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Soluciones Aproximadas
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La complejidad de la ecuación de transporte radica en la consideración del termino de colisiones. Una de las aproximaciones es tomar la función de distribución y definir que el elemento de colisión es proporcional a la diferencia entre la función de distribución real y aquella en estacionaria.

>Modelo

ID:(1114, 0)


Soluciones Aproximadas
Descripción

La complejidad de la ecuación de transporte radica en la consideración del termino de colisiones. Una de las aproximaciones es tomar la función de distribución y definir que el elemento de colisión es proporcional a la diferencia entre la función de distribución real y aquella en estacionaria.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$\beta$
beta
Beta
1/J
$f^{eq}_i$
feq_i
Componente $i$ de la distribución en equilibrio según BGK
-
$f_i$
f_i
Componente $i$ de la función distribución según BGK
-
$c(\vec{x},t)$
c
Concentración en el espacio
1/m^3
$\rho$
rho
Densidad en el espacio
kg/m^3
$\vec{e}_i$
&e_i
Dirección de la componente $i$ según BGK
-
$c$
c
Factor de normalización de BGK
-
$\omega_i$
omega_i
Factor de peso en la componente $i$ según BGK
-
$f$
f
Función distribución de la teoría de transporte
-
$f^{(0)}$
f^0
Función distribución en equilibrio
-
$\delta t$
dt
Incremento en el tiempo
s
$m$
m
Masa de la partícula
kg
$\vec{x}$
&x
Posición (vector)
m
$t$
t
Tiempo
s
$\tau$
tau
Tiempo de relajamiento
s
$\vec{v}$
&v
Velocidad de las partículas (vector)
m/s
$\vec{u}$
&u
Velocidad en el espacio
m/s
$\vec{u}$
&u
Velocidad media (vector)
m/s

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

En primera aproximaci n se puede suponer que la funci n distribuci n debe de asumir la forma de una distribuci n de Maxwell Boltzmann, es decir

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$

(ID 9082)

Una forma de solucionar la ecuaci n general de Boltzmann es linearizar la ecuaci n suponiendo que el termino de colisi n se puede escribir como la diferencia entre la funci n distribuci n y la soluci n en equilibrio representada por la funci n distribuci n de Maxwell Boltzmann

$\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$

(ID 9083)

En la aproximaci n Bhatnagar-Gross-Krook la distribuci n en equilibrio se asume como la de un gas de part culas sin interacci n

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$



con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresi n en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$

con \omega_i los pesos dados por

Modelo$\omega_i$Index
1DQ3 ? i=0
- ? i=1, 2
2DQ9 4/9 i=0
- 1/9 i=1,...,4
- 1/36 i=5,...,8
3DQ15 1/3 i=0
- 1/18 i=1,...,6
- 1/36 i=7,...,14
3DQ19 ? i=0
- ? i=1,...,6
- ? i=7,...,18

que se determinan asegurando que la distribuci n equilibrio cumpla las leyes de conservaci n.

(ID 9084)

En el proceso de streaming se desplazan las part culas seg n sus direcciones de velocidades a las celdas vecinas

$f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)$

donde \vec{x} es la posici n, t el tiempo, \delta t el incremento en el tiempo, \vec{e}_i la direcci n de la grilla y c la velocidad.

(ID 9150)

En el caso de la discretizaci n en los modelos LBM se trabaja no con funciones de la velocidad si no que con componentes discretas. De esta forma se define la componente i mediante:

$f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$

en donde w_i es el peso relativo.

(ID 8466)

ID:(1114, 0)