Storyboard

Wasserdampf interagiert mit der Oberfläche der Bodenkörner und bildet Wasserschichten auf ihrer Oberfläche. Der Grad der Bedeckung hängt vom vorhandenen Wasserdampfdruck ab.

>Modell

ID:(374, 0)

Konzept

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ID:(15209, 0)

Konzept

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Wassermoleküle, die in Dampfform schweben, können von der Oberfläche der Körner eingefangen werden. Diese Absorption erfolgt aufgrund von zwischenmolekularen Kräften.

Andererseits kann ein absorbiertes Molekül aufgrund thermischer Schwingungen genügend Energie erlangen, um sich zu befreien.

Ein Gleichgewichtszustand wird erreicht, wenn die Anzahl der absorbierten Partikel der Anzahl entspricht, die erneut freigesetzt werden kann.

ID:(115, 0)

Konzept

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Beim Vergleich des Langmuir-Modells mit realen Systemen treten signifikante Diskrepanzen auf. Aus diesem Grund sind verschiedene Modelle entstanden, die auf der Anpassung von Kurven an experimentelle Daten basieren.

In der gezeigten Grafik werden die Langmuir-Modelle für eine und zwei Schichten auf der linken Seite zusammen mit den Modellen von Freundlich und Temkin präsentiert:

Diagramme von Langmuir-, Freundlich- und Temkin -Modellen [1]

[1] "A comparison of the Langmuir, Freundlich and Temkin equations to describe phosphate adsorption properties of soil." (Ein Vergleich der Langmuir-, Freundlich- und Temkin-Gleichungen zur Beschreibung der Adsorptionseigenschaften von Phosphat im Boden), Mead, J.A., Aust. J. Soil Res. 19:333-342 (1981).

ID:(7977, 0)

Konzept

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Die Moleküle innerhalb einer Flüssigkeit erfahren gleiche Anziehungskräfte zu all ihren Nachbarn. Dies führt dazu, dass die insgesamt ausgeübten Kräfte einander aufheben und das Molekül sich wie ein freies Teilchen verhält.

Die Situation ist jedoch für Moleküle an der Oberfläche anders. Da es mehr Moleküle in der Flüssigkeit gibt, die eine effektive nach innen gerichtete Kraft erzeugen, verhindert dies, dass die Moleküle an der Oberfläche die Flüssigkeit verlassen.

Die in der vorherigen Abbildung beschriebene Kraft führt zu dem, was als ($$) bekannt ist. Diese Oberflächenspannung erzeugt eine Art Membran an der Oberfläche, die es einigen Insekten ermöglicht, sich auf ihr zu bewegen, ohne zu versinken. Zum Beispiel dringt das Bein der Spinne auf dem Bild nicht in die Oberfläche ein und verhindert so das Einsinken.

Die Oberflächenspannung ist auch für die Form von Wassertropfen verantwortlich. Die Anziehungskraft zwischen den Molekülen neigt dazu, den Tropfen die kleinste mögliche Oberfläche haben zu lassen, was bedeutet, dass er eine kugelförmige Form anstrebt. Dies führt dazu, dass ein Wasserstrahl dazu neigt, sich in Tropfen zu zerlegen, und diese Tropfen neigen dazu, kugelförmig zu sein oder um diese Form zu schwanken.

ID:(1551, 0)

Konzept

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Die Kapillarität führt dazu, dass sich Wasser zwischen den Bodenkörnern ansammelt. Ein Meniskus bildet sich um die Verbindungszone, wie durch die roten Pfeile im folgenden Bild dargestellt:

die Oberflächenspannung ($\sigma$) erzeugt einen inneren Druck die Oberflächenspannung Druck ($p_c$), der von Krümmung Radio ($r$) abhängt und den Druck auf den erzeugten Meniskus die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$) ausgleicht.

Der Endeffekt des Meniskus besteht darin, eine Kraft zu erzeugen, die die Bodenkörner verbindet und Kohäsion bietet, die für die mechanischen Eigenschaften des Bodens entscheidend ist.

Andererseits behindert dieselbe Spannung das Entfernen von Wasser aus dem Boden während des Trocknungsprozesses.

Um dies zu veranschaulichen, betrachten Sie das Bauen von Sandburgen am Strand. Wenn wir zu viel Wasser in den Sand geben, bilden sich keine Menisken (der Radius ist größer als das Korn), und der Sand ist nicht formbar. Andererseits, wenn die Sonne den Sand trocknet, geht die Kohäsion verloren, und die Burg bricht zusammen.

