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Distribución de Gauss

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En el limite de probabilidades similares la distribución binomial se reduce en el limite continuo a la distribución Gausseana.

>Modelo

ID:(1556, 0)

Ejemplo comparación con distribución Gaussiana

Definición

Si se estudia la distribución binomial para números grandes N y probabilidades en torno a 1/2

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$

que se representa a continuación:

ID:(7793, 0)

Distribución de Gauss

Descripción

En el limite de probabilidades similares la distribución binomial se reduce en el limite continuo a la distribución Gausseana.

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\sigma$

sigma

Desviación estándar de Gauss

$a$

Largo del paso

$n$

Numero

$n_1$

n_1

Número de pasos hacia la derecha

$N$

Número total de pasos

$n$

Número totales de pasos a la derecha

$u$

Parameter

$u$

$s$

Posición camino aleatorio

$\mu$

Posición media

$P_N(m)$

P_Nm

Probabilidad de hacer un numero de pasos hacia la derecha

$p$

Probabilidad de pasos hacia la derecha

$q$

Probabilidad de pasos hacia la izquierda

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$

W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}

(ID 506)

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$

\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}

(ID 507)

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N^2p(1-p)}}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)}$

P(x)=1/(sqrt(2 * pi * N ^2 * p * (1 - p ))) exp(-( x - a * N * p )^2/(2* N ^2 * p * (1- p )))

(ID 3367)

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$

P(x)=1/(sqrt(2 pi sigma^2))e^(-(x-mu)^2/2sigma^2)

(ID 3368)

$W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

W_N(n) =math.factorial( N )* p ^ n *(1- p )^( N - n )/(math.factorial( n )*math.factorial( N - n ))

(ID 8961)

$\sigma^2 = N ^2 p (1- p )$

sigma ^2 = N ^2 * p *(1- p )

(ID 8963)

$x=(n-Np)a$

x=(n-Np)a

(ID 8973)

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}$

W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}

(ID 8974)

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$

N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N

(ID 8998)

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$

( N - n )!=sqrt(2* pi *( N - n ))*( N - n )/ e )^( N - n )

(ID 8999)

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$

n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n

(ID 9003)

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$

\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)

(ID 9004)

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$

\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)

(ID 9005)

$\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}$

\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}

(ID 9006)

$\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}$

\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}

(ID 9007)

$\mu=aNp$

\mu=aNp

(ID 9008)

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$

u=\displaystyle\frac{x}{aNp}

(ID 9021)

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$

u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}

(ID 9022)

Ejemplos

Distribuci n binomial

Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$

con el n mero total de pasos es

$N=n_1+n_2$

y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$

por lo que con se tiene la distribuci n binomial

$W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

(ID 8961)

Aproximaci n para $N!$

Con la aproximaci n de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

y el cambio de variables

$u = N$

se obtiene que

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$

(ID 8998)

Aproximaci n para $n!$

Con la aproximaci n de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

y el cambio de variables

$u = n$

se obtiene que

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$

(ID 9003)

Aproximaci n para $(N-n)!$

Con la aproximaci n de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

y el cambio de variables

$u = N - n$

se obtiene

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$

(ID 8999)

Factor $N!/n!(N-n)!$ para $N\gg 1$ , $n\gg 1$ y $N>n$

En el caso de probabilidades medianas (p\sim q \sim 1/2) y numeros grandes N se puede mostrar con

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$

se obtiene

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$

(ID 507)

Binomial para n meros grandes y probabilidades medias

La expresi n

$W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

se reduce con

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$

a la representaci n

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$

(ID 506)

Posici n media

Si se dan N pasos totales con una probabilidad p en direcci n de la derecha y estos tienen un largo a la posici n final esperada ser

$\mu=aNp$

(ID 9008)

Cambio de variables por desplazamiento $x=(n-Np)a$

Para obtener la distribuci n de Gauss es necesario desarrollar la distribuci n en torno de su desviaci n de su posici n media que se puede dar por

$x=(n-Np)a$

(ID 8973)

Factor $n/N$ en funci n del camino $x$

Como el camino es

$x=(n-Np)a$

el factor n/N se puede escribir como

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$

(ID 9004)

Factor $N-n/N$ en funci n del camino $x$

Como el camino es

$x=(n-Np)a$

el factor n/N se puede escribir como

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$

(ID 9005)

Distribuci n binomial en funci n de la desviaci n

Si se introduce en la distribuci n binomial para el caso n meros grandes y probabilidades en torno a 1/2

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$

las expresiones

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$

se obtiene una distribuci n de la forma

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}$

(ID 8974)

Cambio de variable $u=x/aNp$

Para desarrollar el factor 1+x/aNp se puede trabajar con el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$

(ID 9021)

Factor $1+x/aNp$ para $N\gg 1$ y $p\sim 1/2$

Con la aproximaci n

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

y el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$

se tiene que

$\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}$

(ID 9006)

Cambio de variable $u=x/aN(1-p)$

Para desarrollar el factor 1+x/aN(1-p) se puede trabajar con el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$

(ID 9022)

Factor $1-x/aN(1-p)$ para $N\gg 1$ y $p\sim 1/2$

Con la aproximaci n

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

y el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$

se tiene que

$\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}$

(ID 9007)

Probabilidad para $N$ grandes y $p$ medianos

Se puede demostrar que para un n mero grande N y probabilidad p ni muy peque o ni muy cercano a 1, la distribuci n binomial se reduce a una gausseana para la posici n x=na:

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N^2p(1-p)}}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)}$

En este caso se reemplazo la probabilidad q por 1-p.

(ID 3367)

Generalizaci n del l mite de n meros grandes

En el problema del Random Walk, con probabilidades p y q iguales, el valor medio termina siendo cero. Sin embargo si generalizamos la ecuaci n y elegimos coordenadas no centradas en el origen se obtiene que a la distancia x le debemos restar el valor esperado \mu:

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$

En este caso se reemplazo la probabilidad q por 1-p.

(ID 3368)

Desviaci n estandar de distribuci n Gauss

La desviaci n estandar de la distribuci n binomial en el l mite N grande y p mediano es

$\sigma^2 = N ^2 p (1- p )$

(ID 8963)

Ejemplo comparaci n con distribuci n Gaussiana

Si se estudia la distribuci n binomial para n meros grandes N y probabilidades en torno a 1/2

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$

que se representa a continuaci n:

(ID 7793)

ID:(1556, 0)