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Deformación elastica longitudinal
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Cuando se aplica una fuerza en la superficie de un cuerpo, se origina una región donde el material experimenta compresión o expansión, generando un desplazamiento en la misma dirección que el vector normal de la superficie. Este fenómeno es conocido como deformación longitudinal.
ID:(325, 0)
Deformación elastica longitudinal
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Cuando se aplica una fuerza en la superficie de un cuerpo, se origina una región donde el material experimenta compresión o expansión, generando un desplazamiento en la misma dirección que el vector normal de la superficie. Este fenómeno es conocido como deformación longitudinal.
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Si utilizamos la ecuaci n para calcular el trabajo ($W$) como la integral de la fuerza elástica ($F_k$) a lo largo del camino durante la deformaci n:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
y empleamos la ecuaci n para la fuerza elástica ($F_k$) con el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$), el largo del cuerpo ($L$) y la elongación ($u$)
donde sumamos a lo largo del camino recorrido. En el caso de una deformaci n el stica, la relaci n es lineal y se convierte en:
$W=\displaystyle\frac{ES}{L}\displaystyle\int_0^u d\vec{s}\cdot\vec{s}$
Esto nos lleva a:
$W=\displaystyle\frac{ES}{2L}u^2$
Al utilizar la ecuaci n para la deformación ($\epsilon$)
y la ecuaci n para el volumen ($V$)
obtenemos:
Con la Ley de Hooke para la fuerza elástica ($F_k$), la constante de Hooke ($k$) y la elongación ($u$) de la siguiente forma:
y la expresi n para la constante de Hooke ($k$) en funci n de el largo del cuerpo ($L$), la sección del elemento ($S$), el largo del resorte microscópico ($l$), la sección del resorte microscópico ($s$) y la constante de Hook microscópica ($k_m$):
combinada con la expresi n para el módulo de Elasticidad ($E$):
el resultado es:
Dado que la energía de deformación ($W$) est relacionado con el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$) de la siguiente manera:
Si reemplazamos la deformación ($\epsilon$) con la tensión ($\sigma$) en la ecuaci n:
Obtenemos:
La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
Esta funci n se puede expresar mediante la definici n de la tensión ($\sigma$)
y la definici n de la deformación ($\epsilon$)
resultando en
La energía de deformación ($W$) se expresa en funci n de el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$) de la siguiente manera:
Y con la densidad de energía de deformación ($w$) definido como:
Obtenemos:
ERROR:8844 con ERROR:8843, ERROR:8838, la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$), y el coeficiente de Poisson ($\nu$) se expresa como:
Si reemplazamos la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$) utilizando la ecuaci n
Obtenemos la expresi n inicial:
Ejemplos
Ya que la Ley de Hooke relaciona la fuerza elástica ($F_k$) a trav s de la constante de Hooke ($k$) y la elongación ($u$) de la manera siguiente:
es posible sustituir la constante de Hooke ($k$) por la expresi n microsc pica y utilizando la definici n de el módulo de Elasticidad ($E$), se obtiene con el largo del cuerpo ($L$) y la sección del elemento ($S$) que:
La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
En este caso, la proporci n entre la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$) est representada por la deformación ($\epsilon$), que se puede definir de la siguiente manera:
En general, la deformación ($\epsilon$) se define como la variaci n de la elongación ($u$) en relaci n a el largo del cuerpo ($L$):
Este concepto puede generalizarse en el l mite microsc pico, donde se introduce la deformación en la coordenada $i$ ($\epsilon_i$) como la variación del desplazamiento en i ($\partial u_i$) sobre el largo de un elemento en i ($\partial x_i$) en la direcci n $i$, de la siguiente manera:
La raz n por la cual se utiliza una letra diferente para denotar el diferencial
$d \rightarrow \partial$
es que existen varios diferenciales que afectan diferentes variables en el modelo. El uso de la letra $\partial$ indica que se debe realizar una variaci n a la vez, es decir, cuando se considera una de las variables, las dem s se asumen con sus valores iniciales.
La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
De manera similar, al igual que se introduce la deformación ($\epsilon$) para evitar el uso de la dimensi n el largo del cuerpo ($L$), podemos construir un factor que exprese la fuerza elástica ($F_k$) en funci n de la sección del elemento ($S$) como la tensión ($\sigma$).
La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
Esta funci n puede ser reescrita utilizando las definiciones de la tensión ($\sigma$) y la deformación ($\epsilon$), lo que nos lleva a la versi n continua de la Ley de Hooke:
La ley de Hooke para ERROR:8845, ERROR:8843 y ERROR:8838 est expresada como:
Esta ley puede generalizarse para la tensión en el eje $i$ ($\sigma_i$) y la deformación en la coordenada $i$ ($\epsilon_i$) de la siguiente manera:
La masa total el volumen ($V$) del cuerpo se calcula utilizando la sección del elemento ($S$) y el largo del cuerpo ($L$):
Al igual que en un resorte, la deformaci n de un material requiere energ a. La energ a el trabajo ($W$) necesaria para comprimir o expandir el material se calcula como la integral de la fuerza elástica ($F_k$) a lo largo del camino $ds$ durante la deformaci n:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
En el caso de la Ley de Hooke continua, esto se reduce a:
Como la energía de deformación ($W$) est relacionado con el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$), se expresa como:
Usando la Ley de Hooke, podemos reemplazar la deformación ($\epsilon$) en funci n de la tensión ($\sigma$), lo que nos lleva a:
Para la energía de deformación ($W$) que est contenida en un volumen ($V$), podemos definir la densidad de energía de deformación ($w$) como:
La energía de deformación ($W$) en funci n de el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$) es igual a
As que si dividimos por el volumen ($V$), obtenemos la densidad de energía de deformación ($w$), que se define como
La deformaci n lateral es directamente proporcional a la deformaci n que la causa. El coeficiente de proporcionalidad se denota como el coeficiente de Poisson ($\nu$) [1] y generalmente cae en el rango de 0.15 a 0.4.
Si la deformaci n original es la deformación ($\epsilon$) y la generada es la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$), se establece la siguiente relaci n:
En la aproximaci n lineal, el coeficiente de Poisson representa la relaci n entre las deformaciones lateral y longitudinal.
donde el signo indica que la deformaci n es en direcci n opuesta a la que la causa.
[1] Este concepto fue introducido por Sim on Denis Poisson en un trabajo de an lisis estad stico en el que, entre otros temas no relacionados con la mec nica, menciona lo que posteriormente se denomin coeficiente de Poisson en un ejemplo de elasticidad. El trabajo se titula "Recherches sur la Probabilit des Jugements en Mati re Criminelle et en Mati re Civile" (Investigaciones sobre la Probabilidad de los Juicios en Materias Criminales y Civiles), escrito por Sim on Denis Poisson (1837).
ERROR:8844 as a function of ERROR:8843 and ERROR:8838 is equal to
This equation expresses ERROR:8844 without considering la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$), which is associated with ERROR:8838 through the Poisson's coefficient. ERROR:8844 can be expressed as a function of ERROR:8838 and la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$) using the following equation:
que se reduce a la expresion anterior para el caso de usar la relaci n del coeficiente de Poisson.
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