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Résistance
Storyboard
Le flux autour d'une aile entraîne la formation de tourbillons qui, en fonction de la forme et de l'angle de l'aile par rapport à l'écoulement, peut générer des tourbillons dans une section de celle-ci. Si l'on considère des éléments de volume autour de l'aile et que l'on suppose que la conservation de l'énergie peut être localement appliquée, différentes vitesses entraîneront différentes pressions (loi de Bernoulli) sur la surface.
La somme de toutes les pressions sur la surface dans la direction du vol, à la fois devant l'aile (force vers l'arrière) et derrière l'aile (force vers l'avant), conduit à une force totale que l'on appelle traînée. Pour propulser un corps (avion/oiseau), il est nécessaire que la poussée surmonte cette force de traînée.
ID:(464, 0)
Aile génératrice de portance
Description
En observant l'écoulement moyen autour d'une aile, on peut remarquer que les lignes au-dessus de l'aile sont plus longues que celles en dessous. En termes simplifiés, on argumente qu'en raison de ce trajet plus long, on s'attend à ce que a vitesse au sommet ($v_t$) soit supérieur à A vitesse en bas ($v_b$), bien que les deux soient supérieurs à A vitesse par rapport au milieu ($v$).
Si la loi de Bernoulli est applicable, la différence de vitesses entraînerait une différence de pressions agissant sur l'aile. En particulier, si a vitesse au sommet ($v_t$) est supérieur, son correspondant a pression sur le dessus de l'aile ($p_t$) serait inférieur à celui avec a vitesse en bas ($v_b$) et son correspondant a pression sur le bas de l'aile ($p_b$). Cela impliquerait l'existence d'un a force de levage ($F_L$) en raison de l'effet de cette différence de pression.
Cependant, comme on le voit vers la fin du profil de l'aile (côté droit), des turbulences se forment, limitant l'applicabilité du principe de Bernoulli. En particulier, il convient de considérer qu'en certaines parties de la circonférence de l'aile, son application peut être limitée et ne contribuera pas à la portance.
ID:(11075, 0)
Aaile générant de la résistance
Description
L'objet ne génère pas seulement de la portance, mais crée également une résistance au flux d'air autour de lui. Bien que l'application directe du principe de Bernoulli puisse ne pas être faisable, nous pouvons toujours comprendre le type d'effet à attendre, même s'il doit être modélisé différemment. Dans ce contexte, à l'extrémité de l'aile, la vitesse est nulle, ce qui entraîne une pression maximale. De même, à l'extrémité arrière de l'objet, la vitesse est maximale, ce qui entraîne une pression minimale. Cela génère une pression qui s'oppose au mouvement vers l'avant de l'objet, correspondant à la résistance.
Cependant, il est important de noter que cet argument n'est que partiellement correct. En particulier, des turbulences sont générées à l'extrémité arrière de l'aile, ce qui complique l'argument de haute vitesse et remet en question l'application du principe de Bernoulli.
En suivant l'approche de modélisation utilisée pour la portance, nous pouvons supposer que le théorème de Kutta-Joukowski, dans lequel a force de levage ($F_L$) avec a densité ($\rho$), a vitesse par rapport au milieu ($v$) et a circulation aérodynamique ($\Gamma$), est le suivant :
Nous pouvons supposer qu'il est vectoriel, ce qui signifie qu'il a une composante verticale expliquant la portance et une composante horizontale modélisant la résistance.
ID:(11076, 0)
Coefficient de résistance d'une sphère
Description
Le coefficient de résistance $C_d$ est souvent une fonction du nombre de Reynolds $Re$. Dans le cas d'une sphère, le coefficient de résistance prend la forme suivante :
Dans la plage de faibles nombres de Reynolds, le coefficient de résistance est inversement proportionnel à la vitesse $1/v$, ce qui signifie que dans cette plage, la force de traînée est proportionnelle à la vitesse (loi de Stokes).
Dans la plage de grands nombres de Reynolds, le coefficient de résistance devient constant, ce qui implique que la force de traînée est proportionnelle au carré de la vitesse. Cependant, il est important de noter qu\'il y a une discontinuité où le coefficient diminue brusquement. Cette diminution correspond à une situation où la zone de turbulence se réduit.
