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En la parte de la dinámica vimos que tanto la traslación como la rotación de nuestros miembros se puede analizar en función de la aceleración y la aceleración angular.

Para lograr dichas aceleraciones nuestros músculos deben generar fuerzas $F$ que vía las articulaciones de radios $r$ generan el torque

$T = Fr$

que mediante el momento de inercia de nuestros miembros $I$ genera la aceleración angular

$\alpha = \displaystyle\frac{T}{I}$

necesario para mover nuestros miembros. Dicho movimiento finalmente es el que nos permite desplazarnos a velocidades

$v=l\omega$

que dependen del largo de nuestras piernas $l$ y la velocidad angular de nuestros miembros.

>Modelo

ID:(319, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento ($p$) es una medida de la cantidad de movimiento que aumenta tanto con la masa inercial ($m_i$) como con la velocidad ($v$).

En casos de mayor número de dimensiones, la velocidad se convierte en un vector la velocidad (vector) ($\vec{v}$) y, por lo tanto, también lo hace la momento (vector) ($\vec{p}$):

$ \vec{p} = m_i \vec{v} $

Condiciones

Variables

$m_i$

Masa inercial

$kg$

$\vec{p}$

Momento (vector)

$kg m/s$

$\vec{v}$

Velocidad (vector)

$m/s$

Relación

Desarrollo

Si el momento ($p$) se define con la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) como

$ p = m_i v $

Esta relación puede generalizarse para más de una dimensión. En ese sentido, si definimos el vector de la velocidad de las partículas (vector) ($\vec{v}$) y la momento (vector) ($\vec{p}$) como

$\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)=(m_iv_x,m_iv_y,m_iv_z)=m_i(v_x,v_y,v_z)=m_i\vec{v}$

entonces

$ \vec{p} = m_i \vec{v} $

ID:(3599, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Según Galileo, los cuerpos tienden a mantener su estado de movimiento, lo que hoy denominamos la variación del momento ($\Delta p$) y que se calcula con la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) mediante

debe ser constante. Si hay alguna acción sobre el sistema que afecte su movimiento, estará asociada a la variación del momento ($\Delta p$) que se calcula de el momento ($p$) y el momento inicial ($p_0$) con:

$ \Delta p = p - p_0 $

Condiciones

Variables

$p$

Momento

$kg m/s$

$p_0$

Momento inicial

$kg m/s$

$\Delta p$

Variación del momento

$kg m/s$

Relación

ID:(3683, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si la masa del cuerpo ($m$) es nula

y la fuerza ($F$) es constante, entonces la velocidad ($v$) también será constante. Por lo tanto, será con la velocidad constante ($v_0$):

$ v = v_0 $

Condiciones

Variables

$v$

Velocidad

$m/s$

$v_0$

Velocidad constante

$m/s$

Relación

ID:(3238, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En general, la fuerza ($F$) debe ser entendida como un vector tridimensional, es decir, la fuerza (vector) ($\vec{F}$). Esto significa que el momento ($p$) se describe mediante un vector la momento (vector) ($\vec{p}$). De esta forma la expresión con el tiempo ($t$):

se generaliza como:

$\vec{F}=\displaystyle\frac{d\vec{p}}{dt}$

Condiciones

Variables

$\vec{F}$

Fuerza (vector)

$N$

$\vec{p}$

Momento (vector)

$kg m/s$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

Desarrollo

La momento (vector) ($\vec{p}$) puede expresarse como un conjunto de sus diferentes componentes:

$\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)$

Su derivada puede ser expresada como la derivada de cada una de sus componentes, entonces con:

$ F =\displaystyle\frac{ dp }{ dt }$

obtenemos, al derivar con respecto a el tiempo ($t$), que

$\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{p}=\displaystyle\frac{d}{dt}(p_x,p_y,p_z)=\left(\displaystyle\frac{dp_x}{dt},\displaystyle\frac{dp_y}{dt},\displaystyle\frac{dp_z}{dt}\right)=(F_x,F_y,F_z)=\vec{F}$

lo que permite determinar la fuerza (vector) ($\vec{F}$):

$\vec{F}=\displaystyle\frac{d\vec{p}}{dt}$

Es importante tener en cuenta que la fuerza actúa en la dirección y sentido de la variación del vector impulso en el tiempo.

