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Modelo de Debye
Beschreibung 
El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador armónico mecánico cuántico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas
\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}
donde
ID:(1394, 0)
Modelo de Debye
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Beispiele
El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador arm nico mec nico cu ntico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas
\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}
donde
La distribuci n de modos corresponde al n mero de modos que esta definido por los correspondientes vectores de onda
k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L} n_i,,,,, n_i=1,2,3,\ldots
\\n\\ndonde
\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \rightarrow \displaystyle\frac{L^3}{(2\pi)^3}\displaystyle\int d^3k
Si se asume simetr a esf rica se puede pasar a coordenadas esf ricas con lo que la expresi n queda
donde se empleo el hecho que
En un solido existen tanto el modo longitudinal, que viaja con una velocidad
\omega=c_l\mid\vec{k}_l\mid
\\n\\n
\omega=c_t\mid\vec{k}_t\mid
\\n\\ncon
\displaystyle\frac{3}{c_s}=\displaystyle\frac{1}{c_l}+\displaystyle\frac{2}{c_t}
con la relaci n
Como la distribuci n de modos se puede estimar con la suma sobre estos con
se tiene con
y el hecho que existen 3 modos distintos que con
Como la suma de los modos tiene que ser igual a
\displaystyle\int_0^{\omega_D}\sigma_D(\omega)d\omega=3\displaystyle\frac{V}{2\pi^3c_s^3}\int_0^{\omega_D}\omega^2d\omega=3N
donde
que corresponde al espectro.
Como la suma distribuci n de Debye es con
y la frecuencia de Debye con
se puede reescribir la primera como con
La funci n partici n general para un sistema de osciladores arm nicos es con
que con la distribuci n de velocidades angulares seg n el modelo de Debye con
es igual con
La energ a m nima es
por lo que con la densidad de modos
es
Con la frecuencia angular de Debye
se puede definir una temperatura de Debye de la forma
Con la funci n partici n de Debye
la energ a m nima
y la temperatura de Debye
se puede escribir la funci n partici n como
Con el logaritmo de la funci n partici n es con
se puede calcular la energ a media mediante con
con lo que se obtiene con
La capacidad cal rica se puede calcular de la energ a media con
por lo que con la energ a interna con
y la definici n con
se obtiene con
En el caso de que la temperatura es alta el factor
\displaystyle\frac{\hbar\omega}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}(\beta\hbar\omega)^2\rightarrow 1
\\n\\ncon lo que la capacidad cal rica se reduce a\\n\\n
C_V\rightarrow k\displaystyle\int_0^{\infty}\sigma(\omega)d\omega
pero la suma de todos los modos debe ser igual a
que corresponde a la ley de Dulong y Petit.
Cuando la temperatura es baja
f_D(y)\rightarrow\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx
\\n\\nLa integral es un valor num rico\\n\\n
\displaystyle\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}
\\n\\ncon lo que la funci n de Debye es aproximadamente\\n\\n
f_D(y)=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}\displaystyle\frac{1}{y^3}
y la capacidad cal rica resulta con
que corresponde al espectro.
En el caso del modelo de Debye la capacidad cal rica es con
se calcula integrando con la densidad espectral cuadr tica solo hasta la frecuencia de Debye con
con lo que se obtiene con
que corresponde al espectro.
Como la capacidad cal rica es con
f_D(y)=\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^y\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx
la expresi n se reduce con
que corresponde al espectro.
Si se consideran los modelos cl sicos, de Einstein y de Debye para
- el logarimo de la funci n partici n
- la energ a interna
- el calor espec fico
- la entropia
se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:
ID:(526, 0)