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Poisson-Verteilungen
Storyboard

In dem Fall, in dem die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, wird die Binomialverteilung auf eine Poisson-Verteilung reduziert.

>Modell

ID:(1555, 0)


Beispielvergleich mit der Poisson-Verteilung
Definition

Wenn wir die Binomialverteilung für große Zahlen N und eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit p \ ll 1 untersuchen, kann sie mit einer Poisson-Verteilung angenähert werden. Der Vergleich kann mit folgendem Simulator durchgeführt werden:

ID:(7794, 0)


Poisson-Verteilungen
Beschreibung

In dem Fall, in dem die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, wird die Binomialverteilung auf eine Poisson-Verteilung reduziert.

Variablen
Symbol
Text
Variable
Wert
Einheiten
Berechnen
MKS-Wert
MKS-Einheiten
$e^{-\lambda}$
elam
Exponential $e^{-\lambda}$
-
$N^n$
N^n
Exponential $N^n$
-
$n!$
n!
Factorial $n!$
-
$N$
N
Número total de pasos
-
$n$
n
Número totales de pasos a la izquierda
-
$\lambda^n$
lambda_n
Power of lambda $\lambda^n$
-
$P_N(m)$
P_Nm
Probabilidad de $n_1$ de $N$ pasos hacia la izquierda
-
$p$
p
Probabilidad de pasos hacia la izquierda
-
$\lambda$
lam
Standard Deviation Poisson
-
$n$
n
Zahl
-

Berechnungen

Zuerst die Gleichung auswählen:   zu ,  dann die Variable auswählen:   zu 
P_lambda(n) =( lambda ^ n / n! )*exp(- lambda )N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!} W_N(n) =math.factorial( N )* p ^ n *(1- p )^( N - n )/(math.factorial( n )*math.factorial( N - n ))lambda=Npe^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^nelamN^nn!Nnlambda_nP_Nmplamn
Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Berechnungen

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

 Variable   Gegeben   Berechnen   Ziel :   Gleichung   Zu verwenden
P_lambda(n) =( lambda ^ n / n! )*exp(- lambda )N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!} W_N(n) =math.factorial( N )* p ^ n *(1- p )^( N - n )/(math.factorial( n )*math.factorial( N - n ))lambda=Npe^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^nelamN^nn!Nnlambda_nP_Nmplamn


Gleichungen

Beispiele

Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$



con el n mero total de pasos es

$N=n_1+n_2$



y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$



por lo que con se tiene la distribuci n binomial

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

(ID 8961)

Daher sind Ausdr cke wie N!/(Nn)! f r N gro (N\gg 1) und n klein (N\gg n) kann mit angen hert werden

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$



mit dem, was Sie mit N\gg n erhalten

\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{\sqrt{2\pi N}}{\sqrt{2\pi (N-n)}}\displaystyle\frac{N^N}{(N-n)^{N-n}}\displaystyle\frac{e^{N-n}}{e^N}\sim N^n

folglich

$N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$

(ID 4738)

Mit der Ann herung

$N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$



und besch ftigen

$\lambda=Np$



es kann gezeigt werden, dass

$\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n$

(ID 8969)

Wie das Exponential definiert ist als

$e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u$



und durch Eingabe

$\lambda=Np$



Sie k nnen z=-\lambda=-Np und u=N-n durch N\gg n welche Ergebnisse ersetzen

$e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}$

(ID 8968)

Da die Wahrscheinlichkeit, n Schritte in eine Richtung zu unternehmen, ist

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$



f r eine gro e Anzahl N und die Wahrscheinlichkeit ist sehr klein p \ll 1 kann angen hert werden

$\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n$



und

$e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}$



Die Binomialverteilung wird auf eine Poisson-Verteilung reduziert:

$ P_{\lambda}(n) =\displaystyle\frac{ \lambda ^ n }{ n! }e^{- \lambda }$

(ID 3369)

Wenn wir die Binomialverteilung f r gro e Zahlen N und eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit p \ ll 1 untersuchen, kann sie mit einer Poisson-Verteilung angen hert werden. Der Vergleich kann mit folgendem Simulator durchgef hrt werden:

(ID 7794)

ID:(1555, 0)