Druyd:Knowledge

Limites útiles

Storyboard

Existen varias aproximaciones que se dan cuando el numero de casos/eventos es grande.

>Modelo

ID:(1557, 0)

Limites útiles

Descripción

Existen varias aproximaciones que se dan cuando el numero de casos/eventos es grande.

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$1+u$

1+u

Desarrollo

$1+u$

$n!$

Factorial

$n!$

$n$

Numero

$u$

Parameter

$u$

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$\ln u!\sim\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u$

\ln u!\sim\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u

(ID 4737)

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u

(ID 8966)

$e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u$

e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u

(ID 8967)

$\ln(1+u)= u-\displaystyle\frac{1}{2}u^2+O(u^3)$

\ln(1+u)= u-\displaystyle\frac{1}{2}u^2+O(u^3)

(ID 9000)

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

\ln(1+u)= u-\displaystyle\frac{1}{2}u^2+O(u^3)

(ID 9001)

Ejemplos

Aproximaci n de Sterling

James Stirling demostr que el logaritmo de la funci n factorial para grandes n meros se puede aproximar por

\ln u!=\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u+O(\ln u)

por lo que se le puede aproximar por

$\ln u!\sim\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u$

(ID 4737)

Factorial seg n la aproximaci n de Sterling

Como el logaritmo del factorial seg n Stirling se puede aproximar por

$\ln u!\sim\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u$

se tiene que el factorial en si se puede estimar para n meros grandes por

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

(ID 8966)

Taylor de $\ln(1+u)$

Si se desarrolla en torno a u=0 el logaritmo de 1+u se obtiene

$\ln(1+u)= u-\displaystyle\frac{1}{2}u^2+O(u^3)$

(ID 9000)

Reformulaci n de serie de Taylor de $\ln(1+u)$

Con el desarrollo de Taylor de \ln(1+u)

$\ln(1+u)= u-\displaystyle\frac{1}{2}u^2+O(u^3)$

se puede estimar

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

(ID 9001)

Definici n de la funci n exponencial

La funci n exponencial se define mediante el l mite

e^z=\lim_{u\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u

por lo que se puede aproximar

$e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u$

(ID 8967)

ID:(1557, 0)