ID:(3239, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La fuerza media ($\bar{F}$) se define como la variación del momento ($\Delta p$) por el tiempo transcurrido ($\Delta t$) que se define con la relación:

$ F_m \equiv\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta t }$

Condiciones

Variables

$F$

Fuerza media

$N$

$\Delta t$

Tiempo transcurrido

$s$

$\Delta p$

Variación del momento

$kg m/s$

Relación

ID:(3684, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La fuerza media ($\bar{F}$) se calcula como la variación del momento ($\Delta p$) dividido por el tiempo transcurrido ($\Delta t$), según la siguiente fórmula:

Esta fórmula es una aproximación de la fuerza real y puede distorsionarse si la fuerza fluctúa durante el intervalo de tiempo. Por esta razón, se introduce el concepto de la fuerza ($F$) determinada en un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño lo que corresponde a la derivada de el momento ($p$) en el tiempo ($t$) que se expresa como:

$ F =\displaystyle\frac{ dp }{ dt }$

Condiciones

Variables

$F$

Fuerza

$N$

$p$

Momento

$kg m/s$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

Desarrollo

Si consideramos la variación del momento en el tiempo $t+\Delta t$ y en $t$ como:

$\Delta p = p(t+\Delta t)-p(t)$

y $\Delta t$ como el tiempo transcurrido, entonces en el límite de tiempos infinitesimalmente pequeños:

$F_m=\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta t}=\displaystyle\frac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{dp}{dt}$

Esta última expresión corresponde a la derivada de la función de posición $p(t)$:

$ F =\displaystyle\frac{ dp }{ dt }$

que a su vez es la pendiente de la representación gráfica de dicha función en el tiempo.

ID:(3685, 0)

Ecuación

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Para el caso en que la masa inercial ($m_i$) sea constante, también se aplica que la fuerza ($F$) debe entenderse como un vector tridimensional, es decir, la fuerza (vector) ($\vec{F}$). Esto implica que la aceleración instantanea ($a$) se describe mediante un vector la aceleración instantánea (vector) ($\vec{a}$). De esta manera, la expresión con la fuerza ($F$):

se generaliza como:

$ \vec{F} = m_i \vec{a} $

Condiciones

Variables

$\vec{a}$

Aceleración instantánea (vector)

$m/s^2$

$\vec{F}$

Fuerza (vector)

$N$

$m_i$

Masa inercial

$kg$

Relación

Desarrollo

La velocidad (vector) ($\vec{v}$) pode ser expresada como un conjunto de diferentes componentes:

$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$

La derivada pode ser expressa como a derivada de cada una de sus componentes, osea con la masa inercial ($m_i$):

$m_i\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{v}=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}(v_x,v_y,v_z)=m_i (a_x,a_y,a_z)=m_i\vec{a}$

Dado que la fuerza media ($\bar{F}$)

$ F = m_i a $

obtemos, que la fuerza (vector) ($\vec{F}$) es:

$ \vec{F} = m_i \vec{a} $

ID:(3598, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La relación entre la fuerza de acción ($F_A$) y la fuerza de reacción ($F_R$) unidimensional

se puede generalizar para más dimensiones con la fuerza de acción (vector) ($\vec{F}_A$) y la fuerza de reacción (vector) ($\vec{F}_R$) como

$ \vec{F}_R = - \vec{F}_A $

Condiciones

Variables

$\vec{F}_A$

Fuerza de acción (vector)

$N$

$\vec{F}_R$

Fuerza de reacción (vector)

$N$

Relación

Desarrollo

Dado que la relación con la fuerza de acción ($F_A$) y la fuerza de reacción ($F_R$) en una dimensión es

$ F_R =- F_A $

se puede aplicar a cada componente de la fuerza de acción (vector) ($\vec{F}_A$) y la fuerza de reacción (vector) ($\vec{F}_R$), lo que resulta en

$\vec{F}R=(F{Rx},F_{Ry},F_{Rz})=(-F_{Ax},-F_{Ay},-F_{Az})=-\vec{F}_A$

Por lo tanto,

$ \vec{F}_R = - \vec{F}_A $

ID:(3240, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento ($p$) fue definido como el producto de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$), lo cual es igual a:

El análogo de la velocidad ($v$) en el caso de la rotación es la velocidad angular instantánea ($\omega$), por lo tanto, el equivalente a el momento ($p$) debería ser un el momento Angular ($L$) de la forma:

$ L = I \omega $

Condiciones

Variables

$L$

Momento Angular

$kg m^2/s$

$I$

Momento de inercia

$kg m^2$

$\omega$

Velocidad angular

$rad/s$

Relación

.

la masa inercial ($m_i$) se asocia con la inercia en la traslación de un cuerpo, por lo que el momento de inercia ($I$) corresponde a la inercia en la rotación de un cuerpo.

ID:(3251, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si el momento angular se mantiene constante

se tiene con

se tiene que variaciones en el momento de inercia es compensado con variaciones en la velocidad angular

$ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 $

Condiciones

Variables

$I_1$

Momento de Inercia 1

$kg m^2$

$I_2$

Momento de Inercia 2

$kg m^2$

$\omega_1$

Velocidad angular en el estado 1

$rad/s$

$\omega_2$

Velocidad angular en el estado 2

$rad/s$

Relación

ID:(3600, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El torque medio calculado con la variación del momento angular \Delta L y el tiempo transcurrido \Delta t se define con:

por ello el torque instantaneo se puede definir en el limite de tiempo infinitesimal:

$ T =\displaystyle\frac{d L }{d t }$

Condiciones

Variables

$L$

Momento Angular

$kg m^2/s$

$t$

Tiempo

$s$

$T$

Torque

$N m$

Relación

Desarrollo

Con la definición de torque medio:

$ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$

\\n\\nse puede pasar al limite instantáneo en la medida que se consideren tiempos infinitesimales \Delta t\rightarrow 0 por lo que\\n\\n

$T\equiv \lim_{t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\Delta L}{\Delta t}\equiv \displaystyle\frac{dL}{dt}$

con lo que el torque instantaneo se define con la derivada del momento angular:

$ T =\displaystyle\frac{d L }{d t }$

ID:(3252, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el escenario en el que el momento de inercia es constante, la derivada del momento angular es igual a

lo cual implica que el torque es igual a

$ T = I \alpha $

Condiciones

Variables

$\alpha$

Aceleración angular instantánea

$rad/s^2$

$I$

Momento de inercia

$kg m^2$

$T$

Torque

$N m$

Relación

Desarrollo

Dado que el momento es igual a

$ L = I \omega $

se sigue que en el caso en que el momento de inercia no cambia con el tiempo,

$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$

lo que implica que

$ T = I \alpha $

.

Esta relación equivale a la segunda ley de Newton en el contexto de la rotación en lugar de la traslación.

ID:(3253, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Tanto la primera como la segunda ley de Newton son aplicables a la rotación.

La inercia explica que los objetos tienden a mantener una velocidad angular constante al rotar.

La variación del momento angular en el tiempo se relaciona con el torque, que, de manera análoga a la fuerza en la traslación, es lo que causa la rotación.

En cuanto al tercer principio, que establece que a toda acción le corresponde una reacción igual y opuesta:

en forma similar, para cada torque aplicado $T_a$ existe un torque de reacción $T_r$ de igual magnitud pero dirección opuesta:

$ \vec{T}_R =- \vec{T}_A $

Condiciones

Variables

$\vec{T}$

Torque (Vector)

$Pa$

$\vec{T}_R$

Torque de Reacción (Vector)

$N m$

Relación

Esto significa en términos físicos que siempre necesitamos un punto de apoyo para generar torque, de modo que el sistema pueda experimentar el torque de reacción.

ID:(3254, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que la relación entre el momento angular y el momento es

su derivada temporal nos conduce a la relación de torque

$ T = r F $

Condiciones

Variables

$F$

Fuerza media

$N$

$r$

Radio

$m$

$T$

Torque

$N m$

Relación

Desarrollo

Si se deriva en el tiempo la relación para el momento angular

$ L = r p $

para el caso de que el radio sea constante

$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=r\displaystyle\frac{dp}{dt}=rF$

por lo que

$ T = r F $

La rotación del cuerpo tiene lugar alrededor de un eje en la dirección del torque, que atraviesa el centro de masa.

ID:(4431, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El torque se representa como un vector en la dirección del eje de rotación. Dado que el radio de rotación y la fuerza son perpendiculares entre sí, la relación es

y esto puede expresarse como el producto cruz entre la velocidad angular y el radio:

$ \vec{T} = \vec{r} \times \vec{F} $

Condiciones

Variables

$\vec{r}$

Radio (vector)

$m$

$\vec{F}$

Segundo principio sobre la fuerza instantánea

$N$

$\vec{T}$

Torque (Vector)

$Pa$

Relación

Desarrollo

Dado que la magnitud del torque es

$ T = r F $

Si el vector del eje es \hat{n} y el vector radial es \hat{r}, se puede calcular el vector tangencial mediante el producto cruz con

$\hat{n}=\hat{r}\times\hat{t}$

Por lo tanto, dado que

$\vec{F} =F\hat{t}$

,

$\vec{r} =r\hat{r}$

,

$\vec{T}=T\hat{n}$

tenemos que

$\vec{T} =T\hat{n}=T\hat{r}\times\hat{t}=rF\hat{r}\times\hat{t}=\vec{r}\times\vec{F}$

lo que significa que

$ \vec{T} = \vec{r} \times \vec{F} $

ID:(3249, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que el torque generado por la fuerza gravitacional y el brazo es

en cada lado de la balanza, en caso de equilibrio debe anularse para que exista un estado de equilibrio:

Esta condición se expresa matemáticamente como:

$ d_1 F_1 = d_2 F_2 $

Condiciones

Variables

$d_1$

Brazo 1

$m$

$d_2$

Brazo 2

$m$

$F_1$

Fuerza 1

$N$

$F_2$

Fuerza 2

$N$

Relación

Desarrollo

En el caso de una balanza, actúa una fuerza gravitacional sobre cada brazo que genera un torque

$ T = r F $

Si la longitud de los brazos es $d_i$ y las fuerzas son $F_i$ con $i=1,2$, la condición de equilibrio exige que la suma de los torques sea cero:

$\displaystyle\sum_i \vec{T}_i=0$

Por lo tanto, considerando que el signo de cada torque depende de la dirección en la que está induciendo el giro,

$d_1F_1-d_2F_2=0$

de lo que resulta

$ d_1 F_1 = d_2 F_2 $

.

ID:(3250, 0)