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Hookes Gesetz
Gleichung
Die Beziehung zwischen die Federkraft ($F_k$) und der Dehnung die Verlängerung ($u$) wird als Hooke'sches Gesetz ausgedrückt und bezeichnet. Die Konstante die Hookes Konstante ($k$) wird als die Federkonstante bezeichnet:
 $ F_k = k u $ |
ID:(3207, 0)
Zwei Federn in Reihe
Konzept
Wenn Sie das Verhalten eines Festkörpers unter Einwirkung einer Kraft modellieren möchten, können Sie zunächst das Verhalten einer Teileinheit in Betracht ziehen, wie zum Beispiel zwei hintereinander geschaltete Federn, wie in der Abbildung gezeigt:
Diese Art der Anordnung der Federn wird als in Serie bezeichnet. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass die Kraft die Mittlere Kraft ($\bar{F}$) in beiden Federn gleich ist und sie sich gemäß Die Hookes Konstante ($k$) verformen. Daher wird die äquivalente Federkonstante die Verlängerung ($u$) als Summe von die Federdehnung 1 ($u_1$) und die Federdehnung 2 ($u_2$) berechnet, die wiederum nach dem Hooke'schen Gesetz:
| $ F_k = k u $ |
gleich die Mittlere Kraft ($\bar{F}$) geteilt durch die Konstanten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) ist:
$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$
Daher kann das System aus zwei Federn als eine einzige Feder behandelt werden, deren äquivalente Federkonstante die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) wie folgt berechnet wird:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
ID:(1910, 0)
Summe der Federn in Serie
Gleichung
In dem Fall von zwei Widerständen mit den Werten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$), wenn sie parallel geschaltet sind, verhalten sie sich so, als ob es einen äquivalenten Widerstand die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) gäbe, der gemäß der folgenden Gleichung berechnet wird:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
Dieses Konzept kann für die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) wie folgt verallgemeinert werden:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
Wenn wir Kräfte die Mittlere Kraft ($\bar{F}$) an den Enden der Federn anwenden, werden die Federn sich um die Federdehnung i ($u_i$) bzw. Die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) verlängern (oder komprimieren). Wenn der Kontaktpunkt zwischen beiden Federn ruht, muss die Summe der auf ihn wirkenden Kräfte null ergeben, das heißt, sie müssen gleich die Mittlere Kraft ($\bar{F}$) sein. Daher muss für jede Feder $i$ gelten:
$F = k_iu_i$
Die Gesamtdehnung wird gleich der Summe der einzelnen Dehnungen sein:
$u = \displaystyle\sum_iu_i$
Und unter Verwendung des Hookschen Gesetzes wird dies ausgedrückt als:
$u = \displaystyle\sum_i\frac{F}{k_i}$
Wenn wir eine Gesamtkonstante für den Fall einer Reihenschaltung die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) einführen, sodass
$F = k_su$
Dann haben wir:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
ID:(3208, 0)
Federn in Reihe (2)
Gleichung
Wenn wir zwei Widerstände mit den Werten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) in Serie schalten, addieren sich die Dehnungen, wodurch jeder einzelne Widerstand basierend auf seinem Kehrwert wirkt. Auf diese Weise ist der Kehrwert von die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) gleich der Summe der Kehrwerte der individuellen Konstanten die Hook Konstant der Feder i ($k_i$):
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
Da jede Feder der gleichen angewandten Kraft die Mittlere Kraft ($\bar{F}$) ausgesetzt ist, werden die Federn mit den Konstanten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) sich jeweils um die Beträge die Federdehnung 1 ($u_1$) und die Federdehnung 2 ($u_2$) verformen, gemäß den folgenden Gleichungen:
$F = k_1u_1$
$F = k_2u_2$
Die Gesamtdehnung ergibt sich aus der Summe beider Dehnungen:
$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$
Daher verhält sich das System, als ob es eine Federkonstante hätte, die gleich ist:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
ID:(3753, 0)
Springs in Reihe (3)
