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Distribuciones de Poisson
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En el caso en que la probabilidad es muy pequeña la distribución binomial se reduce a una distribución de Poisson.

>Modelo

ID:(1555, 0)


Distribución binomial
Ecuación

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Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$



con el número total de pasos es

$N=n_1+n_2$



y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$



por lo que con se tiene la distribución binomial

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

ID:(8961, 0)


Aplicación de la aproximación de Sterling
Ecuación

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Por ello expresiones como N!/(N-n)! para N grande (N\gg 1) y n chico (N\gg n) se pueden aproximar con

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$



con lo que se obtiene con N\gg n

\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{\sqrt{2\pi N}}{\sqrt{2\pi (N-n)}}\displaystyle\frac{N^N}{(N-n)^{N-n}}\displaystyle\frac{e^{N-n}}{e^N}\sim N^n

osea

$N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$

ID:(4738, 0)


Desviación estandard de distribución de Poisson
Ecuación

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La desviación estandard de la distribución binomial en el límite N grande y p pequeño es

$\lambda=Np$

ID:(8964, 0)


Estimación de $N! p^n/(N-n)!$ si $p\sim 0$ y $N\gg n$
Ecuación

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Con la aproximación

$N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$



y empleando

$\lambda=Np$



se puede mostrar que

$\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n$

ID:(8969, 0)


Estimación de $(1-p)^{N-n}$ si $p\sim 0$ y $N\gg n$
Ecuación

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Como el exponencial se define como

$e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u$



y al introducir

$\lambda=Np$



se puede reemplazar z=-\lambda=-Np y u=N-n con N\gg n lo que resulta

$e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}$

ID:(8968, 0)


Poisson: Probabilidad para $N$ grandes y $p$ pequeños
Ecuación

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Como la probabilidad de dar n pasos en una dirección es

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$



para un número grande N y la probabilidad es muy pequeña p\ll 1 se puede aproximar

$\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n$



y

$e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}$



la distribución binomial se reduce a una distribución de Poisson:

$ P_{\lambda}(n) =\displaystyle\frac{ \lambda ^ n }{ n! }e^{- \lambda }$

ID:(3369, 0)


Ejemplo comparación con distribución de Poisson
Imagen

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Si se estudia la distribución binomial para números grandes N y probabilidad muy pequeña p\ll 1 se puede aproximar mediante una distribución de Poisson. La comparación se puede realizar con el siguiente simulador:

ID:(7794, 0)


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Video: Distribuciones de Poisson