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Velocidad angular constante
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Para describir la evolución del ángulo en el tiempo, es fundamental analizar su variación a lo largo del mismo.
La relación entre la variación del ángulo y el arco recorrido en el tiempo transcurrido es lo que define la velocidad angular. Esta se obtiene al dividir la variación angular por el tiempo transcurrido, dando lugar a la denominada velocidad angular.
Cuando se considera un intervalo de tiempo finito, la velocidad angular representa la velocidad angular promedio durante ese período.
ID:(611, 0)
Velocidad angular en forma gráfica
Descripción
La velocidad angular media se define como el ángulo recorrido en el tiempo transcurrido. Como la rotación requiere de un eje, éste se dibuja de forma ortogonal al disco que representa el cuerpo que rota. Para integrar el eje, la velocidad angular se define como un vector en el que la magnitud es el ángulo recorrido por unidad de tiempo y la dirección se define en función de la dirección del eje:
ID:(10967, 0)
Velocidad angular constante
Concepto
Una situación que puede darse es que la velocidad angular sea constante, lo que significa que el ángulo recorrido crece proporcionalmente al tiempo transcurrido. En otras palabras, con , esto se puede expresar como:
$\omega=\omega_0$
Es importante tener en cuenta que la velocidad angular siempre se mide con respecto a un sistema de referencia. En este caso, la velocidad angular constante se refiere al sistema de referencia en el que se está midiendo.
ID:(11410, 0)
Ángulo tiempo para velocidad angular constante y tiempo inicial
Imagen
En el caso de velocidad angular constante y conocido el tiempo inicial, el ángulo se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
La fórmula se representa gráficamente a continuación:
Esta fórmula es útil para calcular el ángulo girado por un objeto en situaciones en las que se conoce tanto la velocidad angular como el tiempo inicial. La constancia de la velocidad angular indica que la magnitud de la velocidad angular no cambia con el tiempo. El tiempo inicial es la referencia temporal a partir de la cual se mide el tiempo transcurrido. Por lo tanto, el ángulo girado por el objeto se puede calcular directamente multiplicando la velocidad angular por el tiempo transcurrido desde el tiempo inicial.
ID:(11412, 0)
Velocidad tangencial
Descripción
Si un objeto se somete a un modo de mantener un radio constante, girará como se indica en la figura. Al observar la figura, se notará que la masa realiza un movimiento de traslación con una velocidad tangencial que es igual al radio por la velocidad angular:
Sin embargo, si se corta el elemento que une el objeto al eje, este continuará moviéndose tangencialmente en línea recta.
ID:(310, 0)
Velocidad tangencial, regla de la mano derecha
Imagen
La orientación de la velocidad tangencial puede ser obtenida utilizando la regla de la mano derecha. Si los dedos se colocan en dirección del eje de rotación y se rotan hacia el vector de posición (radio), el pulgar apuntará en la dirección de la velocidad tangencial:
ID:(11599, 0)
Modelo
Concepto
Variables
Parámetros
Parámetro seleccionado
Cálculos
Ecuación
$ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $
&v = &omega x &r
$ \Delta s=r \Delta\theta $
Ds = r * Dtheta
$ \Delta s \equiv s - s_0 $
Ds = s - s_0
$ \Delta t \equiv t - t_0 $
Dt = t - t_0
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $
Dtheta = theta - theta_0
$ \omega \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$
omega = Dtheta / Dt
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$
theta = theta_0 + omega_0 * ( t - t_0 )
$ v = r \omega $
v = r * omega
$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$
v_m = Ds / Dt
$ \bar{v} = v_0$
v_m = v_0
ID:(15420, 0)
Tiempo transcurrido
Ecuación
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duración se determina restando el tiempo inicial a el tiempo final:
 $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 0)
Diferencia de ángulos
Ecuación
Para describir la rotación de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotación, que es el ángulo ($\theta$):
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
ID:(3680, 0)
Velocidad angular media
Ecuación
Para estimar el desplazamiento de un objeto, es necesario conocer su la velocidad angular ($omega$) en función de el tiempo ($t$). Por lo tanto, se introduce la la velocidad angular media ($omega_m$), definida como la proporción entre la variación del angulo ($\Delta\theta$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Para medir esto, se puede utilizar un sistema como el que se muestra en la imagen:
Para determinar la velocidad angular media, se coloca un elemento reflectante en el eje o en un disco con varios elementos reflectantes, y se registra el paso para estimar la longitud del arco $\Delta s$ y el ángulo asociado con el radio $r$. Luego se registra la diferencia de tiempo cuando la marca pasa frente al sensor como $\Delta t$. La velocidad angular media se determina dividiendo el ángulo recorrido por el tiempo transcurrido.
