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Modelo de Einstein
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ID:(1202, 0)
Modelamiento por Einstein
Ecuación
La integración de la función partición del modelo básico de un solido que es con
| $\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$ |
depende de la distribución de modos
Una aproximación relativamente simple es la de asumir que todos los osciladores tengan la misma frecuencia angular. Por ello con
| $ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
El modelo se debe a Einstein por lo que la frecuencia angular
ID:(9535, 0)
Condición de normalización
Ecuación
La distribución de modos
Por ello con se debe dar
| $ \displaystyle\int_0^{\infty} \sigma_E( \omega ) d \omega =3 N $ |
ID:(9536, 0)
Factor de distribución
Ecuación
Si se introduce con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ y numero de partículas $-$ en la condición
| $ \displaystyle\int_0^{\infty} \sigma_E( \omega ) d \omega =3 N $ |
la distribución con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$
| $ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
se obtiene con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ el factor de distribución
| $ \sigma_E = 3 N $ |
ID:(9537, 0)
La distribución de Einstein
Ecuación
La distribución con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$
| $ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
con densidad de modos del solido de Einstein $s$ y numero de partículas $-$ la condición
| $ \sigma_E = 3 N $ |
se obtiene la distribución de frecuencias angulares de Einstein con densidad de modos del solido de Einstein $s$ y numero de partículas $-$
| $ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
ID:(9538, 0)
Energía mínima en el modelo de Einstein
Ecuación
En el modelo de Einstein la energía mínima, que es con igual a
| $ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$ |
se reduce con la distribución de Einstein con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$
| $ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
a
| $ \eta = - 3V_0 -\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E$ |
ID:(13263, 0)
Logaritmo de la función partición en el modelo de Einstein
Ecuación
Con el logaritmo de la función partición es con
| $\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$ |
y la distribución de Einstein es con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$
| $ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
se obtiene la función partición con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$
| $ \ln Z = \beta N \eta -3 N \ln(1-e^{ -\beta \hbar \omega_E })$ |
ID:(9539, 0)
Temperatura de Einstein
Ecuación
Para simplificar el calculo se introduce la llamada temperatura de Einstein con
| $ \Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$ |
Los valores típicos de la temperatura de Einstein para distintos materiales se listan a continuación (valores calculados de los largos de onda de Einstein de su publicación)
| Elemento | $\lambda_E$ [$\mu$] | $\omega_E$ [$1/s$] | $\Theta_E$ [$K$] |
| $S,P$ | 42 | 4.49e+13 | 343.0 |
| $Fl$ | 33 | 5.71e+13 | 436.5 |
| $O$ | 21 | 8.98e+13 | 685.9 |
| $SiO_2$ | 20 | 9.42e+13 | 720.2 |
| $B$ | 15 | 1.26e+14 | 960.3 |
| $H$ | 13 | 1.45e+14 | 1108.0 |
| $C$ | 12 | 1.57e+14 | 1200.4 |
ID:(9543, 0)
Función partición en función de la temperatura de Einstein
Ecuación
La función partición con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$, logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$ y numero de partículas $-$
| $ \ln Z = \beta N \eta -3 N \ln(1-e^{ -\beta \hbar \omega_E })$ |
con
| $ \eta = - 3V_0 -\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E$ |
se puede reescribir con la temperatura de Einstein con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y temperatura de Einstein $K$
| $ \Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$ |
con la definición de la energía mínima con
como con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y temperatura de Einstein $K$
| $ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$ |
ID:(9551, 0)
Función partición a altas temperaturas ($\Theta_E\ll T$)
Ecuación
En el limite de altas temperaturas, la función partición con constante de Boltzmann $J/K$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$, temperatura $K$ y temperatura de Einstein $K$
| $ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$ |
se puede expandir en serie de Taylor de
| $ \ln Z =-\displaystyle\frac{ V_0 }{ k_B T }+\displaystyle\frac{3 N }{2}\left(\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }\right)^2-\displaystyle\frac{ N }{2}\left(\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }\right)^3+\ldots$ |
ID:(9552, 0)
Comparación entre modelos
Php
Si se consideran los modelos clásicos, de Einstein y de Debye para
- el logarimo de la función partición
- la energía interna
- el calor específico
- la entropia
se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:
ID:(9560, 0)
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Video: Modelo de Einstein