Storyboard

La evolución de la temperatura en el suelo depende de la temperatura en la superficie y de la temperatura promedio en la profundidad. La conductividad térmica y la capacidad calorífica específica del suelo son los factores determinantes que establecen la profundidad a la cual se alcanza la temperatura media.

>Modelo

ID:(2051, 0)

Concepto

>Top

ID:(15208, 0)

Concepto

>Top

Si graficamos la solución para la temperatura en el suelo ($T$) en función de la profundidad ($z$) y el tiempo ($t$), utilizando la temperatura media ambiental ($T_m$), la variación anual de la temperatura en el suelo ($\Delta T_s$), la cambio de fase de tiempo ($t_0$), la profundidad media de la variación ($d_m$) y la frecuencia angular anual ($\omega_m$), obtenemos:

Esto nos da una curva que, en la superficie ($z=0$), muestra el máximo del verano y el mínimo del invierno en temperatura. Luego, la temperatura converge hacia la temperatura promedio a medida que aumenta la profundidad, manteniéndose constante. Además, hay un efecto de inercia en el sistema:

ID:(15137, 0)

Concepto

>Top

Parámetro seleccionado

Cálculos

ID:(15230, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La densidad de flujo de calor ($q$) se define en función de la variación de calor ($dQ$), la variación de tiempo ($dt$), y la sección ($S$) de la siguiente manera:

$ q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }$

Condiciones

Variables

Relación

ID:(15133, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para un conductor con valores de el largo del conductor ($L$) y la sección ($S$), se describe el flujo de la variación de calor ($dQ$) en la variación de tiempo ($dt$) bajo la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$) y la conductividad térmica ($\lambda$) mediante la siguiente ecuación:

En el caso infinitesimal, donde el largo del conductor ($L$) se reduce a una distancia recorrida ($dz$) y la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$) se convierte en la variación de la temperatura ($dT$), la ecuación para la densidad de flujo de calor ($q$) se simplifica a:

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

Dado que la variación de calor ($dQ$) se expresa como una función de el largo del conductor ($L$), la sección ($S$), la variación de tiempo ($dt$), la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$) y la conductividad térmica ($\lambda$) mediante la siguiente ecuación:

$\displaystyle\frac{ dQ }{ dt } = \displaystyle\frac{ S }{ L } \lambda \Delta T_0 $

Con la ecuación para la densidad de flujo de calor ($q$) definida como:

$ q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }$

En el caso infinitesimal, donde el largo del conductor ($L$) se reduce a una distancia recorrida ($dz$) y la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$) se convierte en la variación de la temperatura ($dT$), la ecuación se simplifica a:

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

[1] "Théorie analytique de la chaleur" (La teoría analítica del calor), Joseph Fourier, Cambridge University Press (2009) (original 1822)

ID:(15132, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La definición de la densidad de flujo de calor ($q$) se realiza utilizando la conductividad térmica ($\lambda$) y la variación de la temperatura ($dT$) en función de la distancia recorrida ($dz$) mediante la siguiente ecuación:

Al estudiar el flujo de calor, se obtiene la ecuación para la temperatura absoluta ($T$) en función de la posición a lo largo de un eje ($z$), el tiempo ($t$) y la conductividad térmica ($\lambda$) que se convierte en el calor específico ($c$). La ecuación para la densidad ($\rho$) se simplifica a:

$ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

La cantidad de la variación de calor ($dQ$) a través de una distancia recorrida ($dz$) puede calcularse utilizando la densidad de flujo de calor ($q$) y la variación de tiempo ($dt$) con la sección ($S$) mediante la siguiente ecuación:

$dQ = -\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(q S dt) dz$

Dado que la densidad de flujo de calor ($q$) con la variación de la temperatura ($dT$) y la conductividad térmica ($\lambda$), obtenemos:

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

Por lo tanto,

$dQ = \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \displaystyle\frac{\partial T}{\partial z}) S dz dt$

Por otro lado, podemos relacionar la variación de calor ($\Delta Q$) con la masa ($M$), el calor específico ($c$) y la variación de temperatura ($\Delta T$) mediante la ecuación:

$ \Delta Q = M c \Delta T$

En este caso, con la variación del volumen ($dV$), la ecuación se convierte en:

$dQ=\rho dV c dT = \rho c S dz dT$

Finalmente, obtenemos:

$ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$

ID:(15134, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si consideramos que la temperatura en la superficie experimenta fluctuaciones diarias rápidas y una lenta variación anual, y que la inercia del sistema impide que las fluctuaciones diarias afecten el suelo, podemos estimar la la temperatura en el suelo ($T$) en función de la profundidad ($z$) y el tiempo ($t$) a lo largo del año como la solución de la siguiente ecuación:

donde la conductividad térmica ($\lambda$), el calor específico ($c$) y la densidad ($\rho$). Por lo tanto, la solución se obtiene con la temperatura media ambiental ($T_m$), la variación anual de la temperatura en el suelo ($\Delta T_s$), la profundidad media de la variación ($d_m$), la cambio de fase de tiempo ($t_0$) y la frecuencia angular anual ($\omega_m$) de la siguiente manera:

$ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$

Condiciones

Variables

Relación

El valor de la cambio de fase de tiempo ($t_0$) se suele emplear para ajustar la solución al hemisferio correspondiente. En este sentido, en el hemisferio norte, este desfase es casi nulo, mientras que en el hemisferio sur es de aproximadamente medio año.

ID:(15135, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La solución para la temperatura en el suelo ($T$) en la profundidad ($z$) y el tiempo ($t$) se obtiene utilizando la temperatura media ambiental ($T_m$), la variación anual de la temperatura en el suelo ($\Delta T_s$), la cambio de fase de tiempo ($t_0$), la profundidad media de la variación ($d_m$) y la frecuencia angular anual ($\omega_m$), lo que resulta en:

Esta solución resuelve la ecuación de conducción cuando la profundidad media de la variación ($d_m$) es igual a la conductividad térmica ($\lambda$), el calor específico ($c$) y la densidad ($\rho$) mediante:

$ d_m = \sqrt{\displaystyle\frac{2\lambda}{c\rho\omega_m}}$

Condiciones

Variables

Relación

ID:(15136, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para resolver la temperatura en el suelo ($T$) en la profundidad ($z$) y el tiempo ($t$), utilizamos la temperatura media ambiental ($T_m$), la variación anual de la temperatura en el suelo ($\Delta T_s$), la cambio de fase de tiempo ($t_0$), la profundidad media de la variación ($d_m$) y la frecuencia angular anual ($\omega_m$), lo que resulta en:

Esto nos permite calcular el flujo de calor en la superficie en el caso en que la cambio de fase de tiempo ($t_0$) se considere nulo y con la conductividad térmica ($\lambda$) y la profundidad media de la variación ($d_m$) mediante:

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

Como la densidad de flujo de calor ($q$) junto con la conductividad térmica ($\lambda$), la temperatura en el suelo ($T$) y la profundidad ($z$) da como resultado

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

Para la solución de la temperatura en el suelo ($T$) con la profundidad ($z$) y el tiempo ($t$), se utilizan la temperatura media ambiental ($T_m$), la variación anual de la temperatura en el suelo ($\Delta T_s$), la cambio de fase de tiempo ($t_0$), la profundidad media de la variación ($d_m$) y la frecuencia angular anual ($\omega_m$):

$ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$

Esto se obtiene en la superficie ($z=0$) y sin desplazamiento de fase ($t_0=0$):

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$

ID:(15138, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La variación anual de la temperatura en el ambiente ($\Delta T_m$) esta por lo general dado por la situación climatica a lo largo del año. Sin embargo la variación anual de la temperatura en el suelo ($\Delta T_s$) es desconocido y depende del suelo en si y de el coeficiente de transmisión ($\alpha$).

Como el la densidad de flujo de calor ($q$) con la conductividad térmica ($\lambda$), la profundidad media de la variación ($d_m$), la frecuencia angular anual ($\omega_m$) esta dado para todo el tiempo ($t$) mediante

se puede calcular el flujo por la zona de la superficie y mostrar que la variación anual de la temperatura en el ambiente ($\Delta T_m$) es:

$ \Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

La densidad de flujo de calor ($q$) as a function of la conductividad térmica ($\lambda$), la variación anual de la temperatura en el suelo ($\Delta T_s$), la profundidad media de la variación ($d_m$), la frecuencia angular anual ($\omega_m$), el tiempo ($t$), and la cambio de fase de tiempo ($t_0$) is given by:

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$

This represents the total flow passing through the area over the ground and the ground itself. In the first case, the flow is equal to el coeficiente de transmisión ($\alpha$) due to the temperature difference between the environment and the ground surface. For the situation where el tiempo ($t$) is equal to la cambio de fase de tiempo ($t_0$), the flow in the area over the ground is described by:

$\alpha \left(\displaystyle\frac{\Delta T_m}{2}-\displaystyle\frac{\Delta T_s}{2}\right) = \displaystyle\frac{\lambda \Delta T_s}{2 d_m}$

If we solve for la variación anual de la temperatura en el suelo ($\Delta T_s$), we obtain:

$ \Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m $

ID:(15139, 0)