Usuario:
Energía
Storyboard
El hecho que al caminar posemos cada vez nuestros pies y los detengamos lleva a que se consuma energía. Este consumo se puede estimar de la velocidad que alcanza nuestro pie $v$ y su masa $m$ mediante una estimación de la energía cinética
$K=\displaystyle\frac{m}{2}v^2$
Por otro lado cuando pasamos al modo correr nuestros músculos son usados como resortes que absorben el impacto de aterrizar revertiendo el movimiento e impulsándonos. La energía que en este caso es recuperada depende de la elongación $\Delta x$ de los músculos y de la constante elástica con que se les puede modelar $k$ siendo
$V=\displaystyle\frac{k}{2}\Delta x^2$
De igual forma se puede estimar la altura $h$ que somos capaces de saltar si se tiene una masa $M$ en función de esta energía y la energía potencial gravitacional ($g$ aceleración gravitacional)
$V=Mgh$
en que la convertimos.
ID:(321, 0)
Definición general de energía
Ecuación
Carnot fue pionero al describir la energía en relación con el camino y la fuerza necesaria para recorrerlo. Avanzar a lo largo de un camino con una fuerza requiere o genera energía. Esto se traduce en la ecuación:
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
En el límite continuo, la suma puede expresarse como una integral:
 $ W =\displaystyle\int_C \vec{F} \cdot d \vec{s} $ |
Para un camino de mayor longitud, es necesario sumar la energía requerida para cada elemento del camino:
$\bar{W}=\displaystyle\sum_i \vec{F}_i\cdot\Delta\vec{s}_i$
Sin embargo, el valor de esta ecuación representa únicamente un valor promedio de la energía requerida o generada. La energía precisa se obtiene cuando los pasos se vuelven muy pequeños, permitiendo que la fuerza se considere constante en su interior:
$W=\displaystyle\sum_i \mbox{lim}_{\Delta\vec{s}_i\rightarrow\vec{0}}\vec{F}_i\cdot\Delta\vec{s}_i$
En este límite, la energía corresponde a la integral a lo largo del camino recorrido, lo que nos da:
| $ W =\displaystyle\int_C \vec{F} \cdot d \vec{s} $ |
ID:(3601, 0)
Energía potencial elástica
Ecuación
En el caso elástico (resorte) la fuerza es
la energía
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
se puede mostrar que en este caso es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
En el caso elástico (resorte) la fuerza es
con
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
\\n\\nLa diferencia\\n\\n
$\Delta x = x_2 - x_1$
\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n
$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$
y con ello la energía potencial elástica es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
ID:(3246, 0)
Energía cinética de traslación
Ecuación
En el caso de estudiar la traslación, la definición de la energía
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
se aplica al segundo principio de Newton
| $ F = m_i a $ |
lo que nos lleva a la expresión
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
La energía necesaria para que un objeto cambie su velocidad de $v_1$ a $v_2$ se puede calcular utilizando la definición con
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
Usando la segunda ley de Newton, esta expresión se puede reescribir como
$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$
Empleando la definición de velocidad con
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
obtenemos
$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$
donde la diferencia de velocidades es
$\Delta v = v_2 - v_1$
Además, la velocidad en sí misma puede aproximarse con la velocidad promedio
$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$
Usando ambas expresiones, llegamos a
$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
Así, el cambio en la energía se expresa como
$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$
De esta manera, podemos definir la energía cinética
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
ID:(3244, 0)
Energía cinética de rotación
Ecuación
En el caso de estudio de la translación, la definición de la energía
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
se aplica al segundo principio de Newton
| $ T = I \alpha $ |
lo que nos lleva a la expresión
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
La energía necesaria para que un objeto cambie su velocidad angular de $\omega_1$ a $\omega_2$ se puede calcular utilizando la definición
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando la segunda ley de Newton, esta expresión se puede reescribir como
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Utilizando la definición de velocidad angular
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
obtenemos
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
La diferencia en las velocidades angulares es
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Por otro lado, la velocidad angular en sí se puede aproximar con la velocidad angular promedio
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Utilizando ambas expresiones, obtenemos la ecuación
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Así, el cambio en la energía está dado por
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Esto nos permite definir la energía cinética como
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(3255, 0)
Energía cinética total
Ecuación
La energía cinética puede ser de traslación y/o de rotación. Por lo tanto, la energía cinética total es la suma de ambas:
| $ K = K_t + K_r $ |
ID:(3686, 0)
Energía potencial gravitacional en la superficie del planeta
Ecuación
En la superficie del planeta, la fuerza gravitacional es
| $ F_g = m_g g $ |
y la energía
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
puede demostrarse que en este caso es
| $ V = m g z $ |
Dado que la fuerza gravitacional es
| $ F_g = m_g g $ |
con $m$ representando la masa. Para mover esta desde una altura $h_1$ a una altura $h_2$, se recorre una distancia de
| $ V = m g ( h_2 - h_1 )$ |
lo que implica que la energía
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
con $\Delta s=\Delta h$ nos proporciona la variación de la energía potencial:
$\Delta W = F\Delta s=mg\Delta h=mg(h_2-h_1)=U_2-U_1=\Delta V$
esto lleva a que la energía potencial gravitacional sea
| $ V = m g z $ |
ID:(3245, 0)