La ecuación que describe la velocidad angular media es:
| $ \omega \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
La definición de la velocidad angular media ($omega_m$) se considera la variación del angulo ($\Delta\theta$),
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$),
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
La relación entre ambos se define como la velocidad angular media ($omega_m$):
| $ \omega \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Cabe destacar que la velocidad media es una estimación de la velocidad angular real. El problema principal es que:
Si la velocidad angular varía durante el tiempo transcurrido, el valor de la velocidad angular media puede ser muy diferente de la velocidad angular promedio.
Por lo tanto, la clave es:
Determinar la velocidad en un tiempo transcurrido suficientemente corto para minimizar su variación.
ID:(3679, 0)
Ángulo para velocidad angular constante
Ecuación
En el caso de que la velocidad angular es constante $\omega_0$, la velocidad angular media $\omega$ coincide con el valor de la velocidad angular por lo que
$\omega = \omega_0$
.
En este caso se puede calcular el angulo recorrido en función del tiempo recodando que este se asocia a la diferencia del angulo actual y el inicial como el tiempo actual y el inicial.
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
En el caso de que la velocidad angular es constante igual a $\omega_0$ la velocidad angular media sera igual a
$\omega=\omega_0$
Por ello con el angulo recorrido
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
y el tiempo transcurrido
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
se tiene que la ecuación de la velocidad angular media
| $ \omega \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
se puede escribir como
$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$
por lo que despejando se obtiene
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
La ecuación representa una recta en el espacio angulo tiempo.
ID:(1023, 0)
Distancia recorrida
Ecuación
Podemos calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) a partir de la posición inicial ($s_0$) y la posición ($s$) mediante la siguiente ecuación:
| $ \Delta s \equiv s - s_0 $ |
ID:(4352, 0)
Velocidad media
Ecuación
La velocidad media ($\bar{v}$) se puede calcular de la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante:
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
ID:(3152, 0)
Velocidad media y constante
Ecuación
Cuando la velocidad es constante, entonces es trivial que la velocidad media es igual a dicha velocidad constante. Es decir, la velocidad constante ($v_0$) es igual a la velocidad media ($\bar{v}$):
| $ \bar{v} = v_0$ |
ID:(10276, 0)
Arco recorrido
Ecuación
La distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) en un movimiento circular puede calcularse a partir de la variación del angulo ($\Delta\theta$) y el radio ($r$) de la órbita utilizando la siguiente fórmula:
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
Si un objeto esta a una distancia igual al radio de un eje y realiza una rotación en un angulo
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
habrá recorrido un largo
| $ \Delta s \equiv s - s_0 $ |
Dicho arco se puede calcular multiplicando el radio por el angulo, o sea
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
ID:(5302, 0)
Velocidad y velocidad angular
Ecuación
Si se divide la relación del largo del arco
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
por el tiempo transcurrido, se obtiene la relación que permite calcular la velocidad a lo largo de la órbita, que se llama velocidad tangencial:
| $ v = r \omega $ |
Como la velocidad de traslación es igual a
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
y con el camino expresado como arco de un circulo es
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
y la definición de la velocidad angular media
| $ \omega \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
se tiene que
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Como la relación es general se puede aplicar para los valores instantáneos por lo que resulta
| $ v = r \omega $ |
ID:(3233, 0)
Velocidad tangencial, forma vectorial
Ecuación
La velocidad angular se define como un vector cuya dirección coincide con el eje de rotación. Dado que el radio de rotación y la velocidad angular son perpendiculares a la velocidad tangencial, se puede expresar como el producto vectorial entre la velocidad angular y el radio de rotación:
| $ v = r \omega $ |
Esto se puede escribir de manera concisa como:
| $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ |
Dado que la velocidad tangencial es
| $ v = r \omega $ |
podemos calcular el vector tangencial utilizando el producto cruz con el versor del eje, denotado como $hat{n}$, y el versor radial, denotado como $hat{r}$:
$hat{t} = hat{n} \times hat{r}$
Por lo tanto, si definimos
$\vec{v}=v\hat{t}$
,
$\vec{r}=r\hat{r}$
y
$\vec{\omega}=\omega\hat{n}$
,
entonces podemos expresar la velocidad como
$\vec{v}=v\hat{t}=v\hat{n}\times\hat{r}=r\omega\hat{n}\times\hat{r}=\vec{\omega}\times\vec{r}$
o sea que
| $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ |
ID:(11597, 0)