tore imaginaire, comme montré dans l'image ci-dessous :

&bull: a section ($S$) correspond à la ligne du tore imaginaire entre les deux points de contact entre le grain et le tore, qui doit ensuite être tournée autour d'un axe passant par les deux centres des grains.
&bull: le volume ($V$) correspond à la zone bleue, qui doit ensuite être tournée autour d'un axe passant par les deux centres des grains.

ID:(15151, 0)

Concept

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Paramètre sélectionné

Calculs

ID:(15233, 0)

Équation

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Les molécules d'eau peuvent être adsorbées par la surface des grains, c'est-à-dire capturées et retenues par des forces intermoléculaires.

La quantité retenue dépend à la fois de ces forces intermoléculaires et de la concentration ou de la pression de la vapeur d'eau présente à la surface.

En 1918, Langmuir [1] a étudié l'équilibre entre un gaz de particules associé à A concentration du deuxième composant ($[P]$), des espaces vides associés à A concentration du premier composant ($[S]$) et des espaces occupés associés à A concentration des composants ayant réagi ($[SP]$) :

$S + P\rightleftharpoons SP$

Il a proposé que les concentrations obéissent à une équation de ce type :

$ K =\displaystyle\frac{ [SP] }{ [S] [P] }$

Conditions

Variables

$[SP]$

Concentration des composants ayant réagi

$1/m^3$

$[P]$

Concentration du deuxième composant

$1/m^3$

$[S]$

Concentration du premier composant

$1/m^3$

$K$

Quotient de concentration

$1/m^3$

Relation

[1] "The Adsorption of Gases on Plane Surfaces of Glass, Mica, and Platinum" (L'adsorption des gaz sur des surfaces planes en verre, mica et platine) - Irving Langmuir, Journal of the American Chemical Society, Volume 40, Issue 9, pages 1361-1403 (1918).

ID:(4745, 0)

Équation

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En nous basant sur l'hypothèse que les concentrations dans une réaction chimique peuvent être comparées aux 'composants': les molécules d'eau dans l'air (a concentration du deuxième composant ($[P]$)), les espaces vides à la surface du grain (a concentration du premier composant ($[S]$)) et les emplacements occupés (a concentration des composants ayant réagi ($[SP]$)), nous pouvons modéliser la couverture du grain avec la relation en le quotient de concentration ($K$):

Ainsi, en utilisant a concentration molaire ($c_m$), ($$) et a constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) [1], nous obtenons le degré de couverture en fonction de la pression de vapeur d'eau :

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

Conditions

Variables

$c_n$

Concentration

$1/m^3$

$\alpha$

Constante de Langmuir ($m^3/mol$)

$m^3/mol$

Relation

Développement

En considérant les espaces occupés a concentration du deuxième composant ($[P]$), les espaces vides associés à A concentration du premier composant ($[S]$), et les espaces occupés associés à A concentration des composants ayant réagi ($[SP]$) et le quotient de concentration ($K$) :

$ K =\displaystyle\frac{ [SP] }{ [S] [P] }$

Si ($$) représente la fraction de surface occupée par les molécules :

$[SP] \propto \theta$ - espaces occupés sur le grain

$[S] \propto 1-\theta$ - espaces vides sur le grain, et

$[P] \propto c$ - concentration de vapeur d'eau dans l'espace intergranulaire

Alors, cela peut être exprimé comme

$\alpha=\displaystyle\frac{\theta}{(1-\theta)c}$

avec a constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$).

En résolvant pour ($$), nous pouvons obtenir le degré de couverture en fonction de la pression de vapeur d'eau :

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

La signification physique de la constante de Langmuir est un coefficient d'affinité de la surface du grain pour l'eau. Plus sa valeur est élevée, plus il est probable que les molécules d'eau adhèrent à la surface.

[1] "The Constitution and Fundamental Properties of Solids and Liquids. Part I. Solids" (La Constitution et les Propriétés Fondamentales des Solides et des Liquides. Partie I. Solides) - Irving Langmuir, Journal of the American Chemical Society, Volume 38, Issue 11, pages 2221-2295 (1916).

