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Le flux autour d'une aile entraîne la formation de tourbillons qui, en fonction de la forme et de l'angle de l'aile par rapport à l'écoulement, peuvent générer des tourbillons sur une section de celle-ci. Si l'on considère des éléments de volume autour de l'aile et que l'on suppose que la conservation de l'énergie peut être localement appliquée, différentes vitesses entraîneront différentes pressions (loi de Bernoulli) sur la surface.
La somme de toutes les pressions sur la surface dans la direction verticale, à la fois sur l'aile (force vers le bas) et sous l'aile (force vers le haut), conduit à une force totale que l'on appelle portance. Si cette force est positive, nous pouvons surmonter la gravité et faire que l'objet (avion/oiseau) s'élève.
ID:(463, 0)
Aile génératrice de portance
Description
En observant l'écoulement moyen autour d'une aile, on peut remarquer que les lignes au-dessus de l'aile sont plus longues que celles en dessous. En termes simplifiés, on argumente qu'en raison de ce trajet plus long, on s'attend à ce que a vitesse au sommet ($v_t$) soit supérieur à A vitesse en bas ($v_b$), bien que les deux soient supérieurs à A vitesse par rapport au milieu ($v$).
Si la loi de Bernoulli est applicable, la différence de vitesses entraînerait une différence de pressions agissant sur l'aile. En particulier, si a vitesse au sommet ($v_t$) est supérieur, son correspondant a pression sur le dessus de l'aile ($p_t$) serait inférieur à celui avec a vitesse en bas ($v_b$) et son correspondant a pression sur le bas de l'aile ($p_b$). Cela impliquerait l'existence d'un a force de levage ($F_L$) en raison de l'effet de cette différence de pression.
Cependant, comme on le voit vers la fin du profil de l'aile (côté droit), des turbulences se forment, limitant l'applicabilité du principe de Bernoulli. En particulier, il convient de considérer qu'en certaines parties de la circonférence de l'aile, son application peut être limitée et ne contribuera pas à la portance.
ID:(11075, 0)
Circulation autour d'un objet
Concept
Pour définir la circulation, nous devons d'abord établir le chemin qui sera suivi autour de l'objet/de l'aile dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, comme indiqué dans l'image suivante :
La circulation est définie comme le produit du périmètre autour de l'objet par la projection de la vitesse sur la surface. Comme cette projection de vitesse peut varier le long du périmètre, nous devons la sommer à travers des éléments infinitésimaux du périmètre, où la projection de la vitesse est calculée en utilisant le produit scalaire entre elle et l'élément de périmètre. Graphiquement, cela est représenté comme suit :
Mathématiquement, cela s'exprime par l'intégrale de ligne fermée du produit scalaire mentionné précédemment :
| $ \Gamma =\displaystyle\oint_C \vec{v} \cdot d\vec{l} $ |
Étant donné que la somme est effectuée dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, dans la partie supérieure, la direction dans laquelle pointent les éléments du périmètre est opposée à la direction de la vitesse. Dans la partie inférieure, les deux pointent dans la même direction, ce qui conduit à ce que la partie supérieure annule partiellement la partie inférieure.
ID:(1167, 0)
Théorème de Kutta-Joukowski
Concept
La relation entre a circulation aérodynamique ($\Gamma$) et l'écoulement autour de l'objet est établie grâce au théorème de Kutta-Joukowski, ce qui permet le calcul de a force de levage ($F_L$) en utilisant a envergure des ailes ($L$), a densité ($\rho$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) de la manière suivante :
En simplifiant la modélisation de l'écoulement autour de l'objet, il devient possible d'estimer la circulation en utilisant a surface génératrice de portance ($S_w$) et le coefficient de portance ($C_L$) avec l'équation suivante :
Par conséquent, a force de levage ($F_L$) peut être approximé avec l'équation suivante :
Dans ce contexte, le coefficient de portance ($C_L$) encapsule les effets aérodynamiques de l'objet.
