Medici n de fuerzas: el dinam metro

(ID 1909)

La relaci n entre la fuerza elástica ($F_k$) y la elongaci n la elongación ($u$) se expresa y se conoce como la Ley de Hooke. La constante la constante de Hooke ($k$) se denomina la constante de elasticidad del resorte:

(ID 3207)

Medici n de la fuerza y elongaci n

(ID 1908)

Resorte

(ID 1907)

Si se desea modelar c mo se deforma un s lido bajo la influencia de una fuerza, primero se puede considerar el comportamiento de una subunidad, como dos resortes conectados uno detr s del otro, como se muestra en la imagen:

Este tipo de disposici n de los resortes se llama en serie. Se caracteriza porque la fuerza la fuerza ($F$) es igual en ambos resortes, y estos se deforman seg n la constante de Hooke ($k$). Por lo tanto, la constante el stica equivalente la elongación ($u$) se calcula como la suma de la elongación del resorte 1 ($u_1$) y la elongación del resorte 2 ($u_2$), que a su vez, seg n la ley de Hooke:

es igual a la fuerza ($F$) dividido por las constantes la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$), respectivamente:

$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$

Por lo tanto, el sistema de dos resortes se puede tratar como un solo resorte cuya constante el stica equivalente la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$) se calcula de la siguiente manera:

(ID 1910)

En el caso de dos resistencias con valores la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$), cuando est n conectadas en paralelo, act an como si hubiera una resistencia equivalente la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$) que se calcula utilizando la siguiente ecuaci n:

Este concepto se puede generalizar para la constante de Hook de resorte i ($k_i$) de la siguiente manera:

(ID 3208)

Si tenemos dos resistencias con valores la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) conectadas en serie, las elongaciones se suman, lo que hace que cada resistencia individual act e en funci n de su inverso. De esta manera, el inverso de la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$) es igual a la suma de los inversos de las constantes individuales la constante de Hook de resorte i ($k_i$):

(ID 3753)

Como la suma de resortes en serie se realiza seg n

\displaystyle\frac{1}{k_s}=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{k_i}

la suma de tres resortes en serie se realiza con

(ID 3754)

Si se desea modelar c mo se deforma un s lido bajo la influencia de una fuerza, primero se puede considerar el comportamiento de una subunidad, como dos resortes conectados uno al lado del otro, como se muestra en la imagen:

Este tipo de disposici n de los resortes se llama en paralelo. Se caracteriza porque la elongación ($u$) en ambos resortes es la misma y cada resorte aporta ERROR:4975,0 en funci n de la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) seg n la ley de Hooke:

Por ello se tiene que:

$F = F_1 + F_2 = k_1 u + k_2 u = (k_1 + k_2)u$

Por lo tanto, el sistema de dos resortes se puede tratar como un solo resorte cuya constante el stica equivalente la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) se calcula de la siguiente manera:

(ID 1692)

En el caso de dos resortes con constantes la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) que pueden ser modelados por un nico resorte con una constante la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) calculada mediante la siguiente ecuaci n:

Para el caso m s general de resortes con constantes ERROR:10228,0, la ecuaci n puede generalizarse de la siguiente manera:

Esto nos permite modelar una estructura macro de la siguiente manera:

(ID 1684)

En el caso de dos resistencias con valores la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$), cuando est n conectadas en paralelo, act an como si hubiera una resistencia equivalente la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) dada por la siguiente ecuaci n:

Este concepto se puede generalizar para la constante de Hook de resorte i ($k_i$) como:

(ID 3756)

Si tenemos dos resistencias con valores la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) conectadas en paralelo, sus efectos se suman, actuando como si existiera una resistencia equivalente la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) que es igual a la suma de las constantes individuales:

(ID 3757)

Como la suma de resortes en paralelo se realiza seg n

k_p=\displaystyle\sum_i k_i

la suma de tres resortes en paralelo se realiza con

(ID 3758)

La estructura microsc pica del hueso se puede describir como un sistema de numerosos puentes. Al sufrir la persona ortoporosis son estos puentes los que se reducen lo que cambia tanto las propiedades de deformaci n como la tensi n critica que pueden soportar.

(ID 738)

El hueso se puede modelar como un cilindro hueco, ya que el material en su interior no es capaz de soportar una carga significativa. Por lo tanto, se modela geom tricamente como un cilindro con propiedades el largo del cuerpo ($L$), el radio interior ($R_1$) y el radio exterior ($R_2$):

None

Por ello el radio efectivo ($R$) es

la sección del elemento ($S$) es

y el momento de inercia de superficie ($I_s$) es

(ID 1915)

La deformaci n el stica microsc pica corresponde a una modificaci n de la distancia entre los tomos bajo una fuerza externa, sin que ocurra un reordenamiento de estos.

None

En general, es una deformaci n en la que la distancia se modifica de manera proporcional a la fuerza aplicada, y se habla de una deformaci n el stica.

