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Aproximación de Tiempo de Relajación
Description

Variables
Symbol
Text
Variable
Value
Units
Calculate
MKS Value
MKS Units
$\beta$
beta
Beta
1/J
$f^{eq}_i$
feq_i
Componente $i$ de la distribución en equilibrio según BGK
-
$f_i$
f_i
Componente $i$ de la función distribución según BGK
-
$c(\vec{x},t)$
c
Concentración en el espacio
1/m^3
$\rho$
rho
Densidad en el espacio
kg/m^3
$\vec{e}_i$
&e_i
Dirección de la componente $i$ según BGK
-
$c$
c
Factor de normalización de BGK
-
$\omega_i$
omega_i
Factor de peso en la componente $i$ según BGK
-
$f$
f
Función distribución de la teoría de transporte
-
$f^{(0)}$
f^0
Función distribución en equilibrio
-
$\delta t$
dt
Incremento en el tiempo
s
$m$
m
Masa de la partícula
kg
$\vec{x}$
&x
Posición (vector)
m
$t$
t
Tiempo
s
$\tau$
tau
Tiempo de relajamiento
s
$\vec{v}$
&v
Velocidad de las partículas (vector)
m/s
$\vec{u}$
&u
Velocidad en el espacio
m/s
$\vec{u}$
&u
Velocidad media (vector)
m/s

Calculations

First, select the equation:   to ,  then, select the variable:   to 
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Equation
Solved
Translated

Calculations

Symbol
Equation
Solved
Translated

 Variable   Given   Calculate   Target :   Equation   To be used


Equations

Examples

En primera aproximaci n se puede suponer que la funci n distribuci n debe de asumir la forma de una distribuci n de Maxwell Boltzmann, es decir

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$

(ID 9082)

One way to solve Boltzmann's general equation is to linearize the equation by assuming that the collision term can be written as the difference between the distribution function and the equilibrium solution represented by the distribution function of Maxwell Boltzmann

$\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$

(ID 9083)

En la aproximaci n Bhatnagar-Gross-Krook la distribuci n en equilibrio se asume como la de un gas de part culas sin interacci n

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$



con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresi n en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$

con \omega_i los pesos dados por

Modelo$\omega_i$Index
1DQ3 ? i=0
- ? i=1, 2
2DQ9 4/9 i=0
- 1/9 i=1,...,4
- 1/36 i=5,...,8
3DQ15 1/3 i=0
- 1/18 i=1,...,6
- 1/36 i=7,...,14
3DQ19 ? i=0
- ? i=1,...,6
- ? i=7,...,18

que se determinan asegurando que la distribuci n equilibrio cumpla las leyes de conservaci n.

(ID 9084)

In the streaming process the particles are moved according to their velocity directions to neighboring cells

$f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)$

where \vec{x} is the position, t time, \vec{e} _i the direction of the grid and c the speed.

(ID 9150)

In the case of the discretization in the LBM models we work not with functions of the speed if not with discrete components. In this way the i component is defined by:

$f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$

where w_i is the relative weight.

(ID 8466)

ID:(1114, 0)