[1] "Über die Aufgabe der Flügeltheorie und ein neues Verfahren zur Herleitung derselben." (Sur la tâche de la théorie des ailes et une nouvelle méthode pour sa dérivation), Martin Wilhelm Kutta, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1902)
[2] "Über die Erhaltung des Luftkreises um ein Profil." (Sur la conservation du cercle d'air autour d'un profil), Nikolai Zhukovsky, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1904)
ID:(1168, 0)
Coefficient de portance
Description
Le coefficient de portance est une fonction de l'angle d\'attaque et suit généralement la tendance indiquée dans la figure suivante :
Dans le cas illustré, la pente est d\'environ 1,5 pour 15 degrés, ce qui correspond à 0,1 1/degré ou 5,73 1/radian.
ID:(7148, 0)
Force de levage dans le flux
Concept
La différence de pression entre la face inférieure et supérieure de l'aile génère la force de portance, représentée par une flèche perpendiculaire à la surface de l'aile. Cette force s'oppose à la force gravitationnelle qui agit vers le bas :
Les oiseaux ou les avions peuvent voler lorsque la force de portance dépasse la force gravitationnelle.
ID:(7036, 0)
Le décollage d'un avion
Concept
La différence de pression entre la face inférieure et supérieure de l'aile génère la force de portance, représentée par une flèche perpendiculaire à la surface de l'aile. Cette force s\'oppose à la force gravitationnelle qui agit vers le bas :
Les oiseaux ou les avions peuvent voler lorsque la force de portance dépasse la force gravitationnelle.
ID:(15157, 0)
Portance
Équation
Lorsqu'un objet est immergé dans un flux avec une densité d'énergie constante, il divise le flux en un supérieur avec a vitesse au sommet ($v_t$) et un inférieur avec a vitesse en bas ($v_b$). La vitesse est liée à la pression générée, donc il y a aussi a pression sur le dessus de l'aile ($p_t$) dans la partie supérieure et a pression sur le bas de l'aile ($p_b$) dans la partie inférieure. De cette manière, a différence de pression sur un objet ($\Delta p$)
 $ \Delta p = p_b - p_t $ |
est généré, ce qui produit à son tour une force de levage ($F_L$) pour contrebalancer la force gravitationnelle générée par a masse de l\'objet ($m$) avec a accélération gravitationnelle ($g$).
ID:(1173, 0)
Force de levage due à la différence de pression
Équation
Si une différence de pression $\Delta p$ est créée entre la partie inférieure et supérieure d'une aile d\'une surface $S_w$, la force résultante est appelée force de portance et est calculée comme suit :
| $ F_L = S_w \Delta p $ |
Cette force de portance est générée en raison de la différence de pression et est responsable de soutenir le vol d\'un aéronef.
ID:(4416, 0)
Circulation autour d'un objet
Équation
Avec l'écoulement autour de l'objet connu sous sa forme vectorielle sur toute la surface, il est possible de calculer a circulation aérodynamique ($\Gamma$) par intégration le long d'un chemin fermé, comme illustré ci-dessous :
| $ \Gamma =\displaystyle\oint_C \vec{v} \cdot d\vec{l} $ |
ID:(15194, 0)
Vitesse maximale de l'aile
Équation
Dans le cas de l'écoulement passant au-dessus de l'objet/de l'aile, il est nécessaire d'identifier le point de départ et le point d'arrêt pour définir la longueur du trajet a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) :
Si nous supposons que a vitesse au sommet ($v_t$) est constant, nous pouvons déduire l'existence de un facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$) de telle manière que, avec a vitesse par rapport au milieu ($v$), nous ayons :
| $ v_t = c_t v $ |
ID:(15152, 0)
Vitesse des ailes inférieure
Équation
Dans le cas de l'écoulement passant sous l'objet/l'aile, il est nécessaire d'identifier le point de départ et le point d'arrêt pour définir la longueur du trajet a longueur de l'aile inférieure ($l_b$) :
Si nous supposons que a vitesse en bas ($v_b$) est constant, nous pouvons déduire l'existence de un facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$) de telle manière que, avec a vitesse par rapport au milieu ($v$), nous ayons :
| $ v_b = c_b v $ |
ID:(15153, 0)
Estimation de la circulation autour d'un objet
Équation
