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Modelo Cuánticos del Sólidos

Storyboard

Una de las aplicaciones es el calculo de la función partición de un solido. Para ello se representa a través de una serie de osciladores armónicos mecánico cuánticos modelando en distintas formas los modos de oscilaciones de la estructura.

>Modelo

ID:(487, 0)

Modelo de solido

Definición

Un solido se puede describir como un sistema de partículas que forman una red y en que estas pueden oscilar en torno de un punto de equilibrio. La oscilación se asocia a la energía interna y con ello a la temperatura de este.

ID:(1579, 0)

Modelo Cuánticos del Sólidos

Descripción

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\beta$

beta

Beta

kg m/s

$\hbar$

hbar

Constante de Planck dividida por

$2\pi$

J s

$\sigma$

sigma

Densidad de modos del solido

$\epsilon_r$

epsilon_r

Energía del estado

$r$

$E_n$

E_n

Energía interna del solido mecánico cuántico

$V_0$

V_0

Energía macroscopica, deformación y constitución

$V_0$

V_0

Energía potencial de deformación macroscopica

$\omega_r$

omega_r

Frecuencia angular propia del oscilador armónico

rad/s

$Z$

Función partición del solido clásico

$Z$

Función partición del solido mecánico cuántico

$H$

Hamiltoneano del oscilador armónico

$\ln Z$

ln Z

Logaritmo de la función partición mecánico cuántico

$m$

Masa de la partícula

$n_r$

n_r

Numero cuántico del oscilador armónico

$N$

Numero de partículas

$q_r$

q_r

Posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio

$\dot{q}_r$

vq_r

Velocidad de la partícula r

m/s

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

eta =-(1/ N )*( V_0 +(1/2)*@SUM( hbar * omega_r , r , 1 , 3* N ))

(ID 3894)

$Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$

Z =@SUM( exp( beta * eta - beta *@SUM( hbar * omega_r , r , 0 , n_r )), n_1 ,n_2 , ..., 3* N )

(ID 3895)

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

ln Z=beta*N*eta-int_0^infty domega*ln(1-e^(-beta*hbar*omega))*sigma(omega)

(ID 3896)

$H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

H = V_0 +(1/2)* m *@SUM( vq_r ^2+ omega_r ^2 q_r ^2 , r , 1 , 3* N )

(ID 4800)

$\epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

epsilon_r =( n_r +1/2)* hbar * omega_r

(ID 4801)

$E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

E_n1n2n3N = V_0 +@SUM(( n_r +1/2)* hbar * omega_r , r , 0 , 3* N )

(ID 4802)

$Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

Z =exp( beta * eta * N )*@PROD(@SUM( exp(- beta * n_r * hbar * omega_r ), n_r , 0 , infty ), r , 0, 3 N )

(ID 9499)

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

Z=e^( beta * eta * N )*@PROD(1/(1-e^(- beta * hbar * omega_r )), r , 1 , 3* N )

(ID 9500)

$\ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

ln Z = beta * N * eta -@SUM( ln(1-exp(- beta * hbar *omega_r ), r , 1 , 3* N )

(ID 9501)

$\eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

eta = -( V_0 + @INT( hbar * omega * sigma , omega , 0 , infty )/2)/ N

(ID 9540)

Ejemplos

Modelo de solido

Un solido se puede describir como un sistema de part culas que forman una red y en que estas pueden oscilar en torno de un punto de equilibrio. La oscilaci n se asocia a la energ a interna y con ello a la temperatura de este.

(ID 1579)

Hamiltoniano del s lido

Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada part cula interactua con sus vecinos via campo efectivo con lo que se describe como que fuera y la energ a potencia se puede describir como la de un resorte.

En este caso el hamilitoneano de un solido se puede describir mediante con lo que:

$H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

(ID 4800)

Energ as de los estados

En mec nica cu ntica se puede resolver en forma anal tica el problema del hamiltoneano de un oscilador arm nico con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , hamiltoneano del oscilador armónico $J$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ , posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ y velocidad de la partícula r $m/s$

$H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

lo que resulta en los estado de energ a r con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , hamiltoneano del oscilador armónico $J$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ , posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ y velocidad de la partícula r $m/s$ es de la forma

$\epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

(ID 4801)

Energ a del solido

Como la energ a del estado r es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía del estado $r$ $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$\epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

se tiene que la energ a total es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía del estado $r$ $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

(ID 4802)

Energ a m nima a temperatura nula

El estado de m nima energ a con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido mecánico cuántico $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$ de

$E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

\\n\\nse obtiene si todos los osciladores est n en su estado fundamental, es decir\\n\\n

$n_r=0$

\\n\\ncon lo que la energ a se reduce a\\n\\n

$V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r =1}^{3 N }\hbar\omega_r$

por lo que se puede introducir una energ a base que puede contener la energ a de deformaci n el stica. Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido mecánico cuántico $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$

$\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

(ID 3894)

Funci n partici n en el caso de un solido

Con la funci n partici n con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$

y la energ a del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido mecánico cuántico $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$

$E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

se obtiene la funci n partici n del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido mecánico cuántico $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$

$Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$

en donde se uso la definici n de la energ a m nima

$\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

(ID 3895)

Reordenando los productos

La expresi n de la funci n partici n con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$

puede ser re-escrita con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$ como

$Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

(ID 9499)

Funci n partici n de un solido

En la expresi n con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

\\n\\ncada elemento del producto puede ser sumado ya que corresponde a una serie geom trica en un q=e^{-\beta\hbar\omega_r}:\\n\\n

$\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}q^{n_r}=\displaystyle\frac{1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta \hbar\omega_r}}$

por lo que el logaritmo de la funci n partici n es con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

(ID 9500)

Logaritmo de la funci n partici n de un solido

Si se toma el logaritmo de la funci n partici n de un solido con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido clásico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

se obtiene la expresi n con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido clásico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$

$\ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

(ID 9501)

Funci n partici n del solido con funci n de espectro

Si se introduce una funci n \sigma(\omega) tal que \sigma(\omega)d\omega indica el n mero de modos que existen entre las frecuencias \omega y \omega+d\omega se puede pasar la suma sobre los 3N estados a una integral\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$

con lo que el logaritmo de la funci n partici n con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ y numero de partículas $-$

$\ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

se estima con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ y numero de partículas $-$

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

(ID 3896)

Energ a m nima del solido con funci n de espectro

Con el paso discreto al continuo\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$

la energ a m nima del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero de partículas $-$

$\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

se estima con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero de partículas $-$

$\eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

(ID 9540)

ID:(487, 0)