Gleichung
$\displaystyle\frac{1}{k_s}=\displaystyle\frac{1}{k_1}+\displaystyle\frac{1}{k_2}+\displaystyle\frac{1}{k_3}$
ID:(3754, 0)
Zwei Federn im Parallel
Konzept
Wenn man modellieren möchte, wie sich ein Festkörper unter dem Einfluss einer Kraft verformt, kann man zunächst das Verhalten einer Teilkomponente betrachten, wie zum Beispiel zwei Federn, die nebeneinander verbunden sind, wie in der Abbildung gezeigt:
Diese Art der Anordnung der Federn wird als parallel bezeichnet. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass die Verlängerung ($u$) in beiden Federn gleich ist und jede Feder Mittlere Kraft ($\bar{F}$) gemäß Die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) nach dem Hooke'schen Gesetz beiträgt:
| $ F_k = k u $ |
Daraus folgt:
$F = F_1 + F_2 = k_1 u + k_2 u = (k_1 + k_2)u$
Daher kann das System aus zwei Federn als eine einzige Feder behandelt werden, deren äquivalente Federkonstante die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) wie folgt berechnet wird:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
ID:(1692, 0)
Summe mehrerer Federn parallel
Konzept
Im Fall von zwei Federn mit den Konstanten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$), die durch eine einzige Feder mit einer Konstanten die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) modelliert werden können, die mithilfe der folgenden Gleichung berechnet wird:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Für den allgemeineren Fall von Federn mit Konstanten Hook Konstant der Feder i ($k_i$) kann die Gleichung wie folgt verallgemeinert werden:
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
Dies ermöglicht es uns, eine Makrostruktur wie folgt zu modellieren:
ID:(1684, 0)
Summe der parallelen Federn
Gleichung
Für den Fall von zwei Widerständen mit den Werten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$), wenn sie parallel geschaltet sind, verhalten sie sich so, als gäbe es einen äquivalenten Widerstand die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$), der durch die folgende Gleichung gegeben ist:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Dieses Konzept kann für die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) verallgemeinert werden als:
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
Da jede Feder eine unterschiedliche Federkonstante haben kann, die durch die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) dargestellt wird, variiert auch die von jeder Feder beigesteuerte Kraft. Gemäß dem Hooke'schen Gesetz lassen sich die Kräfte $F_i$ wie folgt ausdrücken:
$F_i = k_i u$
Da die Gesamtkraft $F$ der Summe der einzelnen Kräfte entspricht, ergibt sich:
$F =\displaystyle\sum_i F_i = \displaystyle\sum_i k_i u$
Daher kann eine Gesamtfederkonstante definiert werden:
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
ID:(3756, 0)
Federn im Parallel (2)
Gleichung
Wenn Sie zwei Widerstände mit den Werten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) parallel schalten, addieren sich ihre Effekte, sodass sie sich wie ein äquivalenter Widerstand die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) verhalten, der gleich der Summe der individuellen Konstanten ist:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Da jede Feder der gleichen Verlängerung ($u$) ausgesetzt ist, werden die Kräfte unterschiedlich sein, wenn die Federkonstanten unterschiedlich sind. Daher, wenn die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) die Federkonstanten sind, werden die Kräfte wie folgt sein:
$F_1 = k_1 u$
$F_2 = k_2 u$
Als Ergebnis ergibt sich die Gesamtkraft:
$F = F_1 + F_2 = k_1u + k_2u = (k_1 + k_2)u$
Daher verhält sich das System, als ob es eine Federkonstante hätte, die gleich ist:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
ID:(3757, 0)
Anzahl von Federn parallel geschaltet
Gleichung
Um die makroskopische Äquivalente der mikroskopischen Federkonstanten zu berechnen, müssen alle Mikrofedern sowohl in Reihe als auch parallel addiert werden. Dafür muss man insbesondere die Anzahl der in Parallel geschalteten Federn kennen.