Pour obtenir une estimation simplifiée de la circulation, nous pouvons supposer que la vitesse est constante sur la partie supérieure du périmètre a vitesse au sommet ($v_t$) et également sur la partie inférieure a vitesse en bas ($v_b$). Si ces vitesses sont proportionnelles à A vitesse par rapport au milieu ($v$) avec le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$) et le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$), et que les longueurs sont a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) et a longueur de l'aile inférieure ($l_b$), alors a circulation aérodynamique ($\Gamma$) est calculé comme suit :
| $ \Gamma = ( c_b l_b - c_t l_t ) v $ |
A circulation aérodynamique ($\Gamma$) est défini en fonction des longueurs a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) et a longueur de l'aile inférieure ($l_b$) ainsi que des vitesses a vitesse au sommet ($v_t$) et a vitesse en bas ($v_b$), comme suit :
$\Gamma = -l_t v_t + l_b v_b$
Si a vitesse au sommet ($v_t$) est proportionnel à Le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$) par rapport à A vitesse par rapport au milieu ($v$) :
| $ v_t = c_t v $ |
et a vitesse en bas ($v_b$) est proportionnel à Le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$) par rapport à A vitesse par rapport au milieu ($v$) :
| $ v_b = c_b v $ |
nous pouvons l'exprimer comme suit :
$\Gamma = -l_t c_t v + l_b c_b v$
Cela nous conduit à l'équation suivante :
| $ \Gamma = ( c_b l_b - c_t l_t ) v $ |
ID:(15193, 0)
Théorème de Kutta-Joukowski
Équation
D'après les travaux de Kutta [1] et Joukowski [2], un théorème a été développé montrant l'association entre a circulation aérodynamique ($\Gamma$) et a force de levage ($F_L$) à travers a envergure des ailes ($L$), a densité ($\rho$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) comme suit :
| $ \displaystyle\frac{ F_L }{ L } = - \rho v \Gamma$ |
[1] "Über die Aufgabe der Flügeltheorie und ein neues Verfahren zur Herleitung derselben." (Sur la tâche de la théorie des ailes et une nouvelle méthode pour sa dérivation), Martin Wilhelm Kutta, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1902)
[2] "Über die Erhaltung des Luftkreises um ein Profil." (Sur la conservation du cercle d'air autour d'un profil), Nikolai Zhukovsky, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1904)
ID:(1166, 0)
Force de levage avec circulation
Équation
A force de levage ($F_L$) est lié à A circulation aérodynamique ($\Gamma$), a envergure des ailes ($L$) à A densité ($\rho$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) comme suit :
| $ \displaystyle\frac{ F_L }{ L } = - \rho v \Gamma$ |
Par conséquent, avec l'estimation de a circulation aérodynamique ($\Gamma$) en fonction de le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$), le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) et a longueur de l'aile inférieure ($l_b$), nous obtenons :
| $ F_L = \rho L ( c_b l_b - c_t l_t ) v ^2$ |
A force de levage ($F_L$) est lié à A circulation aérodynamique ($\Gamma$), a envergure des ailes ($L$), a densité ($\rho$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) comme suit :
| $ \displaystyle\frac{ F_L }{ L } = - \rho v \Gamma$ |
Puisque a circulation aérodynamique ($\Gamma$) est lié à Le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$), le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) et a longueur de l'aile inférieure ($l_b$) comme suit :
| $$ |
Nous pouvons conclure que :
| $ F_L = \rho L ( c_b l_b - c_t l_t ) v ^2$ |
ID:(15156, 0)
Surface de l'aile
Équation
A surface génératrice de portance ($S_w$) est égal à A envergure des ailes ($L$) divisé par le largeur de l'aile ($\Delta$), et ce dernier peut être estimé comme la moyenne de a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) et a longueur de l'aile inférieure ($l_b$), ce qui donne :
| $ S_w = \displaystyle\frac{1}{2} L ( l_t + l_b )$ |
A force de levage ($F_L$) dépend de a surface génératrice de portance ($S_w$) et de a différence de pression sur un objet ($\Delta p$) comme suit
| $ F_L = S_w \Delta p $ |
dans l'expression de a force de levage ($F_L$) avec a envergure des ailes ($L$), a densité ($\rho$), le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$), le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$), a longueur de l'aile inférieure ($l_b$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$)
| $ F_L = \rho L ( c_b l_b - c_t l_t ) v ^2$ |
