Storyboard

Die Temperatur im Boden entwickelt sich in Abhängigkeit von der Oberflächentemperatur und der mittleren Temperatur in der Tiefe. Die Wärmeleitfähigkeit und die spezifische Wärmekapazität des Bodens bestimmen die Tiefe, auf der die mittlere Temperatur erreicht wird.

>Modell

ID:(2051, 0)

Konzept

>Top

ID:(15208, 0)

Konzept

>Top

Wenn wir die Lösung für die Bodentemperatur ($T$) über die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) mithilfe von die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$) grafisch darstellen, ergibt sich:

Dies ergibt eine Kurve, die an der Oberfläche ($z=0$) das Maximum des Sommers und das Minimum des Winters in der Temperatur zeigt. Die Temperatur konvergiert dann mit zunehmender Tiefe zur Durchschnittstemperatur und bleibt konstant. Darüber hinaus gibt es einen Trägheitseffekt im System:

ID:(15137, 0)

Konzept

>Top

Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15230, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Wärmestromdichte ($q$) wird in Abhängigkeit von die Variation des Wärme ($dQ$), die Zeitvariation ($dt$) und die Abschnitt ($S$) wie folgt definiert:

$ q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

ID:(15133, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Für einen Leiter mit den Werten der Leitungslänge ($L$) und die Abschnitt ($S$) beschreibt der Fluss von die Variation des Wärme ($dQ$) unter die Zeitvariation ($dt$) und die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) sich wie folgt:

Im infinitesimalen Fall, in dem der Leitungslänge ($L$) zu eine Zurückgelegte Strecke ($dz$) wird und die Temperaturunterschied im Leiter ($\Delta T_0$) zu die Temperaturschwankungen ($dT$) wird, vereinfacht sich die Gleichung für die Wärmestromdichte ($q$) zu:

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Entwicklung

Da die Variation des Wärme ($dQ$) eine Funktion von der Leitungslänge ($L$), die Abschnitt ($S$), die Zeitvariation ($dt$), die Temperaturunterschied im Leiter ($\Delta T_0$) und die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) gemäß folgender Gleichung ist:

$\displaystyle\frac{ dQ }{ dt } = \displaystyle\frac{ S }{ L } \lambda \Delta T_0 $

Mit der Gleichung für die Wärmestromdichte ($q$) definiert als:

$ q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }$

Im infinitesimalen Fall, in dem der Leitungslänge ($L$) zu eine Zurückgelegte Strecke ($dz$) wird und die Temperaturunterschied im Leiter ($\Delta T_0$) zu die Temperaturschwankungen ($dT$) wird, vereinfacht sich die Gleichung zu:

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

[1] "Théorie analytique de la chaleur" (Die analytische Theorie der Wärme), Joseph Fourier, Cambridge University Press (2009) (Original von 1822)

ID:(15132, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Definition von die Wärmestromdichte ($q$) erfolgt unter Verwendung von die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) und die Temperaturschwankungen ($dT$) in Abhängigkeit von die Zurückgelegte Strecke ($dz$) durch folgende Gleichung:

Durch die Untersuchung des Wärmeflusses erhalten wir die Gleichung für die Absolute Temperatur ($T$) in Abhängigkeit von die Positionieren Sie entlang einer Achse ($z$), der Zeit ($t$) und die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), die zu der Spezifische Wärme ($c$) wird. Die Gleichung für die Dichte ($\rho$) vereinfacht sich zu:

$ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Entwicklung

Die Menge von die Variation des Wärme ($dQ$) durch eine Zurückgelegte Strecke ($dz$) kann mithilfe von die Wärmestromdichte ($q$) und die Zeitvariation ($dt$) mit die Abschnitt ($S$) durch folgende Gleichung berechnet werden:

$dQ = -\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(q S dt) dz$

Da die Wärmestromdichte ($q$) mit die Temperaturschwankungen ($dT$) und die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) definiert ist als:

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

Daher gilt:

$dQ = \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \displaystyle\frac{\partial T}{\partial z}) S dz dt$

Andererseits können wir die Variation des Wärme ($\Delta Q$) mit die Masse ($M$), der Spezifische Wärme ($c$) und die Temperaturschwankungen ($\Delta T$) durch die Gleichung verknüpfen:

$ \Delta Q = M c \Delta T$

In diesem Fall, mit die Volumenvariation ($dV$), wird die Gleichung zu:

$dQ=\rho dV c dT = \rho c S dz dT$

Und schließlich erhalten wir:

$ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$

ID:(15134, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir davon ausgehen, dass die Oberflächentemperatur schnelle tägliche Schwankungen und eine langsame jährliche Variation erfährt und dass die Trägheit des Systems verhindert, dass die täglichen Schwankungen den Boden beeinflussen, können wir die Bodentemperatur ($T$) als Funktion von die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) im Laufe des Jahres schätzen, indem wir die Lösung der folgenden Gleichung verwenden:

wobei die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), der Spezifische Wärme ($c$) und die Dichte ($\rho$) sind. Daher ergibt sich die Lösung mit die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$) wie folgt:

$ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Der Wert von die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) wird in der Regel verwendet, um die Lösung an die entsprechende Hemisphäre anzupassen. In diesem Zusammenhang ist die Phasenverschiebung auf der Nordhalbkugel nahezu null, während sie auf der Südhalbkugel etwa ein halbes Jahr beträgt.

ID:(15135, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Lösung für die Bodentemperatur ($T$) in die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) wird unter Verwendung von die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$) erhalten, was zu folgendem Ergebnis führt:

Diese Lösung löst die Leitungsgleichung, wenn die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) gleich die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), der Spezifische Wärme ($c$) und die Dichte ($\rho$) ist, mittels:

$ d_m = \sqrt{\displaystyle\frac{2\lambda}{c\rho\omega_m}}$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

ID:(15136, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Bodentemperatur ($T$) in die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) zu lösen, verwenden wir die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$), was zu führt:

Dies ermöglicht uns, den Wärmefluss an der Oberfläche zu berechnen, wenn die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) als Null angenommen wird und mit die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) mittels:

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Entwicklung

Wie die Wärmestromdichte ($q$) zusammen mit die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), die Bodentemperatur ($T$) und die Tiefe ($z$) ergibt

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

Für die Lösung von die Bodentemperatur ($T$) mit die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) verwenden wir die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$):

$ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$

Dies wird an der Oberfläche ($z=0$) und ohne Phasenverschiebung ($t_0=0$) erhalten:

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$

ID:(15138, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Bodentemperatur ($T$) in die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) zu lösen, verwenden wir die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$), was zu führt:

Dies ermöglicht uns, den Wärmefluss an der Oberfläche zu berechnen, wenn die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) als Null angenommen wird und mit die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) mittels:

$ \Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m $

Bedingungen

Variablen

Beziehung

Entwicklung

Die Wärmestromdichte ($q$) als Funktion von die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$), der Zeit ($t$) und die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) wird durch folgende Gleichung dargestellt:

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$

Diese repräsentiert den Gesamtfluss, der durch den Bereich über dem Boden und dem Boden selbst fließt. Im ersten Fall beträgt der Fluss aufgrund der Temperaturdifferenz zwischen der Umgebung und der Bodenoberfläche der Durchgangskoeffizient ($\alpha$). Für die Situation, in der der Zeit ($t$) gleich die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) ist, kann der Fluss im Bereich über dem Boden wie folgt beschrieben werden:

$\alpha \left(\displaystyle\frac{\Delta T_m}{2}-\displaystyle\frac{\Delta T_s}{2}\right) = \displaystyle\frac{\lambda \Delta T_s}{2 d_m}$

Wenn wir nach die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$) auflösen, erhalten wir:

$ \Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m $

ID:(15139, 0)