ID:(10687, 0)

Konzept

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Die Geometrie wird durch zwei Körner definiert, die als Kugeln von der Radius einer generischen Korns ($r_0$) an einem Punkt in Kontakt stehen. In diesem Bereich bildet sich eine Wasserregion, die dank die Oberflächenspannung ($\sigma$) sich um den Kontaktbereich konzentriert und einen Meniskus von der Meniskusradius ($r_m$) in ihrer Nähe erzeugt, ähnlich als ob ein imaginärer Torus existieren würde, wie in der Abbildung unten dargestellt:

&bull: die Abschnitt ($S$) entspricht der Linie des imaginären Torus zwischen den beiden Kontaktstellen zwischen dem Korn und dem Torus, die dann um eine Achse gedreht werden muss, die durch die beiden Zentren der Körner verläuft.
&bull: der Volumen ($V$) entspricht dem blauen Bereich, der dann um eine Achse gedreht werden muss, die durch die beiden Zentren der Körner verläuft.

ID:(15151, 0)

Konzept

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Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15233, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wassermoleküle können von der Oberfläche der Körner adsorbiert werden, was bedeutet, dass sie durch zwischenmolekulare Kräfte erfasst und zurückgehalten werden.

Die Menge, die zurückgehalten wird, hängt sowohl von diesen zwischenmolekularen Kräften als auch von der Konzentration oder dem Druck des Wasserdampfs ab, der auf der Oberfläche vorhanden ist.

Im Jahr 1918 untersuchte Langmuir [1] das Gleichgewicht zwischen einem Gas aus Partikeln, die mit die Konzentration der zweiten Komponente ($[P]$) assoziiert sind, leeren Räumen, die mit die Konzentration der ersten Komponente ($[S]$) assoziiert sind, und besetzten Räumen, die mit die Konzentration der reagierten Komponente ($[SP]$) assoziiert sind:

$S + P\rightleftharpoons SP$

Er schlug vor, dass die Konzentrationen einer Gleichung der Art gehorchen:

$ K =\displaystyle\frac{ [SP] }{ [S] [P] }$

Bedingungen

Variablen

$[S]$

Konzentration der ersten Komponente

$1/m^3$

$[SP]$

Konzentration der reagierten Komponente

$1/m^3$

$[P]$

Konzentration der zweiten Komponente

$1/m^3$

$K$

Konzentrationsquotient

$1/m^3$

Beziehung

[1] "The Adsorption of Gases on Plane Surfaces of Glass, Mica, and Platinum" (Die Adsorption von Gasen auf ebenen Oberflächen aus Glas, Glimmer und Platin), Irving Langmuir, Journal of the American Chemical Society, Band 40, Ausgabe 9, Seiten 1361-1403 (1918).

ID:(4745, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Basierend auf der Annahme, dass die Konzentrationen in einer chemischen Reaktion mit den 'Komponenten' verglichen werden können: den Wassermolekülen in der Luft (die Konzentration der zweiten Komponente ($[P]$)), den leeren Räumen auf der Kornoberfläche (die Konzentration der ersten Komponente ($[S]$)) und den besetzten Stellen (die Konzentration der reagierten Komponente ($[SP]$)), können wir die Abdeckung des Korns mit der Beziehung in der Konzentrationsquotient ($K$) modellieren:

Durch die Verwendung von die Molare Konzentration ($c_m$), Bruchteil der Wasser Coverage ($\theta$) und die Langmuir Constant ($ M^3/Mol $) ($\alpha$) [1] erhalten wir somit den Abdeckungsgrad in Abhängigkeit vom Wasserdampfdruck:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

Bedingungen

Variablen

$\theta$

Bruchteil der Wasser Coverage

$-$

$c_n$

Konzentration

$1/m^3$

$\alpha$

Langmuir Constant ($ M^3/Mol $)

$m^3/mol$

Beziehung

Entwicklung

Unter Berücksichtigung der belegten Räume die Konzentration der zweiten Komponente ($[P]$), der leeren Räume, die mit die Konzentration der ersten Komponente ($[S]$) verknüpft sind, und der belegten Räume, die mit die Konzentration der reagierten Komponente ($[SP]$) und der Konzentrationsquotient ($K$) verknüpft sind:

$ K =\displaystyle\frac{ [SP] }{ [S] [P] }$

Wenn Bruchteil der Wasser Coverage ($\theta$) den Bruchteil der von Molekülen belegten Oberfläche repräsentiert:

$[SP] \propto \theta$ - belegte Räume auf dem Korn

$[S] \propto 1-\theta$ - leere Räume auf dem Korn, und

$[P] \propto c$ - Dampfkonzentration von Wasser im Zwischenkornraum

Dann kann es ausgedrückt werden als

$\alpha=\displaystyle\frac{\theta}{(1-\theta)c}$

mit die Langmuir Constant ($ M^3/Mol $) ($\alpha$).