contient le facteur a envergure des ailes ($L$) qui est associé à A surface génératrice de portance ($S_w$). Cependant, les deux peuvent être associés si l'on considère la largeur de l'aile comme la moyenne de a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) et de a longueur de l'aile inférieure ($l_b$). Cela nous conduit à obtenir
| $ S_w = \displaystyle\frac{1}{2} L ( l_t + l_b )$ |
ID:(15154, 0)
Modèle de coefficient de portance
Équation
Le coefficient de portance ($C_L$) peut être calculé en fonction de a longueur de l'aile supérieure ($l_t$), a longueur de l'aile inférieure ($l_b$), le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$) et le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$) comme suit :
| $ C_L = 4\displaystyle\frac{ c_t l_t - c_b l_b }{ l_t + l_b }$ |
A force de levage ($F_L$) en compagnie de a envergure des ailes ($L$), a densité ($\rho$), le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$), le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$), a longueur de l'aile inférieure ($l_b$), et a vitesse par rapport au milieu ($v$) se trouve dans
| $ F_L = \rho L ( c_b l_b - c_t l_t ) v ^2$ |
Si nous considérons a surface génératrice de portance ($S_w$) déterminé par a envergure des ailes ($L$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$), et a longueur de l'aile inférieure ($l_b$)
| $ S_w = \displaystyle\frac{1}{2} L ( l_t + l_b )$ |
nous pouvons réécrire l'équation pour a force de levage ($F_L$) comme
$F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w \displaystyle\frac{4(c_bl_b-c_tl_t)}{l_b+l_t} v^2$
ce qui nous permet d'introduire le coefficient de portance :
| $ C_L = 4\displaystyle\frac{ c_t l_t - c_b l_b }{ l_t + l_b }$ |
ID:(15155, 0)
Calcul de la circulation autour d'un objet
Équation
A circulation aérodynamique ($\Gamma$) se résume finalement en un calcul impliquant a surface génératrice de portance ($S_w$), a envergure des ailes ($L$), le coefficient de portance ($C_L$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) à travers l'équation :
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ S_w }{2 L } C_L v ^2$ |
Lorsque l'on relie a circulation aérodynamique ($\Gamma$) à Le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$), le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$), a longueur de l'aile inférieure ($l_b$) et a longueur de l'aile supérieure ($l_t$), nous obtenons :
En estimant a surface génératrice de portance ($S_w$) avec a envergure des ailes ($L$) à l'aide de :
et en calculant le coefficient de portance ($C_L$) avec :
Le résultat est :
ID:(15195, 0)
Soulevez
Équation
Pour générer une pression plus élevée en dessous qu'au-dessus de l'aile et produire de la portance, le principe de Bernoulli est utilisé pour corriger le manque de conservation de la densité d'énergie avec un coefficient de portance ($C_L$). La pression sur l'aile, a force de levage ($F_L$), peut être estimée en utilisant a densité ($\rho$), a surface génératrice de portance ($S_w$), le coefficient de portance ($C_L$), et a vitesse par rapport au milieu ($v$) grâce à la formule suivante :
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
A force de levage ($F_L$), en compagnie de a envergure des ailes ($L$), a densité ($\rho$), le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$), le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$), a longueur de l'aile inférieure ($l_b$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$), se trouve dans
| $ F_L = \rho L ( c_b l_b - c_t l_t ) v ^2$ |
Si nous considérons a surface génératrice de portance ($S_w$), défini par a envergure des ailes ($L$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) et a longueur de l'aile inférieure ($l_b$),
| $ S_w = \displaystyle\frac{1}{2} L ( l_t + l_b )$ |
et pour le coefficient de portance ($C_L$), défini comme
| $ C_L = 4\displaystyle\frac{ c_t l_t - c_b l_b }{ l_t + l_b }$ |
nous obtenons
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
ID:(4417, 0)
Conditions de vol
Équation
Pour qu'un vaisseau spatial ou un oiseau puisse rester en vol, a force gravitationnelle ($F_g$) doit contrer la force de la gravité, définie par a masse de l\'objet ($m$) et a accélération gravitationnelle ($g$). En d'autres termes, il doit être :
| $ F_g = m g $ |
Il s'agit d'une situation simplifiée qui ne tient pas compte du fait que la force de résistance peut également générer une force de portance.
