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Ejemplo del Camino Aleatorio (Random Walk)

Storyboard

El camino aleatorio es un típico ejemplo como partiendo de probabilidades microscópicas (el paso a la derecha o izquierda) se logra desarrollar una distribución de probabilidades que da cuenta de los lugares mas probables en que se puede encontrar al caminante.

>Modelo

ID:(308, 0)

Problema del random walk (camino aleatorio)

Definición

El problema del camino aleatorio es un ejemplo de como uno puede desde la descripción microscópica pronosticar la probable evolución temporal. En este caso se asume que un actor (partícula, persona, etc.) escoge al azar si va a dar un paso a la derecha o a la izquierda. Se asume que los pasos tienen un largo a y que la probabilidad de ir a la derecha es p y a la izquierda q:

ID:(11396, 0)

Distribución binomial

Imagen

El resultado del calculo corresponde a lo que se denomina una distribución binomial. Cada linea indica la fracción de veces que tras un numero N de pasos el actor termine en dicha posición. Esto corresponde a la probabilidad de encontrarlo tras N pasos en esa ubicación:

ID:(11397, 0)

Ejemplo del Camino Aleatorio (Random Walk)

Descripción

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$C_{n_1n_2}$

C_n1n2

Combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos

$a$

Largo del paso

$n_1$

n_1

Número de pasos hacia la derecha

$n_2$

n_2

Número de pasos hacia la izquierda

$N$

Número total de pasos

$n$

Número totales de pasos a la derecha

$s$

Posición camino aleatorio

$p_{n_1n_2}$

p_n1n2

Probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2)

$P_N(m)$

P_Nm

Probabilidad de hacer un numero de pasos hacia la derecha

$p$

Probabilidad de pasos hacia la derecha

$q$

Probabilidad de pasos hacia la izquierda

$W_N(n_1,n_2)$

W_n1n2

Probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos cualquier secuencia

$p_{n_1,n_2}$

p_n1n2

Probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos en secuencia

$\Delta t$

Tiempo del paso

$t$

Tiempo final

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$t = N \Delta t$

t = N * Dt

(ID 501)

$x=(n_1-n_2)a$

x=(n_2-n_1)a

(ID 503)

$p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$

p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}

(ID 504)

$C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$

C_n1n2=N!/(n_1!n_2!)

(ID 505)

$N=n_1+n_2$

N = n_1 + n_2

(ID 3358)

$W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

W_N(n) =math.factorial( N )* p ^ n *(1- p )^( N - n )/(math.factorial( n )*math.factorial( N - n ))

(ID 8961)

$p+q=1$

p+q=1

(ID 8965)

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$

W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}

(ID 8970)

$W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$

W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}

(ID 8980)

Ejemplos

Problema del random walk (camino aleatorio)

El problema del camino aleatorio es un ejemplo de como uno puede desde la descripci n microsc pica pronosticar la probable evoluci n temporal. En este caso se asume que un actor (part cula, persona, etc.) escoge al azar si va a dar un paso a la derecha o a la izquierda. Se asume que los pasos tienen un largo a y que la probabilidad de ir a la derecha es p y a la izquierda q:

(ID 11396)

El tiempo transcurrido

El tiempo transcurrido es igual al numero de paso por el tiempo que demora un paso, con es:

$t = N \Delta t$

(ID 501)

Modelando el Random Walk

En el modelar el camino aleatorio se deben considerar que se hace un cierto numero de pasos hacia la derecha y otro tanto hacia la izquierda ocurriendo esto en un tiempo que depende del numero de pasos y del tiempo que demora cada uno.

Dicho tiempo es por tanto, con número total de pasos $-$ , tiempo del paso $s$ y tiempo final $s$ igual a

$t = N \Delta t$

El camino recorrido correspondiente es entonces, con número total de pasos $-$ , tiempo del paso $s$ y tiempo final $s$ igual a

$x=(n_1-n_2)a$

Nota: esta discretizaci n no es una condici n para modelar el caso ya que se pueden introducir distribuciones de probabilidades de que el paso ocurra en un tiempo t como el largo del paso se puede asociar a una distribuci n de largos de pasos.

(ID 503)

Probabilidad de un desplazamiento

El desplazamiento ocurrir con ciertas probabilidades en direcci n de la derecha e izquierda. Si esta fuera igual tender an a ocurrir la misma cantidad de pasos hacia la derecha como la izquierda con lo que la posici n final terminar a siendo pr xima al origen. Si una de ambas probabilidades es mucho mayor tendera a favorecerse uno de ambos pasos y se tender a a terminar desplazado en la direcci n mas favorable.

Si los pasos son independientes el uno del otro la probabilidad de una cierta secuencia solo depender la la multiplicaci n de las probabilidades de los pasos individuales.Por ello con se tiene que la probabilidad de una secuencia especifica de pasos es:

$p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$

(ID 504)

Total de pasos

El numero total de pasos es igual a la suma de los pasos hacia la derecha y aquellos hacia la izquierda, por lo que con

(ID 3358)

Caminos posibles

Hasta aqu se consideraron secuencias especificas de pasos dados hacia la derecha y la izquierda sin embargo existen una serie de alternativas con que se puede realizar la caminata todas terminando en el mismo punto.

Por ello se debe calcula el numero de combinaciones posibles lo que con esta dado por

$C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$

(ID 505)

Probabilidad de dar un numero de pasos a la derecha y a la izquierda (1)

Con la probabilidad de una secuencia en particular y el numero de secuencias posibles se puede calcular con el producto la probabilidad de cualquier secuencia que termina considera el mismo numero de pasos hacia la derecha como hacia la izquierda.

Por ello con se tiene que

$W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$

(ID 8980)

Probabilidad de dar un numero de pasos a la derecha y a la izquierda (2)

Como la probabilidad de realizar un numero de pasos hacia la derecha y otro hacia la izquierda en cualquier secuencia posible es con combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos $-$ , probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos cualquier secuencia $-$ y probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos en secuencia $-$ igual a

$W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$

se tiene que con combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos $-$ , número de pasos hacia la derecha $-$ , número de pasos hacia la izquierda $-$ y número total de pasos $-$ el numero de combinaciones es

$C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$

y con número de pasos hacia la derecha $-$ , número de pasos hacia la izquierda $-$ , probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2) $-$ , probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la probabilidad de dar en una secuencia espec fica

$p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$

que con número de pasos hacia la derecha $-$ , número de pasos hacia la izquierda $-$ , probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2) $-$ , probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la probabilidad es

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$

(ID 8970)

Suma de probabilidades

Si el desplazamiento solo es hacia la derecha o la izquierda y no existe otra alternativa de no realizar el paso, la suma de las probabilidades de dar pasos a hacia la derecha e izquierda debe ser igual a la unidad.

Por ello con se tiene que

$p+q=1$

(ID 8965)

Distribuci n binomial

Con número de pasos hacia la derecha $-$ , número de pasos hacia la izquierda $-$ , número total de pasos $-$ , probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ , probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ y probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos en secuencia $-$ la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$

con número de pasos hacia la derecha $-$ , número de pasos hacia la izquierda $-$ y número total de pasos $-$ el n mero total de pasos es

$N=n_1+n_2$

y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$

por lo que con probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ se tiene la distribuci n binomial

$W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

(ID 8961)

Distribuci n binomial

El resultado del calculo corresponde a lo que se denomina una distribuci n binomial. Cada linea indica la fracci n de veces que tras un numero N de pasos el actor termine en dicha posici n. Esto corresponde a la probabilidad de encontrarlo tras N pasos en esa ubicaci n:

(ID 11397)

ID:(308, 0)