ID:(1169, 0)
Application du coefficient de résistance
Description
Si l\'objectif est de réduire la résistance d\'une balle, il est nécessaire d\'augmenter le nombre de Reynolds pour profiter de la diminution du coefficient de résistance. Cela peut être réalisé en introduisant des rainures, telles que celles présentes sur une balle de golf. Ces rainures agissent comme de petits séparateurs qui maintiennent la couche d\'air collée à la balle, permettant au flux de rester plus linéaire pendant une plus longue période de temps et réduisant ainsi la surface qui génère la résistance.
ID:(1170, 0)
Force de résistance totale
Description
Lorsque l'aile est inclinée, elle génère non seulement de la portance mais aussi une composante de traînée, car la direction de la portance est orthogonale à la surface de l'aile. Si nous représentons graphiquement a force de levage ($F_L$), a force de résistance ($F_W$) et le accélération maximale ($\alpha$), nous obtenons :
ID:(9578, 0)
Théorème de Kutta-Joukowski
Équation
D'après les travaux de Kutta [1] et Joukowski [2], un théorème a été développé montrant l'association entre a circulation aérodynamique ($\Gamma$) et a force de levage ($F_L$) à travers a envergure des ailes ($L$), a densité ($\rho$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) comme suit :
 $ \displaystyle\frac{ F_L }{ L } = - \rho v \Gamma$ |
[1] "Über die Aufgabe der Flügeltheorie und ein neues Verfahren zur Herleitung derselben." (Sur la tâche de la théorie des ailes et une nouvelle méthode pour sa dérivation), Martin Wilhelm Kutta, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1902)
[2] "Über die Erhaltung des Luftkreises um ein Profil." (Sur la conservation du cercle d'air autour d'un profil), Nikolai Zhukovsky, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1904)
ID:(1166, 0)
Soulevez
Équation
Pour générer une pression plus élevée en dessous qu'au-dessus de l'aile et produire de la portance, le principe de Bernoulli est utilisé pour corriger le manque de conservation de la densité d'énergie avec un coefficient de portance ($C_L$). La pression sur l'aile, a force de levage ($F_L$), peut être estimée en utilisant a densité ($\rho$), a surface génératrice de portance ($S_w$), le coefficient de portance ($C_L$), et a vitesse par rapport au milieu ($v$) grâce à la formule suivante :
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
A force de levage ($F_L$), en compagnie de a envergure des ailes ($L$), a densité ($\rho$), le facteur de vitesse maximale de l'aile ($c_t$), le facteur de vitesse en bas d'aile ($c_b$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$), a longueur de l'aile inférieure ($l_b$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$), se trouve dans
| $ F_L = \rho L ( c_b l_b - c_t l_t ) v ^2$ |
Si nous considérons a surface génératrice de portance ($S_w$), défini par a envergure des ailes ($L$), a longueur de l'aile supérieure ($l_t$) et a longueur de l'aile inférieure ($l_b$),
| $ S_w = \displaystyle\frac{1}{2} L ( l_t + l_b )$ |
et pour le coefficient de portance ($C_L$), défini comme
| $ C_L = 4\displaystyle\frac{ c_t l_t - c_b l_b }{ l_t + l_b }$ |
nous obtenons
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
ID:(4417, 0)
Force de résistance
Équation
De manière analogue à la force de portance, une différence de pression se crée à l'avant et à l\'arrière d\'un objet. Cela engendre une force de résistance qui dépend de la surface exposée à l\'écoulement $S_p$, de la vitesse $v$ et du coefficient de résistance $C_W$, défini comme suit :
| $ F_W =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_p C_W v ^2$ |
Le coefficient de résistance est mesuré et, dans les écoulements turbulents sur des corps aérodynamiques, il se situe généralement autour de 0,4.