ID:(14515, 0)
Constante de levage
Équation
À partir de mesures, il est conclu que le coefficient de portance $C_L$ est proportionnel à l'angle d\'attaque $\alpha$:
| $ C_L = c \alpha $ |
Après un certain angle, la courbe diminue jusqu\'à atteindre zéro. Cela est dû au fait que au-delà de cet angle critique, les tourbillons recouvrent entièrement la surface supérieure de l\'aile, ce qui entraîne une perte de portance. Ce phénomène est appelé \"décrochage\" ou \"décrochage aérodynamique\".
ID:(4441, 0)
Coefficient d'équilibre de portance
Équation
La condition pour atteindre le vol est remplie lorsque a force de levage ($F_L$) est égal au poids de l'aéronef ou de l'oiseau, calculé à partir de a masse de l\'objet ($m$) et a accélération gravitationnelle ($g$). Cela est réalisé avec des valeurs suffisantes de vitesse par rapport au milieu ($v$), a surface génératrice de portance ($S_w$), et le coefficient de portance ($C_L$), ce dernier coefficient étant le facteur ajustable. Dans le cas des aéronefs, les pilotes peuvent modifier la valeur de le coefficient de portance ($C_L$) en utilisant les volets, dont la valeur doit satisfaire à :
| $ C_L =\displaystyle\frac{2 m g }{ \rho S_w }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
A force de levage ($F_L$) avec a densité ($\rho$), a surface génératrice de portance ($S_w$), le coefficient de portance ($C_L$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) est représenté par
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
ce qui, avec a masse de l\'objet ($m$) et a accélération gravitationnelle ($g$), doit être égal à :
| $ F_g = m g $ |
c'est-à-dire :
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho S_wC_Lv^2=mg$
ce qui donne :
| $ C_L =\displaystyle\frac{2 m g }{ \rho S_w }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
Les volets sont ajustés en modifiant l'angle que l'aile forme avec la direction du vol, connu sous le nom d'angle d'attaque.
ID:(4442, 0)
Angle d'attaque
Équation
Étant donné que le coefficient de portance $C_L$ est proportionnel à l'angle d'attaque $\alpha$, on peut calculer l'angle nécessaire pour obtenir une portance suffisante pour une vitesse $v$ donnée :
| $ \alpha =\displaystyle\frac{2 m g }{ c \rho S_w }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
Le coefficient de portance ($C_L$) est calculé avec a masse de l\'objet ($m$), a accélération gravitationnelle ($g$), a surface génératrice de portance ($S_w$), a densité ($\rho$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) comme suit :
| $ C_L =\displaystyle\frac{2 m g }{ \rho S_w }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
Ainsi, avec a constante de proportionnalité du coefficient de portance ($c$) et le accélération maximale ($\alpha$),
| $ C_L = c \alpha $ |
nous obtenons
| $ \alpha =\displaystyle\frac{2 m g }{ c \rho S_w }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
où $m$ est la masse, $g$ est l\'accélération due à la gravité, $\rho$ est la densité du milieu, $S_w$ est la surface de l\'aile et $c$ est la constante de proportionnalité entre le coefficient de portance et l\'angle d\'attaque.
ID:(4443, 0)
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Video
Video: Portance