(ID 1685)

Como la suma de resortes en paralelo se realiza seg n

k_p=\displaystyle\sum_i k_i

la suma de N resortes iguales en paralelo se realiza con

(ID 3759)

Para calcular la constante macrosc pica equivalente de la constante de Hook microsc pica, se deben sumar todos los micro resortes tanto en paralelo como en serie. Para ello, es necesario conocer en particular el n mero de resortes conectados en paralelo.

El n mero de resortes que est n conectados en paralelo se puede determinar con la sección del elemento ($S$) y la sección del resorte microscópico ($s$). El número de resortes en paralelo ($N_p$) se calcula dividiendo la sección del elemento ($S$) por la sección del resorte microscópico ($s$):

(ID 3760)

Como la suma de resortes en serie se realiza seg n

\displaystyle\frac{1}{k_s}=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{k_i}

la suma de N resortes en serie se realiza con

\displaystyle\frac{1}{k_s}=N\displaystyle\frac{1}{k}

por lo que la constante total resulta

(ID 3755)

Para calcular la constante macrosc pica equivalente de la constante de resorte microsc pico, se deben sumar todos los micro resortes tanto en paralelo como en serie. Para hacerlo, es necesario conocer en particular el n mero de resortes conectados en serie.

Si deseamos estimar el número de resortes en serie ($N_s$), basta con conocer el largo del cuerpo ($L$) y el largo del resorte microscópico ($l$). El número de resortes en serie ($N_s$) se calcula dividiendo el largo del cuerpo ($L$) por el largo del resorte microscópico ($l$):

(ID 3761)

Para una barra con un largo del cuerpo ($L$) y ERROR:5352,0, se puede calcular el número de resortes en paralelo ($N_p$) y el número de resortes en serie ($N_s$) con el largo del resorte microscópico ($l$) y la sección del resorte microscópico ($s$).

Con estos valores, se puede calcular la constante de resorte de toda una secci n multiplicando por el número de resortes en paralelo ($N_p$) con la constante de Hook microscópica ($k_m$). De esta manera, se puede calcular la constante de Hooke ($k$) dividiendo el valor obtenido por el número de resortes en serie ($N_s$):

$k=\displaystyle\frac{k_p}{N_s}=\displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$

Si se introducen las expresiones para el n mero de elementos con el largo del resorte microscópico ($l$) y la sección del resorte microscópico ($s$), se obtiene la siguiente expresi n:

(ID 3205)

La expresi n para la constante de Hooke ($k$) dada por

posee dos par metros macrosc picos, que son el largo del cuerpo ($L$) y la sección del elemento ($S$). Los dem s, la constante de Hook microscópica ($k_m$), el largo del resorte microscópico ($l$) y la sección del resorte microscópico ($s$), son microsc picos y dependen del material que se describe. Por lo tanto, tiene sentido definir estos factores como el módulo de Elasticidad ($E$), de modo que:

(ID 3204)

Ya que la Ley de Hooke relaciona la fuerza elástica ($F_k$) a trav s de la constante de Hooke ($k$) y la elongación ($u$) de la manera siguiente:

es posible sustituir la constante de Hooke ($k$) por la expresi n microsc pica y utilizando la definici n de el módulo de Elasticidad ($E$), se obtiene con el largo del cuerpo ($L$) y la sección del elemento ($S$) que:

(ID 3209)

La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).

En este caso, la proporci n entre la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$) est representada por la deformación ($\epsilon$), que se puede definir de la siguiente manera:

(ID 3762)

La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).

De manera similar, al igual que se introduce la deformación ($\epsilon$) para evitar el uso de la dimensi n el largo del cuerpo ($L$), podemos construir un factor que exprese la fuerza elástica ($F_k$) en funci n de la sección del elemento ($S$) como la tensión ($\sigma$).

(ID 3210)

La ley de Hooke para ERROR:8845, ERROR:8843 y ERROR:8838 est expresada como:

Esta ley puede generalizarse para la tensión en el eje $i$ ($\sigma_i$) y la deformación en la coordenada $i$ ($\epsilon_i$) de la siguiente manera:

(ID 3764)

En general, la deformación ($\epsilon$) se define como la variaci n de la elongación ($u$) en relaci n a el largo del cuerpo ($L$):

Este concepto puede generalizarse en el l mite microsc pico, donde se introduce la deformación en la coordenada $i$ ($\epsilon_i$) como la variación del desplazamiento en i ($\partial u_i$) sobre el largo de un elemento en i ($\partial x_i$) en la direcci n $i$, de la siguiente manera:

La raz n por la cual se utiliza una letra diferente para denotar el diferencial

$d \rightarrow \partial$

es que existen varios diferenciales que afectan diferentes variables en el modelo. El uso de la letra $\partial$ indica que se debe realizar una variaci n a la vez, es decir, cuando se considera una de las variables, las dem s se asumen con sus valores iniciales.

(ID 3763)

En el caso de cizalla la deformaci n no se asocia a dilatar o comprimir si no que a desfasar lateralmente las caras de un cubo. La cizalla por ello se describe con el ngulo \gamma con que se logra rotar la cara perpendicular a las superficies desplazadas. En analog a a la ley de Hook para la compresi n y dilataci n se tiene la relaci n entre torsi n \tau y ngulo \gamma:

donde G es el llamado m dulo de cizalla.