Durch Auflösen nach Bruchteil der Wasser Coverage ($\theta$) können wir den Grad der Abdeckung als Funktion des Wasserdampfdrucks erhalten:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

Die physikalische Bedeutung der Langmuir-Konstanten ist ein Affinitätskoeffizient der Kornoberfläche für Wasser. Je höher ihr Wert ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass Wassermoleküle sich an die Oberfläche anheften.

[1] "The Constitution and Fundamental Properties of Solids and Liquids. Part I. Solids" (Die Struktur und grundlegenden Eigenschaften von Feststoffen und Flüssigkeiten. Teil I. Feststoffe) - Irving Langmuir, Journal of the American Chemical Society, Band 38, Ausgabe 11, Seiten 2221-2295 (1916).

ID:(7973, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Berechnung von Bruchteil der Wasser Coverage ($\theta$) basiert auf die Konzentration ($c_n$), und daher kann sie in Bezug auf die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$) mithilfe von die Universelle Gas Konstante ($R$) und die Absolute Temperatur ($T$) durch die Gleichung:

In diesem Fall kann die Langmuir Constant ($ M^3/Mol $) ($\alpha$) durch die Langmuir Konstante ($1/Pa$) ($\alpha_p$) mit der Gleichung:

$ \alpha_p \equiv\displaystyle\frac{ \alpha }{ R T }$

Bedingungen

Variablen

$T$

Absolute Temperatur

$K$

$\alpha$

Langmuir Constant ($ M^3/Mol $)

$m^3/mol$

$\alpha$

Langmuir Konstante ($1/Pa$)

$1/Pa$

$R$

Universelle Gas Konstante

8.4135

$J/mol K$

Beziehung

ersetzt werden. Ein Artikel, der zeigt, wie die Langmuir-Konstante geschätzt wird, ist in [1] verfügbar. Ein weiterer Artikel untersucht die Adsorption verschiedener Ionen an der Oberfläche von Körnern [2]. Für eine Langmuir Constant ($ M^3/Mol $) ($\alpha$) in der Größenordnung von 1000 L/mol, wie im Artikel beschrieben, beträgt die Langmuir Konstante ($1/Pa$) ($\alpha_p$) bei Raumtemperatur etwa 4.1E-4 1/Pa.

[1] "Evaluation of thermodynamic parameters of cadmium adsorption on sand from Temkin adsorption isotherm" (Bewertung thermodynamischer Parameter der Cadmiumadsorption auf Sand anhand der Temkin-Adsorptionsisotherme), Abdul Satter Ali Khan, Turk J. Chem 36, 437-443 (2012).

[2] "A Comparison of the Langmuir, Freundlich and Temkin Equations to Describe Phosphate Sorption Characteristics of Some Representative Soils of Bangladesh" (Ein Vergleich der Langmuir-, Freundlich- und Temkin-Gleichungen zur Beschreibung der Phosphatsorptionscharakteristika einiger repräsentativer Böden in Bangladesch), Mohammad Z. Afsar, Sirajul Hoque, K.T. Osman, International Journal of Soil Science 7 (3): 91-99 (2012).