Die Anzahl der in Parallel geschalteten Federn kann mit Körper Sektion ($S$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) bestimmt werden. Der Anzahl der Federn in Parallel ($N_p$) wird durch die Division von Körper Sektion ($S$) durch die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) berechnet:
| $ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$ |
ID:(3760, 0)
Anzahl von Federn in Reihe geschaltet sind
Gleichung
Um die makroskopische Äquivalente der mikroskopischen Federkonstante zu berechnen, müssen alle Mikrofedern sowohl in Parallel- als auch in Reihenschaltung addiert werden. Dafür ist es erforderlich, insbesondere die Anzahl der in Serie geschalteten Federn zu kennen.
Wenn wir der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) schätzen möchten, genügt es, der Körperlänge ($L$) und Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) zu kennen. Der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) wird durch Division von der Körperlänge ($L$) durch Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) berechnet:
| $ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$ |
ID:(3761, 0)
Makroskopische Modellelement
Gleichung
Für eine Stange mit ($$) und Körper Sektion ($S$) können Sie der Anzahl der Federn in Parallel ($N_p$) und der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) mit Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) berechnen. Mit diesen Werten können Sie die Federkonstante für einen gesamten Abschnitt berechnen, indem Sie mit der Anzahl der Federn in Parallel ($N_p$) und die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$) multiplizieren. Auf diese Weise können Sie die Hookes Konstante ($k$) berechnen, indem Sie den erhaltenen Wert durch der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) teilen:
$k=\displaystyle\frac{k_p}{N_s}=\displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$
Wenn Sie die Ausdrücke für die Anzahl der Elemente mit Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) einführen, erhalten Sie den folgenden Ausdruck:
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
Wie die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) von die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) ist
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
ergibt sich, dass im Fall von die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$) gleich
$k_p = N_p k_m$
die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) in diesem Fall der Hook'sche Konstante eines monoatomaren Dickenabschnitts entspricht. Um die Konstante für den gesamten Körper zu erhalten, müssen alle Abschnitte in Serie summiert werden, und dafür verwenden wir die Beziehung für die Summe von die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$), wie sie in
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
gegeben ist.
Mit der Anzahl der Abschnitte, die gleich der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) sind, und wenn wir annehmen, dass sie alle gleich sind, erhalten wir
$\displaystyle\frac{1}{k} = N_s\displaystyle\frac{1}{N_p k_m}$
was bedeutet
$k = \displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$
Schließlich, mit den Beziehungen für der Körperlänge ($L$) und Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$)
| $ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$ |
und mit Körper Sektion ($S$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$)
| $ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$ |
erhalten wir schließlich
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
ID:(3205, 0)
Elastizitätsmodul
Gleichung
Der Ausdruck für die Hookes Konstante ($k$) gegeben durch
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
hat zwei makroskopische Parameter, nämlich der Körperlänge ($L$) und Körper Sektion ($S$). Die übrigen die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$), Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) sind mikroskopisch und hängen daher vom beschriebenen Material ab. Daher macht es Sinn, diese Faktoren als der Elastizitätsmodul ($E$) zu definieren, sodass:
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
ID:(3204, 0)
Hooke-Kraft eines Objekts
Gleichung
Da das Hookesche Gesetz die Federkraft ($F_k$) durch die Hookes Konstante ($k$) und die Verlängerung ($u$) auf folgende Weise in Beziehung setzt:
| $ F_k = k u $ |
kann man die Hookes Konstante ($k$) durch den mikroskopischen Ausdruck ersetzen und unter Verwendung der Definition von der Elastizitätsmodul ($E$) ergibt sich mit der Körperlänge ($L$) und Körper Sektion ($S$), dass:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Mit dem Hookeschen Gesetz für die Federkraft ($F_k$), die Hookes Konstante ($k$) und die Verlängerung ($u$) wie folgt:
| $ F_k = k u $ |
und dem Ausdruck für die Hookes Konstante ($k$) in Bezug auf der Körperlänge ($L$), Körper Sektion ($S$), Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$), die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) und die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$):
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
in Kombination mit dem Ausdruck für der Elastizitätsmodul ($E$):
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
ergibt sich:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(3209, 0)
Verformung
Gleichung
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion von der Elastizitätsmodul ($E$), Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
In diesem Fall wird das Verhältnis zwischen die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) durch die Verformung ($\epsilon$) dargestellt, das wie folgt definiert werden kann:
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
ID:(3762, 0)
Spannung
Gleichung
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion, die von der Elastizitätsmodul ($E$), Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) abhängt.
