Die Momento (vector) ($\vec{p}$) kann als eine Reihe seiner verschiedenen Komponenten ausgedr ckt werden:

$\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)$

Seine Ableitung kann als die Ableitung jeder seiner Komponenten ausgedr ckt werden, daher mit:

erhalten wir, indem wir nach der Zeit ($t$) differenzieren, dass

$\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{p}=\displaystyle\frac{d}{dt}(p_x,p_y,p_z)=\left(\displaystyle\frac{dp_x}{dt},\displaystyle\frac{dp_y}{dt},\displaystyle\frac{dp_z}{dt}\right)=(F_x,F_y,F_z)=\vec{F}$

was es uns erm glicht, die Kraft ($\vec{F}$) zu bestimmen:

(ID 3239)

Da die Beziehung zu die Aktion Kraft ($F_A$) und die Reaktion Kraft ($F_R$) in einer Dimension lautet

kann sie auf jede Komponente von die Aktion Kraft (Vektor) ($\vec{F}_A$) und die Reaktion Kraft (Vektor) ($\vec{F}_R$) angewendet werden, was zu

$\vec{F}R=(F{Rx},F_{Ry},F_{Rz})=(-F_{Ax},-F_{Ay},-F_{Az})=-\vec{F}_A$

f hrt. Daher gilt

(ID 3240)

Da die Gr e des Drehmoments ist

Wenn der Achseneinheitsvektor \hat{n} ist und der radiale Einheitsvektor \hat{r} ist, kann der tangential Einheitsvektor durch das Kreuzprodukt berechnet werden:

$\hat{n}=\hat{r}\times\hat{t}$

Daher, unter Ber cksichtigung von

$\vec{F} =F\hat{t}$

,

$\vec{r} =r\hat{r}$

,

$\vec{T}=T\hat{n}$

haben wir

$\vec{T} =T\hat{n}=T\hat{r}\times\hat{t}=rF\hat{r}\times\hat{t}=\vec{r}\times\vec{F}$

was bedeutet

(ID 3249)

Im Falle einer Waage wirkt auf jeden Arm eine Gravitationskraft, die ein Drehmoment erzeugt

Wenn die L ngen der Arme $d_i$ betragen und die Kr fte $F_i$ mit $i=1,2$ sind, verlangt die Gleichgewichtsbedingung, dass die Summe der Drehmomente null ist:

Daher, unter Ber cksichtigung, dass das Vorzeichen jedes Drehmoments von der Richtung abh ngt, in der es eine Rotation induziert,

$d_1F_1-d_2F_2=0$

was zu

f hrt.

(ID 3250)

(ID 3251)

Con la definici n de torque medio:

\\n\\nse puede pasar al limite instant neo en la medida que se consideren tiempos infinitesimales \Delta t\rightarrow 0 por lo que\\n\\n

$T\equiv \lim_{t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\Delta L}{\Delta t}\equiv \displaystyle\frac{dL}{dt}$

con lo que el torque instantaneo se define con la derivada del momento angular:

(ID 3252)

Da das Moment gleich ist

folgt daraus, dass im Fall, dass sich das Tr gheitsmoment nicht mit der Zeit ndert,

$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$

was bedeutet, dass

.

(ID 3253)

(ID 3254)

Da ein Vektor als Array seiner verschiedenen Komponenten ausgedr ckt werden kann

$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$

kann seine Ableitung als Ableitung jeder seiner Komponenten ausgedr ckt werden

$m_i\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{a}=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}(a_x,a_y,a_z)=\left(m_i\displaystyle\frac{da_x}{dt},m_i\displaystyle\frac{da_y}{dt},m_i\displaystyle\frac{da_z}{dt}\right)=(F_x,F_y,F_z)=\vec{F}$

Daher ist im Allgemeinen die momentane Geschwindigkeit in mehreren Dimensionen

(ID 3598)

Wenn der Moment ($p$) definiert ist mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) als

Diese Beziehung kann f r mehr als eine Dimension verallgemeinert werden. In diesem Sinne, wenn wir den Vektor von die Velocidad de las partículas (vector) ($\vec{v}$) und die Momento (vector) ($\vec{p}$) definieren als

$\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)=(m_iv_x,m_iv_y,m_iv_z)=m_i(v_x,v_y,v_z)=m_i\vec{v}$

dann

(ID 3599)

(ID 3600)

(ID 3683)

(ID 3684)

Wenn wir die nderung des Impulses ber die Zeit $t+\Delta t$ und bei $t$ betrachten:

$\Delta p = p(t+\Delta t)-p(t)$

und $\Delta t$ die verstrichene Zeit ist, dann ergibt sich im Grenzwert unendlich kleiner Zeitintervalle:

$F_m=\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta t}=\displaystyle\frac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{dp}{dt}$

Dieser letzte Ausdruck entspricht der Ableitung der Positionsxadfunktion $p(t)$:

die auch die Steigung des Graphen darstellt, der diese Funktion ber der Zeit darstellt.

(ID 3685)

Si se deriva en el tiempo la relaci n para el momento angular

para el caso de que el radio sea constante

$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=r\displaystyle\frac{dp}{dt}=rF$

por lo que

(ID 4431)