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Ejemplo del Camino Aleatorio (Random Walk)
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El camino aleatorio es un típico ejemplo como partiendo de probabilidades microscópicas (el paso a la derecha o izquierda) se logra desarrollar una distribución de probabilidades que da cuenta de los lugares mas probables en que se puede encontrar al caminante.
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Problema del random walk (camino aleatorio)
Imagen
El problema del camino aleatorio es un ejemplo de como uno puede desde la descripción microscópica pronosticar la probable evolución temporal. En este caso se asume que un actor (partícula, persona, etc.) escoge al azar si va a dar un paso a la derecha o a la izquierda. Se asume que los pasos tienen un largo
ID:(11396, 0)
El tiempo transcurrido
Ecuación
El tiempo transcurrido es igual al numero de paso por el tiempo que demora un paso, con es:
| $ t = N \Delta t $ |
ID:(501, 0)
Modelando el Random Walk
Ecuación
En el modelar el camino aleatorio se deben considerar que se hace un cierto numero de pasos hacia la derecha y otro tanto hacia la izquierda ocurriendo esto en un tiempo que depende del numero de pasos y del tiempo que demora cada uno.
Dicho tiempo es por tanto, con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ y tiempo final $s$ igual a
| $ t = N \Delta t $ |
El camino recorrido correspondiente es entonces, con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ y tiempo final $s$ igual a
| $x=(n_1-n_2)a$ |
Nota: esta discretización no es una condición para modelar el caso ya que se pueden introducir distribuciones de probabilidades de que el paso ocurra en un tiempo
ID:(503, 0)
Probabilidad de un desplazamiento
Ecuación
El desplazamiento ocurrirá con ciertas probabilidades en dirección de la derecha e izquierda. Si esta fuera igual tenderían a ocurrir la misma cantidad de pasos hacia la derecha como la izquierda con lo que la posición final terminaría siendo próxima al origen. Si una de ambas probabilidades es mucho mayor tendera a favorecerse uno de ambos pasos y se tendería a terminar desplazado en la dirección mas favorable.
Si los pasos son independientes el uno del otro la probabilidad de una cierta secuencia solo dependerá la la multiplicación de las probabilidades de los pasos individuales.Por ello con se tiene que la probabilidad de una secuencia especifica de pasos es:
| $p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$ |
ID:(504, 0)
Total de pasos
Ecuación
El numero total de pasos es igual a la suma de los pasos hacia la derecha y aquellos hacia la izquierda, por lo que con
ID:(3358, 0)
Caminos posibles
Ecuación
Hasta aquí se consideraron secuencias especificas de pasos dados hacia la derecha y la izquierda sin embargo existen una serie de alternativas con que se puede realizar la caminata todas terminando en el mismo punto.
Por ello se debe calcula el numero de combinaciones posibles lo que con esta dado por
| $C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$ |
ID:(505, 0)
Probabilidad de dar un numero de pasos a la derecha y a la izquierda (1)
Ecuación
Con la probabilidad de una secuencia en particular y el numero de secuencias posibles se puede calcular con el producto la probabilidad de cualquier secuencia que termina considera el mismo numero de pasos hacia la derecha como hacia la izquierda.
Por ello con se tiene que
| $W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$ |
ID:(8980, 0)
Probabilidad de dar un numero de pasos a la derecha y a la izquierda (2)
Ecuación
Como la probabilidad de realizar un numero de pasos hacia la derecha y otro hacia la izquierda en cualquier secuencia posible es con combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos $-$, probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos cualquier secuencia $-$ y probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos en secuencia $-$ igual a
| $W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$ |
se tiene que con combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ y número total de pasos $-$ el numero de combinaciones es
| $C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$ |
y con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2) $-$, probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la probabilidad de dar en una secuencia específica
| $p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$ |
que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2) $-$, probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la probabilidad es
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
ID:(8970, 0)
Suma de probabilidades
Ecuación
Si el desplazamiento solo es hacia la derecha o la izquierda y no existe otra alternativa de no realizar el paso, la suma de las probabilidades de dar pasos a hacia la derecha e izquierda debe ser igual a la unidad.
Por ello con se tiene que
| $p+q=1$ |
ID:(8965, 0)
Distribución binomial
Ecuación
Con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, número total de pasos $-$, probabilidad de pasos hacia la derecha $-$, probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ y probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos en secuencia $-$ la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ y número total de pasos $-$ el número total de pasos es
| $N=n_1+n_2$ |
y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ se tiene para las probabilidades que
| $p+q=1$ |
por lo que con probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ se tiene la distribución binomial
| $ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$ |
ID:(8961, 0)
Distribución binomial
Imagen
El resultado del calculo corresponde a lo que se denomina una distribución binomial. Cada linea indica la fracción de veces que tras un numero
ID:(11397, 0)
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