ID:(4418, 0)
Calcul de la force de résistance totale
Équation
La force totale de résistance est composée des composantes horizontales de la force de résistance du profil de l'aile $F_W$ et de la force de portance $F_L$, qui peuvent être calculées à partir de l\'angle d\'attaque $\alpha$:
| $ F_R = F_w \cos \alpha + F_L \sin \alpha $ |
La composante horizontale de la force de sustentation correspond à la force $F_L$ multipliée par le sinus de l'angle d\'attaque $\alpha$:
$F_L \sin\alpha $
et la composante horizontale de la force de résistance correspond à la force $F_W$ multipliée par le cosinus de l\'angle d\'attaque $\alpha$:
$F_W \cos\alpha $
Par conséquent, la force totale de résistance se calcule de la manière suivante :
| $ F_R = F_w \cos \alpha + F_L \sin \alpha $ |
ID:(9579, 0)
Constante de levage
Équation
À partir de mesures, il est conclu que le coefficient de portance $C_L$ est proportionnel à l'angle d\'attaque $\alpha$:
| $ C_L = c \alpha $ |
Après un certain angle, la courbe diminue jusqu\'à atteindre zéro. Cela est dû au fait que au-delà de cet angle critique, les tourbillons recouvrent entièrement la surface supérieure de l\'aile, ce qui entraîne une perte de portance. Ce phénomène est appelé \"décrochage\" ou \"décrochage aérodynamique\".
ID:(4441, 0)
Sinus pour les petits angles
Équation
Pour de petits angles, la fonction sinus peut être approximée par une droite qui passe par l'origine. Si le accélération maximale ($\alpha$) est exprimé en radians, la pente de cette droite est égale à un, et nous obtenons :
| $\sin\alpha\sim\alpha$ |
Le sinus peut être calculé en utilisant un polynôme de la forme :
$\sin \alpha = \alpha - \displaystyle\frac{1}{3!}\alpha^3 + \displaystyle\frac{1}{5!}\alpha^5 \ldos$
Pour de petites valeurs de le accélération maximale ($\alpha$) ($\alpha \ll 1$), les termes avec des puissances supérieures sont négligeables, et nous obtenons :
| $\sin\alpha\sim\alpha$ |
ID:(9580, 0)
Cosinus pour les petits angles
Équation
Pour de petites valeurs de le accélération maximale ($\alpha$), la fonction cosinus peut être approximée par une parabole inversée qui passe par l'origine. Si l'angle est exprimé en radians et est approximativement nul, nous obtenons :
| $\cos\alpha\sim 1$ |
Le cosinus peut être calculé à l'aide d'un polynôme de la forme :
$\cos \alpha = 1 - \displaystyle\frac{1}{2!}\alpha^2 + \displaystyle\frac{1}{4!}\alpha^4 \ldots$
Pour de petites valeurs de le accélération maximale ($\alpha$) ($\alpha \ll 1$), les termes avec des puissances supérieures sont négligeables, et nous obtenons :
| $\cos\alpha\sim 1$ |
ID:(14473, 0)
Force de résistance totale
Équation
Avec les relations de a force de levage ($F_L$), a force de résistance ($F_W$) et le accélération maximale ($\alpha$), nous pouvons calculer a force de résistance totale ($F_R$) de la manière suivante :
| $ F_R = F_w \cos \alpha + F_L \sin \alpha $ |
Si nous appliquons ces relations à chaque force, en supposant de petits angles et en considérant une situation dans laquelle l'angle est tel que a masse corporelle ($m$) puisse être maintenu, nous obtenons l'expression suivante en utilisant le coefficient de portance ($C_L$), le coefficient de résistance ($C_W$), a surface génératrice de portance ($S_w$), le profil total de l'objet ($S_p$), a accélération gravitationnelle ($g$), a constante de proportionnalité du coefficient de portance ($c$), a densité ($\rho$) et a vitesse par rapport au milieu ($v$) :
| $ F_R = \displaystyle\frac{1}{2} \rho S_p C_w v ^2 + \displaystyle\frac{2 m ^2 g ^2}{ c ^2 S_w \rho }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
En utilisant les relations de a force de résistance totale ($F_R$) avec a force de levage ($F_L$), a force de résistance ($F_W$), et le accélération maximale ($\alpha$) :
nous pouvons calculer en utilisant la force de résistance avec a densité ($\rho$), le coefficient de résistance ($C_W$), le profil total de l'objet ($S_p$), et a vitesse par rapport au milieu ($v$) :
et la force de portance avec a surface génératrice de portance ($S_w$) et le coefficient de portance ($C_L$) :
en utilisant la relation pour le coefficient de portance ($C_L$) avec a constante de proportionnalité du coefficient de portance ($c$) :
en utilisant la relation pour le sinus du petit angle d'attaque $\alpha$ :
et le cosinus :
avec la condition d'équilibrer le poids de l'oiseau ou de l'aéronef pour a masse corporelle ($m$) et a accélération gravitationnelle ($g$) :
nous obtenons :
ID:(4546, 0)
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