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Modelo Clásico del Solido
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Los modelos mas simples son aquellos que asumen que el solido se puede modelar como una colección de resortes que ligan los vecinos más próximos.
ID:(838, 0)
Modelo de Drude de un solido
Imagen
En 1904 Paul Drude propuso modelar un solido (cristal) como una grilla con átomos que interactuan de modo de formar pequeños osciladores.
Átomos ligados con conectores tipo resortes
ID:(9507, 0)
Partículas sin interacción
Ecuación
En general las partículas pueden interactuar lo que se refleja en en energías potenciales que dependen de dos o mas partículas, como por ejemplo
Un caso especial es cuando no existe esta interacción y la energía potencial solo depende de la posición de la partícula misma y no de otras vecinas. Con es
| $ V(q_i,q_j) = V(q_i) \delta_{ij} $ |
Una situación especial es cuando e modela la presencia de partículas vecinas vía un campo promedio. En este caso también se tiene un potencial que solo depende de la posición de la partícula aun que el potencial representa como todos los vecinos actual sobre la partícula.
ID:(9503, 0)
Potencial constante
Ecuación
Un caso especial de potencial es el caso de que este sea independiente tanto de momento como posición asumiendo un valor constante
| $ V = V_0 $ |
ID:(9502, 0)
Potencial de un resorte
Ecuación
Un potencial partícula es el de un resorte que depende de es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
El modelo se puede llevar a una de cristal con potenciales tipo resortes escalando la posición con la distancia entre los átomos del cristal
| $ V(q) = V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} V_a \left(\displaystyle\frac{ q }{ a }\right)^2$ |
ID:(9504, 0)
Frecuencia propia de los osciladores
Ecuación
Si el potencial se define con constante del resorte $N/m$, energía potencial entre partículas $J$, posición de la partícula $m$ y posición del origen de la partícula $m$ como
| $ V(q) = V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} V_a \left(\displaystyle\frac{ q }{ a }\right)^2$ |
tiene sentido definir la frecuencia angular
| $ \omega_s \equiv \sqrt{\displaystyle\frac{ V_a }{ m a ^2}}$ |
que corresponde a la frecuencia angular con que oscilaría en el limite clásico.
ID:(13654, 0)
Función partición en un sistema clásico
Ecuación
La función partición de un sistema clásico\\n\\n
$Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}N!}\int\prod_id^3p_i\prod_id^3q_ie^{-\beta E}$
la energía cinética se puede representar por la gausseana en el momento y la interacción por una función potencial
| $ Z_s =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N } N !}\int\prod_i d^3 p_i \prod_i d^3 q_i e^{- \beta \sum_i( p_i ^2/2 m +V(q_i)) }$ |
con
ID:(7984, 0)
Función partición en la aproximación de un potencial constante
Ecuación
Se puede suponer que la función partición general es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y posición de la partícula i $m$
| $ Z_s =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N } N !}\int\prod_i d^3 p_i \prod_i d^3 q_i e^{- \beta \sum_i( p_i ^2/2 m +V(q_i)) }$ |
\\n\\ncon
$V^N e^{-\beta V_0 N}$
\\n\\ny la integral sobre la gausseana del momento es\\n\\n
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dp,e^{-\beta p^2/2m}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}}$
y la función partición es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y posición de la partícula i $m$
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N } N !}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2} V ^ N e^{- N \beta V_0 }$ |
que corresponde a la de un gas ideal.
ID:(8023, 0)
Función partición en la aproximación harmonica
Ecuación
Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada partícula interactua con sus vecinos vía campo efectivo con lo que se describe como que fuera con energía potencial entre partículas $J$, posición de la partícula i $m$ y posición de la partícula j $m$
| $ V(q_i,q_j) = V(q_i) \delta_{ij} $ |
Se puede suponer que la función partición general es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y posición de la partícula i $m$
| $ Z_s =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N } N !}\int\prod_i d^3 p_i \prod_i d^3 q_i e^{- \beta \sum_i( p_i ^2/2 m +V(q_i)) }$ |
con
Podemos suponer que el potencial
| $ V(q) = V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} V_a \left(\displaystyle\frac{ q }{ a }\right)^2$ |
\\n\\nEntonces el integral en la posición
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dq,e^{- \beta V_a q ^2/2 a ^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{2 \pi a^2 }{ \beta V_a }}$
\\n\\ny la integral sobre la gausseanas del momento es\\n\\n
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dp,e^{-\beta p^2/2m}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}}$
Por ello la función partición de un solido clásico sería de la forma con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y posición de la partícula i $m$
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi }{\beta}\right)^{3 N }\left(\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }\right)^{3 N /2}e^{-3 N \beta V_0 }$ |
ID:(8024, 0)
Temperatura característica
Ecuación
Si se reordena la función partición con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y pi $rad$
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi }{\beta}\right)^{3 N }\left(\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }\right)^{3 N /2}e^{-3 N \beta V_0 }$ |
\\n\\nse puede reescribir como\\n\\n
$Z=\left(\displaystyle\frac{2\pi k_B T }{h}\sqrt{\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }}\right)^{3N}e^{-3 N \beta V_0 }$
con lo que tiene sentido definir una temperatura característica igual a con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y pi $rad$
| $ \Theta_s \equiv \displaystyle\frac{ \hbar }{ k_B }\sqrt{\displaystyle\frac{ V_a }{ m a ^2}}$ |
en que se empleo la definición de la constante de Planck
ID:(9556, 0)
Función partición del solido clásico en $T$
Ecuación
La función partición con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y pi $rad$ es
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{ h ^{3 N }}\left(\displaystyle\frac{2 \pi }{\beta}\right)^{3 N }\left(\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }\right)^{3 N /2}e^{-3 N \beta V_0 }$ |
por lo que con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, masa de la partícula $kg$, pi $rad$ y temperatura de referencia clásica $K$
| $ \Theta_s \equiv \displaystyle\frac{ \hbar }{ k_B }\sqrt{\displaystyle\frac{ V_a }{ m a ^2}}$ |
se obtiene que con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, masa de la partícula $kg$, pi $rad$ y temperatura de referencia clásica $K$ es
| $ Z_s = \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_s }\right)^{3 N } e^{-3 N V_0 / k_B T }$ |
ID:(9557, 0)
Logaritmo de la función partición en $T$
Ecuación
Como la función partición con
| $ Z_s = \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_s }\right)^{3 N } e^{-3 N V_0 / k_B T }$ |
el logaritmo de la función partición es
| $ \ln Z_s =- 3 N \ln\left(\displaystyle\frac{ \Theta_s }{ T }\right)-\displaystyle\frac{3 N V_0 }{ k_B T } $ |
ID:(9561, 0)
Función partición del solido clásico en $\beta$
Ecuación
Como la función partición con
| $ Z_s = \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_s }\right)^{3 N } e^{-3 N V_0 / k_B T }$ |
con la definición de
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
el logaritmo de la función partición es con
| $ Z_s = \displaystyle\frac{1}{( \beta k_B \Theta_s )^{3 N }} e^{-3 N \beta V_0 }$ |
ID:(13652, 0)
Logaritmo de la función partición en $\beta$
Ecuación
Como la función partición con
| $ \ln Z_s =- 3 N \ln\left(\displaystyle\frac{ \Theta_s }{ T }\right)-\displaystyle\frac{3 N V_0 }{ k_B T } $ |
el logaritmo de la función partición es
| $ \ln Z_s =- 3 N \ln( \beta k_B \Theta_s )- 3 N \beta V_0 $ |
ID:(13653, 0)
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Video
Video: Modelo clásico del solido