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Momentane Winkelgeschwindigkeit
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Die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit wird definiert, indem der über einen Zeitintervall durchlaufene Winkel berücksichtigt wird, ohne mögliche Schwankungen der Winkelgeschwindigkeit zu beachten.
Um die Winkelgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, ist es erforderlich, ein extrem kleines Zeitintervall zu betrachten, sodass die Winkelgeschwindigkeit in diesem Zeitraum keine signifikanten Änderungen aufweist.
Daher wird die momentane Winkelgeschwindigkeit durch Berechnung der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit im Grenzwert eines gegen Null strebenden Zeitintervalls erhalten. Mathematisch betrachtet entspricht dies der Ableitung des Winkels nach der Zeit und repräsentiert die Steigung der Winkel-Zeit-Kurve.
ID:(1447, 0)
Winkelgeschwindigkeit als Ableitung
Konzept
Wenn wir zu einem Zeitpunkt $t$ einen Winkel $\theta(t)$ betrachten und zu einem zukünftigen Zeitpunkt $t+\Delta t$ einen Winkel $\theta(t+\Delta t)$, können wir die Geschwindigkeit als den zurückgelegten Winkel
$\theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
in der Zeit $\Delta t$ schätzen.
$\omega\sim\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}$
Wenn der Wert von $\Delta t$ verringert wird, übernimmt die Winkelgeschwindigkeit die Rolle der Tangente zur Positions-Kurve zu diesem Zeitpunkt:
Dies verallgemeinert, was bereits für den Fall konstanter Winkelgeschwindigkeit gesehen wurde.
ID:(11407, 0)
Zurückgelegter Segmentflächenwinkel
Beschreibung
Wenn wir feststellen, dass die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gleich dem Winkel $\Delta\theta$ multipliziert mit der Zeit $\Delta t$ ist, können wir sagen, dass die Verschiebung
$\Delta\theta = \omega\Delta t$
ist. Da das Produkt $\omega\Delta t$ den Bereich unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit repräsentiert und dieser Bereich gleichzeitig der zurückgelegten Verschiebung entspricht:
ID:(11417, 0)
Winkel als Integral der Winkelgeschwindigkeit
Beschreibung
Das Integral einer Funktion entspricht der Fläche unter der Kurve, die die Funktion definiert. Daher entspricht das Integral der Geschwindigkeit zwischen den Zeiten $t_0$ und $t$ dem durchlaufenden Winkel zwischen der Ausgangsposition $\theta_0$ und $\theta$.
Dies kann mathematisch wie folgt ausgedrückt werden:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$ |
Diese Beziehung wird grafisch unten dargestellt:
Diese Formel ist nützlich, um den durchlaufenden Winkel eines Objekts in Situationen zu berechnen, in denen die Geschwindigkeitsfunktion bekannt ist. Das Integral der Geschwindigkeitsfunktion liefert ein Maß für die Gesamtverschiebung des Objekts zwischen den beiden Zeiten $t_0$ und $t$, das zur Berechnung des durchlaufenden Winkels des Objekts verwendet werden kann, indem man die Verschiebung durch den Radius des Kreises teilt. Dieses Konzept ist besonders nützlich in Physik- und Ingenieur-Anwendungen, in denen Rotationsbewegungen beteiligt sind.
ID:(11409, 0)
Tangentialgeschwindigkeit, rechte Hand Regel
Bild
Die Orientierung der Tangentialgeschwindigkeit kann mit der Rechten-Hand-Regel bestimmt werden. Wenn die Finger in Richtung der Rotationsachse zeigen und dann in Richtung des Positionsvektors (Radius) gebogen werden, zeigt der Daumen in Richtung der Tangentialgeschwindigkeit:
ID:(11599, 0)
Tangentialgeschwindigkeit
Beschreibung
Wenn ein Objekt einem Modus unterworfen wird, um einen konstanten Radius beizubehalten, wird es sich wie in der Abbildung dargestellt drehen. Bei Betrachtung der Abbildung würde man bemerken, dass die Masse eine translatorische Bewegung mit einer tangentialen Geschwindigkeit ausführt, die dem Radius mal der Winkelgeschwindigkeit entspricht:
Wenn jedoch das Element, das das Objekt mit der Achse verbindet, abgeschnitten wird, wird sich das Objekt weiterhin tangential in einer geraden Linie bewegen.