ID:(7976, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Bruchteil der Wasser Coverage ($\theta$) wird auf der Grundlage von die Konzentration ($c_n$) berechnet, was es ermöglicht, es in Bezug auf die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$) mithilfe von die Universelle Gas Konstante ($R$) und die Absolute Temperatur ($T$) durch die Gleichung umzuschreiben:

In diesem Fall kann die Gleichung für Bruchteil der Wasser Coverage ($\theta$) in Bezug auf die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$) wie folgt ausgedrückt werden:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha_p p_v }{1+ \alpha_p p_v }$

Bedingungen

Variablen

$\theta$

Bruchteil der Wasser Coverage

$-$

$\alpha$

Langmuir Konstante ($1/Pa$)

$1/Pa$

$p_v$

Wasserdampfdruck Ungesättigte

$Pa$

Beziehung

Entwicklung

Bruchteil der Wasser Coverage ($\theta$) kann mithilfe von die Langmuir Constant ($ M^3/Mol $) ($\alpha$) und die Molare Konzentration ($c_m$) mit der Gleichung berechnet werden:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha c_m }{1+ \alpha c_m }$

Wenn wir die Molare Konzentration ($c_m$) durch die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$) unter Verwendung von die Universelle Gas Konstante ($R$) und die Absolute Temperatur ($T$) durch die Gleichung ersetzen:

$ p = c_m R T $

wird deutlich, dass die Langmuir Constant ($ M^3/Mol $) ($\alpha$) durch die Langmuir Konstante ($1/Pa$) ($\alpha_p$) mithilfe der Gleichung ersetzt werden kann:

$ \alpha_p \equiv\displaystyle\frac{ \alpha }{ R T }$

was zu folgendem Ergebnis führt:

$ \theta =\displaystyle\frac{ \alpha_p p_v }{1+ \alpha_p p_v }$

ID:(4444, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Jahr 1834 erkannte Émile Clapeyron, dass die Druck ($p$), der Volumen ($V$), die Absolute Temperatur ($T$) und der Anzahl der Mol ($n$) durch das Gesetz von Boyle, das Gesetz von Charles, das Gesetz von Gay-Lussac und das Gesetz von Avogadro miteinander in Beziehung stehen. Diese Gesetze können in der Form umgeschrieben werden:

$ p V = n R T $

Bedingungen

Variablen

$T$

Absolute Temperatur

$K$

$p$

Druck

$Pa$

$n$

Número de Moles

$-$

$R$

Universelle Gas Konstante

8.4135

$J/mol K$

$V$

Volumen

$m^3$

Beziehung

Entwicklung

Die Druck ($p$), der Volumen ($V$), die Absolute Temperatur ($T$) und der Anzahl der Mol ($n$) stehen im Zusammenhang mit den folgenden physikalischen Gesetzen:

• Das Gesetz von Boyle

$ p V = C_{pV} $

• Das Gesetz von Charles

$\displaystyle\frac{ V }{ T } = C_{VT}$

• Das Gesetz von Gay-Lussac

$\displaystyle\frac{ p }{ T } = C_{pT}$

• Das Gesetz von Avogadro

$\displaystyle\frac{ n }{ V } = C_{nV} $

Diese Gesetze können in einer allgemeineren Form ausgedrückt werden:

$\displaystyle\frac{pV}{nT}=cte$

Diese allgemeine Beziehung besagt, dass das Produkt aus Druck und Volumen durch die Anzahl der Mol und die Temperatur geteilt konstant bleibt:

$ p V = n R T $

In dieser Gleichung nimmt die Universelle Gas Konstante ($R$) den Wert 8.314 J/K·mol an.

ID:(3183, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Anzahl der Mol ($n$) wird bestimmt, indem man der Volumen ($V$) einer Substanz durch deren der Molares Volumen ($V_m$) teilt, was dem Gewicht eines Mols der Substanz entspricht.

Daher kann folgende Beziehung festgelegt werden:

$ n =\displaystyle\frac{ V }{ V_m }$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Das molare Volumen wird in Kubikmetern pro Mol ($m^3/mol$) ausgedrückt.

Es ist wichtig zu beachten, dass das molare Volumen von den Druck- und Temperaturbedingungen abhängt, unter denen sich die Substanz befindet, insbesondere im Fall eines Gases. Es wird daher unter Berücksichtigung der spezifischen Bedingungen definiert.