ID:(7973, 0)

Équation

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L'obtention de ($$) est basée sur a concentration ($c_n$) et peut donc être exprimée en fonction de a pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$) en utilisant a constante du gaz universel ($R$) et a température absolue ($T$) via l'équation :

Dans ce cas, a constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) peut être remplacé par a constante de Langmuir ($1/Pa$) ($\alpha_p$) en utilisant l'équation :

$ \alpha_p \equiv\displaystyle\frac{ \alpha }{ R T }$

Conditions

Variables

$\alpha$

Constante de Langmuir ($1/Pa$)

$1/Pa$

$\alpha$

Constante de Langmuir ($m^3/mol$)

$m^3/mol$

$R$

Constante du gaz universel

8.4135

$J/mol K$

$T$

Température absolue

$K$

Relation

Un article décrivant comment estimer la constante de Langmuir peut être consulté dans [1]. Un autre article étudie l'adsorption de différents ions à la surface des grains [2]. Pour une constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) de l'ordre de 1000 L/mol, tel que décrit dans l'article, a constante de Langmuir ($1/Pa$) ($\alpha_p$) sera d'environ 4.1E-4 1/Pa à température ambiante.

[1] "Evaluation of thermodynamic parameters of cadmium adsorption on sand from Temkin adsorption isotherm" (Évaluation des paramètres thermodynamiques de l'adsorption du cadmium sur le sable à partir de l'isotherme d'adsorption de Temkin), Abdul Satter Ali Khan, Turk J. Chem 36, 437-443 (2012).

[2] "A Comparison of the Langmuir, Freundlich and Temkin Equations to Describe Phosphate Sorption Characteristics of Some Representative Soils of Bangladesh" (Une comparaison des équations de Langmuir, Freundlich et Temkin pour décrire les caractéristiques d'adsorption du phosphate dans certains sols représentatifs du Bangladesh), Mohammad Z. Afsar, Sirajul Hoque, K.T. Osman, International Journal of Soil Science 7 (3) : 91-99 (2012).

ID:(7976, 0)

Équation

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($$) est calculé en fonction de a concentration ($c_n$), ce qui permet de le réécrire en termes de a pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$) en utilisant a constante du gaz universel ($R$) et a température absolue ($T$) à travers l'équation :

Dans ce cas, l'équation pour ($$) peut être exprimée en termes de a pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$) comme suit :

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha_p p_v }{1+ \alpha_p p_v }$

Conditions

Variables

$\alpha$

Constante de Langmuir ($1/Pa$)

$1/Pa$

$p_v$

Pression de vapeur d'eau non saturée

$Pa$

Relation

Développement

($$) peut être calculé en utilisant a constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) et a concentration molaire ($c_m$) avec l'équation :

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

Si nous remplaçons a concentration molaire ($c_m$) par a pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$) en utilisant a constante du gaz universel ($R$) et a température absolue ($T$) à travers l'équation :

$ p = c_m R T $

il devient évident que a constante de Langmuir ($m^3/mol$) ($\alpha$) peut être remplacé par a constante de Langmuir ($1/Pa$) ($\alpha_p$) en utilisant l'équation :

$ \alpha_p \equiv\displaystyle\frac{ \alpha }{ R T }$

ce qui donne :

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha_p p_v }{1+ \alpha_p p_v }$

ID:(4444, 0)

Équation

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En 1834, Émile Clapeyron a reconnu que a pression ($p$), le volume ($V$), a température absolue ($T$) et le nombre de taupes ($n$) sont liés par la loi de Boyle, la loi de Charles, la loi de Gay-Lussac et la loi d'Avogadro. Ces lois peuvent être réécrites sous la forme suivante :

$ p V = n R T $

Conditions

Variables

$R$

Constante du gaz universel

8.4135

$J/mol K$

$p$

Pression

$Pa$

$T$

Température absolue

$K$

$V$

Volume

$m^3$

Relation

Développement

A pression ($p$), le volume ($V$), a température absolue ($T$) et le nombre de taupes ($n$) sont liés par les lois physiques suivantes :

• Loi de Boyle

$ p V = C_{pV} $

• Loi de Charles

$\displaystyle\frac{ V }{ T } = C_{VT}$

• Loi de Gay-Lussac

$\displaystyle\frac{ p }{ T } = C_{pT}$

• Loi d'Avogadro

$\displaystyle\frac{ n }{ V } = C_{nV} $

Ces lois peuvent être exprimées de manière plus générale comme suit :

$\displaystyle\frac{pV}{nT}=cte$

Cette relation générale établit que le produit de la pression et du volume divisé par le nombre de moles et la température reste constant :

$ p V = n R T $

Dans cette équation, a constante du gaz universel ($R$) prend la valeur de 8,314 J/K·mol.

