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Modelo de Debye

Descripción

El modelo de Debye considera que en el solido se pueden propagar ondas de sonido con velocidades longitudinales y transversales. De dichas relaciones se estima la densidad de modos permitiendo el calculo explicito de la función partición.

>Modelo

ID:(526, 0)



Modelo de Debye

Descripción

El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador armónico mecánico cuántico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas L tendremos que las funciones de onda serán en cada dimensión del tipo\\n\\n

\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}

donde \vec{k}_n es el n-esimo vector de onda (la componente correspondiente).

ID:(1394, 0)



Modelo de Debye

Descripción

El modelo de Debye considera que en el solido se pueden propagar ondas de sonido con velocidades longitudinales y transversales. De dichas relaciones se estima la densidad de modos permitiendo el calculo explicito de la función partición.

Variables

Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
\beta
beta
Beta
kg m/s
C_V
C_V
Capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye
J/K
k_B
k_B
Constante de Boltzmann
J/K
\hbar
hbar
Constante de Planck dividida por 2\pi
J s
\sigma_D
sigma_D
Densidad de modos del solido de Debye
s
U
U
Energía interna del solido de Debye
J
V_0
V_0
Energía macroscopica, deformación y constitución
J
\omega
omega
Frecuencia angular
rad/s
\omega_D
omega_D
Frecuencia angular de corte de Debye
1/s
\ln Z
ln Z
Logaritmo de la función partición del solido de Debye
-
N
N
Numero de partículas
-
T
T
Temperatura
K
\Theta_D
Theta_D
Temperatura de Debye
K
c_s
c_s
Velocidad del sonido efectiva
m/s
V
V
Volumen del cuerpo
m^3

Cálculos


Primero, seleccione la ecuación: a , luego, seleccione la variable: a

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Variable Dado Calcule Objetivo : Ecuación A utilizar



Ecuaciones


Ejemplos

El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador arm nico mec nico cu ntico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas L tendremos que las funciones de onda ser n en cada dimensi n del tipo\\n\\n

\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}

donde \vec{k}_n es el n-esimo vector de onda (la componente correspondiente).

La distribuci n de modos corresponde al n mero de modos que esta definido por los correspondientes vectores de onda \vec{k}=(k_1,k_2,k_3) con cada componente igual a\\n\\n

k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L} n_i,,,,, n_i=1,2,3,\ldots

\\n\\ndonde L es el largo de uno de los lado del solido en la direcci n i. Para obtener la distribuci n se debe sumar sobre todos los modos n_i o pasar al limite continuo e integrar sobre los vectores de onda k_i\\n\\n

\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \rightarrow \displaystyle\frac{L^3}{(2\pi)^3}\displaystyle\int d^3k



Si se asume simetr a esf rica se puede pasar a coordenadas esf ricas con lo que la expresi n queda

equation

donde se empleo el hecho que L^3 corresponde al volumen.

En un solido existen tanto el modo longitudinal, que viaja con una velocidad c_l como dos modos transversales con velocidad c_t.\\n\\nEn el limite lineal las frecuencias angulares son iguales a\\n\\n

\omega=c_l\mid\vec{k}_l\mid

\\n\\n

\omega=c_t\mid\vec{k}_t\mid

\\n\\ncon \vec{k}_l y \vec{k}_t los vectores de onda longitudinales y transversales. Para simplificar se puede introducir una velocidad del sonido c_s mediante\\n\\n

\displaystyle\frac{3}{c_s}=\displaystyle\frac{1}{c_l}+\displaystyle\frac{2}{c_t}



con la relaci n

equation

Como la distribuci n de modos se puede estimar con la suma sobre estos con

equation=13261

se tiene con

equation=13260



y el hecho que existen 3 modos distintos que con list

equation

Como la suma de los modos tiene que ser igual a 3N el espectro tiene que estar acotado tal que \\n\\n

\displaystyle\int_0^{\omega_D}\sigma_D(\omega)d\omega=3\displaystyle\frac{V}{2\pi^3c_s^3}\int_0^{\omega_D}\omega^2d\omega=3N



donde \omega_D se define como la frecuencia de Debye y su valor es con list

equation

que corresponde al espectro.

Como la suma distribuci n de Debye es con list=3900

equation=3900



y la frecuencia de Debye con list=3901

equation=3901



se puede reescribir la primera como con list

equation

La funci n partici n general para un sistema de osciladores arm nicos es con list=3896 igual a

equation=3896



que con la distribuci n de velocidades angulares seg n el modelo de Debye con list=9563

equation=9563



es igual con list a

equation

La energ a m nima es

equation=9540

por lo que con la densidad de modos

equation=9563

es

equation

Con la frecuencia angular de Debye

equation=3901

se puede definir una temperatura de Debye de la forma

equation

Con la funci n partici n de Debye

equation=9562

la energ a m nima

equation=13401

y la temperatura de Debye

equation=13402

se puede escribir la funci n partici n como

equation

Con el logaritmo de la funci n partici n es con list=9562

equation=9562



se puede calcular la energ a media mediante con list=3528

equation=3528



con lo que se obtiene con list

equation

La capacidad cal rica se puede calcular de la energ a media con list=3603 mediante

equation=3603



por lo que con la energ a interna con list=3897

equation=3897



y la definici n con list=3437

equation=3437



se obtiene con list

equation

En el caso de que la temperatura es alta el factor \beta tiende a cero y el factor\\n\\n

\displaystyle\frac{\hbar\omega}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}(\beta\hbar\omega)^2\rightarrow 1

\\n\\ncon lo que la capacidad cal rica se reduce a\\n\\n

C_V\rightarrow k\displaystyle\int_0^{\infty}\sigma(\omega)d\omega



pero la suma de todos los modos debe ser igual a 3N por lo que la capacidad cal rica se reduce con list a

equation

que corresponde a la ley de Dulong y Petit.

Cuando la temperatura es baja T\ll\Theta_D y se puede tomar el l mite y\rightarrow \infty que significa que el limite superior de la integral es infinita\\n\\n

f_D(y)\rightarrow\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx

\\n\\nLa integral es un valor num rico\\n\\n

\displaystyle\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}

\\n\\ncon lo que la funci n de Debye es aproximadamente\\n\\n

f_D(y)=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}\displaystyle\frac{1}{y^3}



y la capacidad cal rica resulta con list

equation

que corresponde al espectro.

En el caso del modelo de Debye la capacidad cal rica es con list=3898

equation=3898



se calcula integrando con la densidad espectral cuadr tica solo hasta la frecuencia de Debye con list=3901

equation=3901



con lo que se obtiene con list

equation

que corresponde al espectro.

Como la capacidad cal rica es con list=3902 igual a

equation=3902\\n\\ncon la funci n de Debye\\n\\n

f_D(y)=\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^y\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx



la expresi n se reduce con list a

equation

que corresponde al espectro.

Si se consideran los modelos cl sicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la funci n partici n
- la energ a interna
- el calor espec fico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

php

>Modelo

ID:(526, 0)