ID:(15147, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Allgemeinen ist der Differential der Gibbs Freien Energie ($dG$) gleich die Entropie ($S$), die Temperaturschwankungen ($dT$), der Volumen ($V$) und die Pressure Variation ($dp$), was wie folgt ausgedrückt wird:

Während eines Phasenübergangs ist es erforderlich, die Differenz dieses Ausdrucks zwischen den beiden Phasen zu berücksichtigen. In diesem Fall variiert jedoch die Absolute Temperatur ($T$) nicht, so dass der Term $SdT$ nicht erscheint. Andererseits umfasst die Berücksichtigung der Variation der Terme der Volumen ($V$) und die Pressure Variation ($dp$) Die Volumenvariation beim Phasenwechsel ($\Delta V$). Schließlich muss der Term die Oberflächenspannung ($\sigma$) und die Oberflächenvariation ($dS$) eingeschlossen werden:

$ dG = \sigma dS + \Delta V dp $

Bedingungen

Variablen

Beziehung

ID:(15146, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Allgemeinen gilt, dass der Differential der Gibbs Freien Energie ($dG$) gleich die Oberflächenspannung ($\sigma$), die Oberflächenvariation ($dS$), der Volumen ($V$) und die Pressure Variation ($dp$) ist, was wie folgt ausgedrückt wird:

Jedoch ändert sich im Fall des Wassermeniskus die Absolute Temperatur ($T$) nicht, aber die Oberfläche ändert sich, wenn sich mehr Moleküle innerhalb von der Volumen ($V$) Wasser kondensieren. Daher wird durch die Integration von der Abwesenheit von Wassermolekülen bis zum Erreichen des Gleichgewichtszustands die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) in Bezug auf die Abschnitt ($S$), die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$), die Druck gesättigtem Wasserdampf ($p_s$), der Molares Volumen ($V_m$) und die Universelle Gas Konstante ($R$) erhalten:

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Entwicklung

Der Differential der Gibbs Freien Energie ($dG$) mit die Oberflächenspannung ($\sigma$), die Oberflächenvariation ($dS$), der Volumen ($V$) und die Pressure Variation ($dp$) kann wie folgt ausgedrückt werden:

$ dG = \sigma dS + \Delta V dp $

Die Integration von der Differential der Gibbs Freien Energie ($dG$) vom Zustand, in dem keine Wassermoleküle im Meniskus vorhanden sind, bis zum Zustand, in dem sie den Sättigungszustand erreichen, erfordert zwei triviale Integrale, die die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) ergeben:

$\displaystyle\int dG = \Delta G$

und die Integration des gesamten die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$):

$\displaystyle\int \sigma dS = \sigma S$

Um $Vdp$ zu integrieren, ist es wichtig zu beachten, dass der Volumen ($V$) aus der Differenz zwischen dem Volumen der Flüssigkeit $V_l$ und dem Gas $V_g$ resultiert:

$\Delta V = V_l - V_g \sim - V$

da $V_l\ll V_g$.

Wenn wir außerdem die ideale Gasgleichung mit die Universelle Gas Konstante ($R$) berücksichtigen:

$ p V = n R T $

wird das dritte Integral zu

$-nRT\displaystyle\int_{p_v}^{p_s}\displaystyle\frac{dp}{p}=-nRT\ln\left(\displaystyle\frac{p_s}{p_v}\right)$

Unter Berücksichtigung dieser Überlegungen kann die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) wie folgt ausgedrückt werden:

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

ID:(15148, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Beziehung zwischen die Konzentration von Wasserdampfmolekülen ($c_v$) und Gesättigte Wasserdampfkonzentration ($c_s$) wird als die Relative Luftfeuchtigkeit ($RH$) bezeichnet:

und sie kann in Bezug auf die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$) und die Druck gesättigtem Wasserdampf ($p_s$) wie folgt ausgedrückt werden:

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

Bedingungen

Variablen

$p_s$

Druck gesättigtem Wasserdampf

$Pa$

$RH$

Relative Luftfeuchtigkeit

$-$

$p_v$

Wasserdampfdruck Ungesättigte

$Pa$

Beziehung

Entwicklung

Die Beziehung zwischen die Relative Luftfeuchtigkeit ($RH$) mit die Konzentration von Wasserdampfmolekülen ($c_v$) und Gesättigte Wasserdampfkonzentration ($c_s$) wird wie folgt ausgedrückt:

$ RH =\displaystyle\frac{ c_v }{ c_s }$

und durch die Beziehung zwischen die Druck ($p$) mit die Molare Konzentration ($c_m$), die Absolute Temperatur ($T$) und die Universelle Gas Konstante ($R$) erhalten wir:

$ p = c_m R T $

Dies gilt für den Wasserdampfdruck, wobei:

$p_v = c_v R T$

und den gesättigten Wasserdampfdruck:

$p_s = c_s R T$

was zur folgenden Gleichung führt:

