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Modelo Cuánticos del Sólidos

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Una de las aplicaciones es el calculo de la función partición de un solido. Para ello se representa a través de una serie de osciladores armónicos mecánico cuánticos modelando en distintas formas los modos de oscilaciones de la estructura.

>Modelo

ID:(487, 0)

Modelo de solido

Definición

Un solido se puede describir como un sistema de partículas que forman una red y en que estas pueden oscilar en torno de un punto de equilibrio. La oscilación se asocia a la energía interna y con ello a la temperatura de este.

ID:(1579, 0)

Modelo Cuánticos del Sólidos

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Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\beta$

beta

Beta

kg m/s

$\hbar$

hbar

Constante de Planck dividida por

$2\pi$

J s

$\sigma$

sigma

Densidad de modos del solido

$\epsilon_r$

epsilon_r

Energía del estado

$r$

$E_n$

E_n

Energía interna del solido mecánico cuántico

$V_0$

V_0

Energía macroscopica, deformación y constitución

$V_0$

V_0

Energía potencial de deformación macroscopica

$\omega_r$

omega_r

Frecuencia angular propia del oscilador armónico

rad/s

$Z$

Función partición del solido clásico

$Z$

Función partición del solido mecánico cuántico

$H$

Hamiltoneano del oscilador armónico

$\ln Z$

ln Z

Logaritmo de la función partición mecánico cuántico

$m$

Masa de la partícula

$n_r$

n_r

Numero cuántico del oscilador armónico

$N$

Numero de partículas

$q_r$

q_r

Posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio

$\dot{q}_r$

vq_r

Velocidad de la partícula r

m/s

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

eta =-(1/ N )*( V_0 +(1/2)*@SUM( hbar * omega_r , r , 1 , 3* N ))

$Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$

Z =@SUM( exp( beta * eta - beta *@SUM( hbar * omega_r , r , 0 , n_r )), n_1 ,n_2 , ..., 3* N )

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

ln Z=beta*N*eta-int_0^infty domega*ln(1-e^(-beta*hbar*omega))*sigma(omega)

$H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

H = V_0 +(1/2)* m *@SUM( vq_r ^2+ omega_r ^2 q_r ^2 , r , 1 , 3* N )

$\epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

epsilon_r =( n_r +1/2)* hbar * omega_r

$E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

E_n1n2n3N = V_0 +@SUM(( n_r +1/2)* hbar * omega_r , r , 0 , 3* N )

$Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

Z =exp( beta * eta * N )*@PROD(@SUM( exp(- beta * n_r * hbar * omega_r ), n_r , 0 , infty ), r , 0, 3 N )

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

Z=e^( beta * eta * N )*@PROD(1/(1-e^(- beta * hbar * omega_r )), r , 1 , 3* N )

$\ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

ln Z = beta * N * eta -@SUM( ln(1-exp(- beta * hbar *omega_r ), r , 1 , 3* N )

$\eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

eta = -( V_0 + @INT( hbar * omega * sigma , omega , 0 , infty )/2)/ N

Ejemplos

Modelo de solido

Un solido se puede describir como un sistema de part culas que forman una red y en que estas pueden oscilar en torno de un punto de equilibrio. La oscilaci n se asocia a la energ a interna y con ello a la temperatura de este.

Hamiltoniano del s lido

Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada part cula interactua con sus vecinos via campo efectivo con lo que se describe como que fuera y la energ a potencia se puede describir como la de un resorte.

En este caso el hamilitoneano de un solido se puede describir mediante list con lo que:

equation

Energ as de los estados

En mec nica cu ntica se puede resolver en forma anal tica el problema del hamiltoneano de un oscilador arm nico con list=4800

equation=4800

lo que resulta en los estado de energ a r con list es de la forma

equation

Energ a del solido

Como la energ a del estado r es con list=4801

equation=4801

se tiene que la energ a total es con list

equation

Energ a m nima a temperatura nula

El estado de m nima energ a con list=4802 de

equation=4802\\n\\nse obtiene si todos los osciladores est n en su estado fundamental, es decir\\n\\n

$n_r=0$

\\n\\ncon lo que la energ a se reduce a\\n\\n

$V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r =1}^{3 N }\hbar\omega_r$

por lo que se puede introducir una energ a base que puede contener la energ a de deformaci n el stica. Con list

equation

Funci n partici n en el caso de un solido

Con la funci n partici n con list=3527

equation=3527

y la energ a del solido con list=4802

equation=4802

se obtiene la funci n partici n del solido con list

equation

en donde se uso la definici n de la energ a m nima

equation=3894

Reordenando los productos

La expresi n de la funci n partici n con list=3895

equation=3895

puede ser re-escrita con list como

equation

Funci n partici n de un solido

En la expresi n con list=9499

equation=9499\\n\\ncada elemento del producto puede ser sumado ya que corresponde a una serie geom trica en un q=e^{-\beta\hbar\omega_r}:\\n\\n

$\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}q^{n_r}=\displaystyle\frac{1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta \hbar\omega_r}}$

por lo que el logaritmo de la funci n partici n es con list

equation

Logaritmo de la funci n partici n de un solido

Si se toma el logaritmo de la funci n partici n de un solido con list=9500

equation=9500

se obtiene la expresi n con list

equation

Funci n partici n del solido con funci n de espectro

Si se introduce una funci n \sigma(\omega) tal que \sigma(\omega)d\omega indica el n mero de modos que existen entre las frecuencias \omega y \omega+d\omega se puede pasar la suma sobre los 3N estados a una integral\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$

con lo que el logaritmo de la funci n partici n con list=9501

equation=9501

se estima con list

equation

Energ a m nima del solido con funci n de espectro

Con el paso discreto al continuo\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$

la energ a m nima del solido con list=3894

equation=3894

se estima con list

equation

>Modelo

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