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Distribución de Gauss
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En el limite de probabilidades similares la distribución binomial se reduce en el limite continuo a la distribución Gausseana.

>Modelo

ID:(1556, 0)


Ejemplo comparación con distribución Gaussiana
Definición

Si se estudia la distribución binomial para números grandes N y probabilidades en torno a 1/2

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$



que se representa a continuación:

ID:(7793, 0)


Distribución de Gauss
Descripción

En el limite de probabilidades similares la distribución binomial se reduce en el limite continuo a la distribución Gausseana.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$\sigma$
sigma
Desviación estándar de Gauss
-
$a$
a
Largo del paso
m
$n$
n
Numero
-
$n_1$
n_1
Número de pasos hacia la derecha
-
$N$
N
Número total de pasos
-
$n$
n
Número totales de pasos a la derecha
-
$u$
u
Parameter $u$
-
$s$
s
Posición camino aleatorio
m
$\mu$
mu
Posición media
m
$P_N(m)$
P_Nm
Probabilidad de hacer un numero de pasos hacia la derecha
-
$p$
p
Probabilidad de pasos hacia la derecha
-
$q$
q
Probabilidad de pasos hacia la izquierda
-

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$



con el n mero total de pasos es

$N=n_1+n_2$



y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$



por lo que con se tiene la distribuci n binomial

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

(ID 8961)

Con la aproximaci n de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$



y el cambio de variables

$ u = N $



se obtiene que

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$

(ID 8998)

Con la aproximaci n de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$



y el cambio de variables

$ u = n $



se obtiene que

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$

(ID 9003)

Con la aproximaci n de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$



y el cambio de variables

$ u = N - n $



se obtiene

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$

(ID 8999)

En el caso de probabilidades medianas (p\sim q \sim 1/2) y numeros grandes N se puede mostrar con

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$



$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$



y

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$



se obtiene

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$

(ID 507)

La expresi n

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$



se reduce con

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$



a la representaci n

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$

(ID 506)

Si se dan N pasos totales con una probabilidad p en direcci n de la derecha y estos tienen un largo a la posici n final esperada ser

$\mu=aNp$

(ID 9008)

Para obtener la distribuci n de Gauss es necesario desarrollar la distribuci n en torno de su desviaci n de su posici n media que se puede dar por

$x=(n-Np)a$

(ID 8973)

Como el camino es

$x=(n-Np)a$



el factor n/N se puede escribir como

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$

(ID 9004)

Como el camino es

$x=(n-Np)a$



el factor n/N se puede escribir como

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$

(ID 9005)

Si se introduce en la distribuci n binomial para el caso n meros grandes y probabilidades en torno a 1/2

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$



las expresiones

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$



y

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$




se obtiene una distribuci n de la forma

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}$

(ID 8974)

Para desarrollar el factor 1+x/aNp se puede trabajar con el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$

(ID 9021)

Con la aproximaci n

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$



y el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$



se tiene que

$\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}$

(ID 9006)

Para desarrollar el factor 1+x/aN(1-p) se puede trabajar con el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$

(ID 9022)

Con la aproximaci n

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$



y el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$



se tiene que

$\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}$

(ID 9007)

Se puede demostrar que para un n mero grande N y probabilidad p ni muy peque o ni muy cercano a 1, la distribuci n binomial se reduce a una gausseana para la posici n x=na:

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N^2p(1-p)}}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)}$

En este caso se reemplazo la probabilidad q por 1-p.

(ID 3367)

En el problema del Random Walk, con probabilidades p y q iguales, el valor medio termina siendo cero. Sin embargo si generalizamos la ecuaci n y elegimos coordenadas no centradas en el origen se obtiene que a la distancia x le debemos restar el valor esperado \mu:

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$

En este caso se reemplazo la probabilidad q por 1-p.

(ID 3368)

La desviaci n estandar de la distribuci n binomial en el l mite N grande y p mediano es

$ \sigma^2 = N ^2 p (1- p )$

(ID 8963)

Si se estudia la distribuci n binomial para n meros grandes N y probabilidades en torno a 1/2

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$



que se representa a continuaci n:

(ID 7793)

ID:(1556, 0)