(ID 3771)

Con el radio exterior ($R_2$) y el radio interior ($R_1$), la sección del elemento ($S$) est definido por

(ID 3784)

La deformaci n pl stica implica que si se reduce la tensi n aplicada, el material disminuye su deformaci n pero termina con una deformaci n permanente.

None

Por lo tanto, si se somete nuevamente a tensi n, por lo general vuelve a su forma el stica, pero debido a la nueva forma, no puede recuperar su forma original.

(ID 1911)

Una situaci n que puede ocurrir es que una fuerza de deformación con dos puntos fijos ($F_2$) act e sobre un hueso con las propiedades un largo del cuerpo ($L$), el módulo de Elasticidad ($E$) y el momento de inercia de superficie ($I_s$), que est fijo en ambos extremos:

None

la energía de deformación con dos puntos fijos ($W_2$), que almacena la estructura frente a un desplazamiento en flexión con dos puntos fijos ($u_2$), es

la fuerza de deformación con dos puntos fijos ($F_2$), que se aplica, lleva a un desplazamiento en flexión con dos puntos fijos ($u_2$), seg n

y la tensión para deformación con dos puntos fijos ($\sigma_2$), que depende de el radio exterior ($R_2$), es

(ID 740)

En el caso de torsi n tambi n se genera una rotaci n de un extremo respecto del otro. Dicha rotaci n se puede describir con el angulo \gamma. En este caso la ley de Hook relaciona la torsi n T con el angulo que incluye el momento de inercia de superficie I_s, modulo de cizalla G y largo L siendo

(ID 3773)

Una situaci n que puede ocurrir es que una fuerza de deformación en condición de pandeo ($F_p$) act e a lo largo del eje del hueso con las propiedades un largo del cuerpo ($L$), el módulo de Elasticidad ($E$), el factor de pandeo ($K$), el radio efectivo ($R$) y el momento de inercia de superficie ($I_s$), generando pandeo:

None

la energía de deformación en condición de pandeo ($W_p$), se define como

la fuerza de deformación en condición de pandeo ($F_p$), la fuerza aplicada, seg n

y la tensión para deformación en el caso de pandeo ($\sigma_p$), que depende de el radio exterior ($R_2$), se expresa como

(ID 741)

Una deformaci n pl stica implica que los tomos se reordenen, disoci ndose de estructuras existentes y formando nuevas uniones que son estables en s mismas. Sin embargo, dicha deformaci n generalmente implica una modificaci n en la forma del medio.

None

La deformaci n pl stica puede finalmente llevar a modificaciones que incluyen rupturas catastr ficas que son permanentes.

(ID 1686)

La deformaci n lateral es directamente proporcional a la deformaci n que la causa. El coeficiente de proporcionalidad se denota como el coeficiente de Poisson ($\nu$) [1] y generalmente cae en el rango de 0.15 a 0.4.

Si la deformaci n original es la deformación ($\epsilon$) y la generada es la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$), se establece la siguiente relaci n:

En la aproximaci n lineal, el coeficiente de Poisson representa la relaci n entre las deformaciones lateral y longitudinal.

donde el signo indica que la deformaci n es en direcci n opuesta a la que la causa.

[1] Este concepto fue introducido por Sim on Denis Poisson en un trabajo de an lisis estad stico en el que, entre otros temas no relacionados con la mec nica, menciona lo que posteriormente se denomin coeficiente de Poisson en un ejemplo de elasticidad. El trabajo se titula "Recherches sur la Probabilit des Jugements en Mati re Criminelle et en Mati re Civile" (Investigaciones sobre la Probabilidad de los Juicios en Materias Criminales y Civiles), escrito por Sim on Denis Poisson (1837).

(ID 3765)

El momento de inercia de superficie ($I_s$) se calcula en el caso de un cilindro con el radio exterior ($R_2$) y el radio interior ($R_1$) mediante

(ID 3774)

Una situaci n que puede ocurrir es que una fuerza de deformación con un punto fijo ($F_1$) act e sobre un hueso de un largo del cuerpo ($L$), el módulo de Elasticidad ($E$) y el momento de inercia de superficie ($I_s$) que est fijo en un extremo.

None

la energía de deformación con un punto fijo ($W_1$), que almacena la estructura ante una tensión para deformación con un punto fijo ($\sigma_1$), es

la fuerza de deformación con un punto fijo ($F_1$), que se aplica, lleva a una tensión para deformación con un punto fijo ($\sigma_1$), seg n

y la tensión para deformación con un punto fijo ($\sigma_1$), que depende de el radio exterior ($R_2$), es

(ID 739)

Una de las formas de generar una fractura es mediante la torsi n del hueso, que implica la aplicaci n de torques opuestos en los extremos:

(ID 1916)

Modulo de elasticidad del hueso

(ID 1690)