ID:(310, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ \vec{\omega} = \displaystyle\frac{ d\vec{\theta} }{ dt }$
&omega = @DIF( &theta , t )
$ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $
&v = &omega x &r
$ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$
omega = @DIF( theta , t , 1)
$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$
theta = theta_0 + @INT( oemga, tau, t_0, t)
$ v_t = r \omega $
v_t = r * omega
ID:(15423, 0)
Momentane Winkelgeschwindigkeit
Gleichung
Die die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$), die aus ($$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) mithilfe der Gleichung
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
berechnet wird, ist eine Näherung des realen die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$), die dazu neigt, sich zu verzerren, wenn die Winkelgeschwindigkeit während des Zeitintervalls schwankt. Daher wird das Konzept des die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) eingeführt, das in sehr kurzer Zeit bestimmt wird. In diesem Fall sprechen wir von einem infinitesimal kleinen Zeitintervall.
| $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
Wenn wir den zurückgelegten Winkel als die Winkelvariation ($\Delta\theta$) zur Zeit $t+\Delta t$ und zur Zeit $t$ betrachten:
$\Delta\theta = \theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) verwenden, dann haben wir im Grenzfall unendlich kurzer Zeiten:
$\omega=\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}\rightarrow lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\theta}{dt}$
Dieser letzte Ausdruck entspricht der Ableitung der Winkelfunktion $\theta(t)$, die wiederum die Steigung der grafischen Darstellung dieser Funktion über der Zeit ist.
das der Ableitung des Winkels entspricht.
ID:(3232, 0)
Winkelgeschwindigkeitsintegration
Gleichung
Da der Zeit ($t$) die Ableitung von der Winkel ($\theta$) nach die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) darstellt, d. h.
| $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
,
entspricht die Integration von der Zeit ($t$) zwischen der Startzeit ($t_0$) und der Zeit ($t$) dem zurückgelegten Winkel zwischen der Anfangswinkel ($\theta_0$) und der Winkel ($\theta$), wie in
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$ |
demonstriert wird.
ID:(11408, 0)
Tangentialgeschwindigkeit
Gleichung
Si se divide el camino expresado como arco de un circulo se tendrá que con es
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
por el tiempo transcurrido
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
y como la velocidad angular con es
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
se tiene con la relación
| $ v_t = r \omega $ |
ID:(10968, 0)
Tangentialgeschwindigkeit, Vektorform
Gleichung
Die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wird als ein Vektor definiert, dessen Richtung mit der Rotationsachse übereinstimmt. Da die Rotationsachse der Radius ($r$) und die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) senkrecht zu die Geschwindigkeit ($v$) sind, kann sie als Vektorprodukt zwischen die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und der Rotationsachse der Radius ($r$) ausgedrückt werden:
| $ v = r \omega $ |
die Geschwindigkeit ($v$) kann als Vektorprodukt von die Winkelgeschwindigkeit ($\vec{\omega}$) und der Radius (Vektor) ($\vec{r}$) als die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$) geschrieben werden:
| $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ |
Da die Geschwindigkeit ($v$) mit die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und der Radio ($r$) gleich ist:
| $ v = r \omega $ |
können wir die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$) mithilfe des Kreuzprodukts mit dem Achsvektor, bezeichnet als $\hat{n}$, und dem Radialvektor, bezeichnet als $\hat{r}$, berechnen:
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
Wenn wir also definieren
$\vec{v}=v\hat{t}$
,
$\vec{r}=r\hat{r}$
und
$\vec{\omega}=\omega\hat{n}$
,
können wir die Geschwindigkeit ausdrücken als
$\vec{v}=v\hat{t}=v\hat{n}\times\hat{r}=r\omega\hat{n}\times\hat{r}=\vec{\omega}\times\vec{r}$
das heißt
| $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ |
ID:(11597, 0)
Momentane Winkelgeschwindigkeit in mehr Dimensionen
Gleichung
Im Allgemeinen sollte die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als eine dreidimensionale Entität verstanden werden, das heißt als ein Vektor die Winkelgeschwindigkeit ($\vec{\omega}$). Jede Komponente kann als Ableitung von der Winkel ($\theta$) nach der Zeit ($t$) definiert werden:
| $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
Daher kann es mit der Ableitung nach der Zeit ($t$) von der Winkel (Vektor) ($\vec{\theta}$) als die Winkelgeschwindigkeit ($\vec{\omega}$) ausgedrückt werden:
| $ \vec{\omega} = \displaystyle\frac{ d\vec{\theta} }{ dt }$ |
ID:(9878, 0)