ID:(3183, 0)

Équation

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Le nombre de taupes ($n$) est déterminé en divisant le volume ($V$) d'une substance par son le volume molaire ($V_m$), ce qui correspond au poids d'une mole de la substance.

Par conséquent, la relation suivante peut être établie :

$ n =\displaystyle\frac{ V }{ V_m }$

Conditions

Variables

Relation

Le volume molaire est exprimé en mètres cubes par mole ($m^3/mol$).

Il est important de noter que le volume molaire dépend des conditions de pression et de température dans lesquelles la substance se trouve, en particulier dans le cas d'un gaz. Il est donc défini en tenant compte des conditions spécifiques.

ID:(15147, 0)

Équation

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En général, le différentiel d'énergie libre de Gibbs ($dG$) est égal à A entropie ($S$), a variation de température ($dT$), le volume ($V$), et a variation de pression ($dp$), ce qui s'exprime comme suit :

Lors d'un changement de phase, il est nécessaire de prendre en compte la différence de cette expression entre les deux phases. Cependant, dans ce cas, a température absolue ($T$) ne varie pas, de sorte que le terme $SdT$ ne figure pas. D'autre part, en considérant la variation des termes le volume ($V$) et a variation de pression ($dp$), cela comprend a variation de volume en changement de phase ($\Delta V$). Enfin, il faut inclure le terme a tension superficielle ($\sigma$) et a variation de surface ($dS$) :

$ dG = \sigma dS + \Delta V dp $

Conditions

Variables

Relation

ID:(15146, 0)

Équation

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En général, le différentiel d'énergie libre de Gibbs ($dG$) est égal à A tension superficielle ($\sigma$), a variation de surface ($dS$), le volume ($V$), et a variation de pression ($dp$), ce qui s'exprime comme suit :

Cependant, dans le cas du ménisque d'eau, a température absolue ($T$) ne varie pas, mais la surface change à mesure que davantage de molécules se condensent dans le volume ($V$) d'eau. Par conséquent, en intégrant depuis l'absence de molécules d'eau jusqu'à atteindre l'état d'équilibre, on obtient a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) en termes de a section ($S$), a pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$), a pression de vapeur d'eau saturée ($p_s$), le volume molaire ($V_m$), et a constante du gaz universel ($R$) :

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

Conditions

Variables

Relation

Développement

Le différentiel d'énergie libre de Gibbs ($dG$) avec a tension superficielle ($\sigma$), a variation de surface ($dS$), le volume ($V$) et a variation de pression ($dp$) peut s'exprimer comme suit :

$ dG = \sigma dS + \Delta V dp $

L'intégration de le différentiel d'énergie libre de Gibbs ($dG$) depuis l'état où il n'y a pas de molécules d'eau dans le ménisque jusqu'à l'état d'équilibre requiert deux intégrales triviales qui donnent a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) :

$\displaystyle\int dG = \Delta G$

et l'intégration de l'ensemble de a conductivité thermique ($\lambda$) :

$\displaystyle\int \sigma dS = \sigma S$

Pour intégrer $Vdp$, il est important de noter que le volume ($V$) résulte de la différence entre le volume du liquide $V_l$ et celui du gaz $V_g$ :

$\Delta V = V_l - V_g \sim - V$

car $V_l\ll V_g$.

De plus, si nous prenons en compte l'équation des gaz parfaits avec a constante du gaz universel ($R$)

$ p V = n R T $

la troisième intégrale devient

$-nRT\displaystyle\int_{p_v}^{p_s}\displaystyle\frac{dp}{p}=-nRT\ln\left(\displaystyle\frac{p_s}{p_v}\right)$

En tenant compte de ces considérations, a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) peut être exprimé comme suit :

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

ID:(15148, 0)

Équation

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La relation entre a concentration de molécules de vapeur d'eau ($c_v$) et concentration de vapeur d'eau saturée ($c_s$) est appelée a humidité relative ($RH$) :

et elle peut être exprimée en termes de a pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$) et a pression de vapeur d'eau saturée ($p_s$) comme suit :

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

Conditions

Variables

$RH$

Humidité relative

$-$

$p_v$

Pression de vapeur d'eau non saturée

$Pa$

$p_s$

Pression de vapeur d'eau saturée

$Pa$

Relation

Développement

La relation entre a humidité relative ($RH$) avec a concentration de molécules de vapeur d'eau ($c_v$) et concentration de vapeur d'eau saturée ($c_s$) est exprimée comme suit :