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

ID:(4478, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) mit die Oberflächenspannung ($\sigma$), die Abschnitt ($S$), die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$), die Druck gesättigtem Wasserdampf ($p_s$), der Volumen ($V$), der Molares Volumen ($V_m$), die Absolute Temperatur ($T$) und die Universelle Gas Konstante ($R$) entspricht:

Um die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) zu berechnen, ist es notwendig, die Oberflächenspannung ($\sigma$) und der Volumen ($V$) für den Radiomensic der Meniskusradius ($r_m$) zu berechnen, der zwischen den angenommenen Werten von der Radius einer generischen Korns ($r_0$) gebildet wird:

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Entwicklung

Die Summe von die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) mit die Oberflächenspannung ($\sigma$), die Abschnitt ($S$), die Wasserdampfdruck Ungesättigte ($p_v$), die Druck gesättigtem Wasserdampf ($p_s$), der Volumen ($V$), der Molares Volumen ($V_m$), die Absolute Temperatur ($T$) und die Universelle Gas Konstante ($R$) ist gleich:

$ \Delta G = \sigma S - \displaystyle\frac{ V }{ V_m } R T \ln\left(\displaystyle\frac{ p_s }{ p_v }\right) $

Das Integral von die Abschnitt ($S$) für zwei Körner von der Radius einer generischen Korns ($r_0$) mit einem Wasser-Meniskus von der Meniskusradius ($r_m$) im Grenzfall $r_m\ll r_0$ ist gegeben durch:

$S=4\pi \displaystyle\int_0^{r_0r_m/(r_0+r_m)}du[\sqrt{r_0^2+2r_mr_0}-\sqrt{r_m^2-u^2}]\sim 4\pi \sqrt{2r_0r_m^3}$

Und für der Volumen ($V$),

$V=4\pi\displaystyle\int_0^{r_0r_m/(r_0+r_m)}du[r_m^2+r_0(r_m-u)-\sqrt{(r_m(r_m+2r_0)(r_m^2-u^2)}]\sim 2\pi r_0 r_m^2$

Daher erhalten wir mit der Definition von die Relative Luftfeuchtigkeit ($RH$):

$ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

ID:(15149, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Summe von die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) mit die Oberflächenspannung ($\sigma$), der Meniskusradius ($r_m$), der Radius einer generischen Korns ($r_0$), die Universelle Gas Konstante ($R$), die Absolute Temperatur ($T$) und die Relative Luftfeuchtigkeit ($RH$) ist gleich:

Die Wahl von der Meniskusradius ($r_m$) muss so getroffen werden, dass die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) minimiert wird. Um dies zu erreichen, können wir die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) nach der Meniskusradius ($r_m$) ableiten, diese Ableitung auf null setzen und nach der Meniskusradius ($r_m$) auflösen. Dies ergibt:

$ r_m = \displaystyle\frac{3^2}{2^2}\displaystyle\frac{ \sigma ^2 V_m ^2}{ R ^2 T ^2 r_0} \displaystyle\frac{1}{\ln^2\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)}$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Entwicklung

Um die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) mit die Oberflächenspannung ($\sigma$), der Meniskusradius ($r_m$), der Radius einer generischen Korns ($r_0$), die Universelle Gas Konstante ($R$), die Absolute Temperatur ($T$) und die Relative Luftfeuchtigkeit ($RH$) zu minimieren, definieren wir der Meniskusradius ($r_m$) wie folgt:

$ \Delta G = 4 \pi \sqrt{2 r_0 r_m ^3} \sigma - 2\pi r_m ^2 r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right) $

Wir können die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) nach der Meniskusradius ($r_m$) ableiten und die Ableitung auf null setzen, um den Wert von der Meniskusradius ($r_m$) zu finden, der die Differenz der freien Gibbs-Energie ($\Delta G$) minimiert. Dies führt zu folgender Gleichung:

$\displaystyle\frac{\partial\Delta G}{\partial r_m} = 6 \pi \sqrt{2 r_0 r_m } \sigma - 4 \pi r_m r_0 \displaystyle\frac{ R T }{ V_m }\ln\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)$

Durch Umstellen nach der Meniskusradius ($r_m$) erhalten wir:

$ r_m = \displaystyle\frac{3^2}{2^2}\displaystyle\frac{ \sigma ^2 V_m ^2}{ R ^2 T ^2 r_0} \displaystyle\frac{1}{\ln^2\left(\displaystyle\frac{1}{ RH }\right)}$

ID:(15150, 0)