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Los modelos mas simples son aquellos que asumen que el solido se puede modelar como una colección de resortes que ligan los vecinos más próximos.

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ID:(838, 0)

Imagen

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En 1904 Paul Drude propuso modelar un solido (cristal) como una grilla con átomos que interactuan de modo de formar pequeños osciladores.

Átomos ligados con conectores tipo resortes

ID:(9507, 0)

Ecuación

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En general las partículas pueden interactuar lo que se refleja en en energías potenciales que dependen de dos o mas partículas, como por ejemplo V(q_i,q_2) (interacción entre dos partículas).

Un caso especial es cuando no existe esta interacción y la energía potencial solo depende de la posición de la partícula misma y no de otras vecinas. Con es

Una situación especial es cuando e modela la presencia de partículas vecinas vía un campo promedio. En este caso también se tiene un potencial que solo depende de la posición de la partícula aun que el potencial representa como todos los vecinos actual sobre la partícula.

ID:(9503, 0)

Ecuación

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Un caso especial de potencial es el caso de que este sea independiente tanto de momento como posición asumiendo un valor constante V_0 con :

ID:(9502, 0)

Ecuación

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Un potencial partícula es el de un resorte que depende de es

El modelo se puede llevar a una de cristal con potenciales tipo resortes escalando la posición con la distancia entre los átomos del cristal a y la profundidad del potencial V_a de la forma

ID:(9504, 0)

Ecuación

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Si el potencial se define con constante del resorte $N/m$, energía potencial entre partículas $J$, posición de la partícula $m$ y posición del origen de la partícula $m$ como

tiene sentido definir la frecuencia angular

que corresponde a la frecuencia angular con que oscilaría en el limite clásico.

ID:(13654, 0)

Ecuación

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La función partición de un sistema clásico\\n\\n

$Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}N!}\int\prod_id^3p_i\prod_id^3q_ie^{-\beta E}$

la energía cinética se puede representar por la gausseana en el momento y la interacción por una función potencial V(q) es con :

con h que corresponde a las celdas \Delta q\Delta p con que se fragmenta el espacio de faces.

ID:(7984, 0)

Ecuación

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Se puede suponer que la función partición general es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y posición de la partícula i $m$

\\n\\ncon h que corresponde a las celdas \Delta q\Delta p con que se fragmenta el espacio de faces.\\n\\nSi el potencial V(q) no depende de q entonces el integral en la posición p se reduce para N partículas es \\n\\n

$V^N e^{-\beta V_0 N}$

\\n\\ny la integral sobre la gausseana del momento es\\n\\n

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dp,e^{-\beta p^2/2m}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}}$

y la función partición es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y posición de la partícula i $m$

que corresponde a la de un gas ideal.

ID:(8023, 0)

Ecuación

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Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada partícula interactua con sus vecinos vía campo efectivo con lo que se describe como que fuera con energía potencial entre partículas $J$, posición de la partícula i $m$ y posición de la partícula j $m$

Se puede suponer que la función partición general es con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y posición de la partícula i $m$

con h que corresponde a las celdas \Delta q\Delta p con que se fragmenta el espacio de faces.

Podemos suponer que el potencial V(q) es de la forma

\\n\\nEntonces el integral en la posición q se reduce para N partículas es \\n\\n

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dq,e^{- \beta V_a q ^2/2 a ^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{2 \pi a^2 }{ \beta V_a }}$

\\n\\ny la integral sobre la gausseanas del momento es\\n\\n

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dp,e^{-\beta p^2/2m}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}}$

Por ello la función partición de un solido clásico sería de la forma con constante de Planck $J s$, energía potencial entre partículas $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula i $kg m/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y posición de la partícula i $m$

ID:(8024, 0)

Ecuación

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Si se reordena la función partición con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y pi $rad$

\\n\\nse puede reescribir como\\n\\n

$Z=\left(\displaystyle\frac{2\pi k_B T }{h}\sqrt{\displaystyle\frac{ m a ^2}{ V_a }}\right)^{3N}e^{-3 N \beta V_0 }$

con lo que tiene sentido definir una temperatura característica igual a con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y pi $rad$

en que se empleo la definición de la constante de Planck \hbar = h/2\pi.

ID:(9556, 0)

Ecuación

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La función partición con beta $1/J$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, función partición del solido clásico $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y pi $rad$ es

por lo que con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, masa de la partícula $kg$, pi $rad$ y temperatura de referencia clásica $K$

se obtiene que con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck $J s$, constante del resorte $N/m$, masa de la partícula $kg$, pi $rad$ y temperatura de referencia clásica $K$ es

ID:(9557, 0)

Ecuación

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Como la función partición con

el logaritmo de la función partición es

ID:(9561, 0)

Ecuación

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Como la función partición con

con la definición de \beta es con

el logaritmo de la función partición es con

ID:(13652, 0)

Ecuación

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Como la función partición con

el logaritmo de la función partición es

ID:(13653, 0)

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Video: Modelo clásico del solido