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Probabilidad de Control del Cancer
Ecuación

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El nivel de control tumoral se puede definir como la probabilidad de que ninguna celula cancerigena sobrevida. En otas palabras, si $P(n)$ es la probabilidad de que $n$ celulas cancerigenas sobrevivan, el $TCP$ será:


$TCP=P(0)$

ID:(4697, 0)


Aplicación de la aproximación de Sterling
Ecuación

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Por ello expresiones como N!/(N-n)! para N grande (N\gg 1) y n chico (N\gg n) se pueden aproximar con

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$



con lo que se obtiene con N\gg n

\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{\sqrt{2\pi N}}{\sqrt{2\pi (N-n)}}\displaystyle\frac{N^N}{(N-n)^{N-n}}\displaystyle\frac{e^{N-n}}{e^N}\sim N^n

osea

$N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$

ID:(4738, 0)


Probabilidad con el Modelo de Poisson
Ecuación

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El modelo de Poisson nos permite estimar la probabilidad que después de $k$ eventos no ocurra un cierto desenlace.


$P_k(\lambda)=\displaystyle\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

ID:(4701, 0)


Probabilidad de Control Tumoral con Modelo de Poisson

Ecuación

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$P(N)=e^{-N/N_0}$

ID:(4702, 0)


Probabilidad de Control Tumoral con Modelo L-Q
Ecuación

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Empleando el modelo L-Q se puede estimar el $TCP$ en función de la fracción de sobrevivencia $SF_n$:

$SF_n=e^{-\alpha nd - \beta nd^2}$

donde $\alpha$ y $\beta$ son factores propios del organo, $d$ la dosis y $n$ el numero de tratamientos. En base a la distribución de Poissone y el número $N$ de celulas cancerigenas se concluye que en este caso el TCP sería


$ TCP(D) =e^{- N SF_n }$

ID:(4703, 0)


Probabilidad de Control Tumoral real
Ecuación

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Si las dosis son distintas $D_i$, con $i$ la i-ava dosis de $M$, se puede componer la función $TCP$ simplemente multiplicando las probabilidades individuales:


$TCP=\prod_{i=1}^MP(D_i)^{v_i}$

considerando que los efectos de variación se pueden reflejar en un exponente $v_i$ para la i-ava dosis.

ID:(4704, 0)