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Beispiel für den Zufallspfad (Rando Walk)
Storyboard
Der zufällige Pfad ist ein typisches Beispiel, da ausgehend von mikroskopischen Wahrscheinlichkeiten (Schritt nach rechts oder links) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung entwickelt werden kann, die die wahrscheinlichsten Stellen berücksichtigt, an denen sich der Wanderer befindet.
ID:(308, 0)
Random Walk Problem
Bild
Das Problem des zufälligen Pfades ist ein Beispiel dafür, wie man aus der mikroskopischen Beschreibung die wahrscheinliche zeitliche Entwicklung vorhersagen kann. In diesem Fall wird angenommen, dass ein Akteur (Partikel, Person usw.) zufällig auswählt, ob er einen Schritt nach rechts oder nach links macht. Es wird angenommen, dass die Schritte eine Länge
ID:(11396, 0)
Verstrichene Zeit
Gleichung
El tiempo transcurrido es igual al numero de paso por el tiempo que demora un paso, con es:
| $ t = N \Delta t $ |
ID:(501, 0)
Modellierung der Szene der Random Walk
Gleichung
En el modelar el camino aleatorio se deben considerar que se hace un cierto numero de pasos hacia la derecha y otro tanto hacia la izquierda ocurriendo esto en un tiempo que depende del numero de pasos y del tiempo que demora cada uno.
Dicho tiempo es por tanto, con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ und tiempo final $s$ igual a
| $ t = N \Delta t $ |
El camino recorrido correspondiente es entonces, con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ und tiempo final $s$ igual a
| $x=(n_1-n_2)a$ |
Nota: esta discretización no es una condición para modelar el caso ya que se pueden introducir distribuciones de probabilidades de que el paso ocurra en un tiempo
ID:(503, 0)
Chance auf eine Verschiebung
Gleichung
El desplazamiento ocurrirá con ciertas probabilidades en dirección de la derecha e izquierda. Si esta fuera igual tenderían a ocurrir la misma cantidad de pasos hacia la derecha como la izquierda con lo que la posición final terminaría siendo próxima al origen. Si una de ambas probabilidades es mucho mayor tendera a favorecerse uno de ambos pasos y se tendería a terminar desplazado en la dirección mas favorable.
Si los pasos son independientes el uno del otro la probabilidad de una cierta secuencia solo dependerá la la multiplicación de las probabilidades de los pasos individuales.Por ello con se tiene que la probabilidad de una secuencia especifica de pasos es:
| $p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$ |
ID:(504, 0)
Gesamt Schritte
Gleichung
El numero total de pasos es igual a la suma de los pasos hacia la derecha y aquellos hacia la izquierda, por lo que con
ID:(3358, 0)
Mögliche Ansätze
Gleichung
Hasta aquí se consideraron secuencias especificas de pasos dados hacia la derecha y la izquierda sin embargo existen una serie de alternativas con que se puede realizar la caminata todas terminando en el mismo punto.
Por ello se debe calcula el numero de combinaciones posibles lo que con esta dado por
| $C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$ |
ID:(505, 0)
Probabilidad de dar un numero de pasos a la derecha y a la izquierda (1)
Gleichung
Con la probabilidad de una secuencia en particular y el numero de secuencias posibles se puede calcular con el producto la probabilidad de cualquier secuencia que termina considera el mismo numero de pasos hacia la derecha como hacia la izquierda.
Por ello con se tiene que
| $W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$ |
ID:(8980, 0)
Probabilidad de dar un numero de pasos a la derecha y a la izquierda (2)
Gleichung
Como la probabilidad de realizar un numero de pasos hacia la derecha y otro hacia la izquierda en cualquier secuencia posible es con combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos $-$, probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos $-$ und probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos cualquier secuencia $-$ igual a
| $W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$ |
se tiene que con combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ und número total de pasos $-$ el numero de combinaciones es
| $C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$ |
y con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2) $-$ und probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la probabilidad de dar en una secuencia específica
| $p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$ |
que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2) $-$ und probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la probabilidad es
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
ID:(8970, 0)
Summe der Wahrscheinlichkeiten
Gleichung
Si el desplazamiento solo es hacia la derecha o la izquierda y no existe otra alternativa de no realizar el paso, la suma de las probabilidades de dar pasos a hacia la derecha e izquierda debe ser igual a la unidad.
Por ello con se tiene que
| $p+q=1$ |
ID:(8965, 0)
Distribución binomial
Gleichung
Con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, número total de pasos $-$, probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ und probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos $-$ la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ und número total de pasos $-$ el número total de pasos es
| $N=n_1+n_2$ |
y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con número de pasos hacia la derecha $-$ und probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ se tiene para las probabilidades que
| $p+q=1$ |
por lo que con número de pasos hacia la derecha $-$ und probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ se tiene la distribución binomial
| $ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$ |
ID:(8961, 0)
Binomialverteilung
Bild
Das Ergebnis der Berechnung entspricht einer sogenannten Binomialverteilung. Jede Zeile gibt an, wie oft der Akteur nach einer Anzahl von
ID:(11397, 0)
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Video
Video: Beispiel für den Zufallspfad