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Ebenso, genau wie die Verformung ($\epsilon$) eingeführt wird, um die Verwendung der Dimension der Körperlänge ($L$) zu vermeiden, können wir einen Faktor konstruieren, der die Federkraft ($F_k$) in Abhängigkeit von Körper Sektion ($S$) als die Spannung ($\sigma$) ausdrückt.
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$ |
ID:(3210, 0)
Hookesche Gesetz in richtungsabhängige Form
Gleichung
Das Hookesche Gesetz für Tensión ($\sigma$), Modulo de elasticidad ($E$) und Deformación ($\epsilon$) ist wie folgt ausgedrückt:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Dieses Gesetz kann für die Spannung auf der Achse $i$ ($\sigma_i$) und die Verformung in der Koordinaten $i$ ($\epsilon_i$) wie folgt verallgemeinert werden:
| $ \sigma_i = E \epsilon_i $ |
ID:(3764, 0)
Verformung Continuum
Gleichung
Im Allgemeinen wird die Verformung ($\epsilon$) als die Veränderung von die Verlängerung ($u$) im Verhältnis zu der Körperlänge ($L$) definiert:
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
Dieses Konzept kann im mikroskopischen Grenzwert verallgemeinert werden, indem die Verformung in der Koordinaten $i$ ($\epsilon_i$) als die Variation der Verschiebung in i ($\partial u_i$) über der Länge eines Elements in i ($\partial x_i$) in Richtung $i$ eingeführt wird, und es würde wie folgt ausgedrückt:
| $ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$ |
Der Grund für die Verwendung eines anderen Symbols, um das Differential auszudrücken
$d \rightarrow \partial$
ist, dass es verschiedene Differentiale gibt, die verschiedene Variablen im Modell beeinflussen. Die Verwendung des Symbols $\partial$ zeigt an, dass eine Variation nach der anderen durchgeführt werden sollte, was bedeutet, dass bei Betrachtung einer Variable die verbleibenden Variablen ihre Anfangswerte annehmen.
ID:(3763, 0)
Hooke Gesetz für den Scher Fall
Gleichung
Bei Scherung geht die Verformung nicht mit einer Dehnung oder Stauchung einher, sondern mit einem seitlichen Versatz der Würfelflächen. Die Scherung wird daher durch den Winkel
| $ \tau = G \gamma $ |
wobei
ID:(3771, 0)
Poissonzahl
Gleichung
Die seitliche Verformung steht direkt im Verhältnis zur Verformung, die sie verursacht. Der Proportionalitätskoeffizient wird als der Poisson Koeffizient ($\nu$) [1] bezeichnet und liegt normalerweise im Bereich von 0,15 bis 0,4.
Wenn die ursprüngliche Verformung die Verformung ($\epsilon$) beträgt und die erzeugte Verformung die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) ist, ergibt sich folgende Beziehung:
In der linearen Näherung repräsentiert der Poisson'sche Koeffizient das Verhältnis zwischen seitlichen und longitudinalen Verformungen.
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
wobei das Vorzeichen darauf hinweist, dass die Verformung in entgegengesetzter Richtung zur Ursache erfolgt.
[1] Dieses Konzept wurde von Siméon Denis Poisson in einer Arbeit zur statistischen Analyse eingeführt, in der er unter anderem Themen behandelt, die nichts mit Mechanik zu tun haben. Er erwähnt darin, was später als der Poisson'sche Koeffizient in einem Beispiel zur Elastizität bezeichnet wurde. Die Arbeit trägt den Titel "Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile" (Forschungen zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen), verfasst von Siméon Denis Poisson (1837).
ID:(3765, 0)
Oberflächen Trägheitsmoment
Gleichung
| $ I_s =\displaystyle\frac{ \pi }{2}( R_2 ^4- R_1 ^4)$ |
None
ID:(3774, 0)