$ RH =\displaystyle\frac{ c_v }{ c_s }$

et en reliant a pression ($p$) avec a concentration molaire ($c_m$), a température absolue ($T$), et a constante du gaz universel ($R$), nous obtenons :

$ p = c_m R T $

Cela s'applique à la pression de vapeur d'eau, où :

$p_v = c_v R T$

et à la pression de vapeur saturée de l'eau :

$p_s = c_s R T$

ce qui donne l'équation suivante :

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

ID:(4478, 0)

Équation

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A différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) avec a tension superficielle ($\sigma$), a section ($S$), a pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$), a pression de vapeur d'eau saturée ($p_s$), le volume ($V$), le volume molaire ($V_m$), a température absolue ($T$) et a constante du gaz universel ($R$) équivaut à :



Pour calculer a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$), il est nécessaire de calculer a tension superficielle ($\sigma$) et le volume ($V$) pour le ménisque de rayon le rayon du ménisque ($r_m$), qui se forme entre les valeurs supposées de le rayon d'un grain générique ($r_0$) :

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

Conditions

Variables

Relation

Développement

La somme de a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) avec a tension superficielle ($\sigma$), a section ($S$), a pression de vapeur d'eau non saturée ($p_v$), a pression de vapeur d'eau saturée ($p_s$), le volume ($V$), le volume molaire ($V_m$), a température absolue ($T$), et a constante du gaz universel ($R$) est égale à :

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

L'intégrale de a section ($S$) pour deux grains de le rayon d'un grain générique ($r_0$) avec un ménisque d'eau de le rayon du ménisque ($r_m$) dans la limite $r_m\ll r_0$ est donnée par :

$S=4\pi \displaystyle\int_0^{r_0r_m/(r_0+r_m)}du[\sqrt{r_0^2+2r_mr_0}-\sqrt{r_m^2-u^2}]\sim 4\pi \sqrt{2r_0r_m^3}$

Et pour le volume ($V$),

$V=4\pi\displaystyle\int_0^{r_0r_m/(r_0+r_m)}du[r_m^2+r_0(r_m-u)-\sqrt{(r_m(r_m+2r_0)(r_m^2-u^2)}]\sim 2\pi r_0 r_m^2$

Ainsi, avec la définition de a humidité relative ($RH$),

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

nous obtenons :

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

ID:(15149, 0)

Équation

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La somme de a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) avec a tension superficielle ($\sigma$), le rayon du ménisque ($r_m$), le rayon d'un grain générique ($r_0$), a constante du gaz universel ($R$), a température absolue ($T$), et a humidité relative ($RH$) est égale à :



Le choix de le rayon du ménisque ($r_m$) doit être fait de manière à minimiser a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$). Pour ce faire, nous pouvons dériver a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) par rapport à Le rayon du ménisque ($r_m$), égaler la dérivée à zéro et résoudre pour le rayon du ménisque ($r_m$). Cela donne :

$ r_m = \displaystyle\frac{3^2}{2^2}\displaystyle\frac{ \sigma ^2 V_m ^2}{ R ^2 T ^2 r_0} \displaystyle\frac{1}{\ln^2\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)}$

Conditions

Variables

Relation

Développement

Pour que a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) soit minimisé avec a tension superficielle ($\sigma$), le rayon du ménisque ($r_m$), le rayon d'un grain générique ($r_0$), a constante du gaz universel ($R$), a température absolue ($T$) et a humidité relative ($RH$), nous définissons le rayon du ménisque ($r_m$) comme suit :

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

Nous pouvons dériver a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$) par rapport à Le rayon du ménisque ($r_m$) et égaliser la dérivée à zéro pour trouver la valeur de le rayon du ménisque ($r_m$) qui minimise a différence d'énergie libre de Gibbs ($\Delta G$). Cela nous conduit à l'équation suivante :

$\displaystyle\frac{\partial\Delta G}{\partial r_m} = 6 \pi \sqrt{2 r_0 r_m } \sigma - 4 \pi r_m r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)$

En résolvant pour le rayon du ménisque ($r_m$), nous obtenons :

$ r_m = \displaystyle\frac{3^2}{2^2}\displaystyle\frac{ \sigma ^2 V_m ^2}{ R ^2 T ^2 r_0} \displaystyle\frac{1}{\ln^2\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)}$

ID:(15150, 0)