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Modelo de Debye

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>Model

ID:(526, 0)



Modelo de Debye

Definition

El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador armónico mecánico cuántico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas L tendremos que las funciones de onda serán en cada dimensión del tipo\\n\\n

\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}

donde \vec{k}_n es el n-esimo vector de onda (la componente correspondiente).

ID:(1394, 0)



Comparación entre modelos

Image

Si se consideran los modelos clásicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la función partición
- la energía interna
- el calor específico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

ID:(9560, 0)



Modelo de Debye

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Variables

Symbol
Text
Variable
Value
Units
Calculate
MKS Value
MKS Units
\beta
beta
Beta
kg m/s
C_V
C_V
Capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye
J/K
k_B
k_B
Constante de Boltzmann
J/K
\hbar
hbar
Constante de Planck dividida por 2\pi
J s
\sigma_D
sigma_D
Densidad de modos del solido de Debye
s
U
U
Energía interna del solido de Debye
J
V_0
V_0
Energía macroscopica, deformación y constitución
J
\omega
omega
Frecuencia angular
rad/s
\omega_D
omega_D
Frecuencia angular de corte de Debye
1/s
\ln Z
ln Z
Logaritmo de la función partición del solido de Debye
-
N
N
Numero de partículas
-
T
T
Temperatura
K
\Theta_D
Theta_D
Temperatura de Debye
K
c_s
c_s
Velocidad del sonido efectiva
m/s
V
V
Volumen del cuerpo
m^3

Calculations


First, select the equation:   to ,  then, select the variable:   to 
U = N * eta +@INT( hbar * w /(exp( beta * hbar * w )-1) w ^2, w , 0 , w_D ) C_V = k_B *@INT(( hbar * omega )^3* beta ^2* hbar * omega^2 /(exp( beta * hbar * omega )-1)^2, omega, 0,infty ) C_V = 3* N * k_B sigma_D( omega ) domega =3 * V /(2* pi ^2* c_s ^3)* omega ^2* domega omega_D = c_s (6* pi ^2* N / V )^1/3 C_V = k_B * (3* V /(2* pi ^2* c_s * beta *hbar )^3) * @INTEGARTE( exp( x )/(exp( x )-1)^2), x , 0 , beta * hbar * omega_D ) C_V =3 * N * k_B * f_D( \Theta_D / T ) C_V =12* pi ^4* N * k_B *( T / Theta_D )^3/5 ln Z_D =- beta * N * eta +(9* N / w_D ^3)*@INTEGRATE( w ^2 ln(1-exp(- beta * hbar * w )), w , 0 , w_D ) sigma_D( omega ) * domega =9* N * omega ^2* delta( omega_D - omega )* domega / omega_D ^3\omega=c_s\mid\vec{k}\mid\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})betaC_Vk_Bhbarsigma_DUV_0omegaomega_Dln ZNTTheta_Dc_sV

Symbol
Equation
Solved
Translated

Calculations

Symbol
Equation
Solved
Translated

 Variable   Given   Calculate   Target :   Equation   To be used
U = N * eta +@INT( hbar * w /(exp( beta * hbar * w )-1) w ^2, w , 0 , w_D ) C_V = k_B *@INT(( hbar * omega )^3* beta ^2* hbar * omega^2 /(exp( beta * hbar * omega )-1)^2, omega, 0,infty ) C_V = 3* N * k_B sigma_D( omega ) domega =3 * V /(2* pi ^2* c_s ^3)* omega ^2* domega omega_D = c_s (6* pi ^2* N / V )^1/3 C_V = k_B * (3* V /(2* pi ^2* c_s * beta *hbar )^3) * @INTEGARTE( exp( x )/(exp( x )-1)^2), x , 0 , beta * hbar * omega_D ) C_V =3 * N * k_B * f_D( \Theta_D / T ) C_V =12* pi ^4* N * k_B *( T / Theta_D )^3/5 ln Z_D =- beta * N * eta +(9* N / w_D ^3)*@INTEGRATE( w ^2 ln(1-exp(- beta * hbar * w )), w , 0 , w_D ) sigma_D( omega ) * domega =9* N * omega ^2* delta( omega_D - omega )* domega / omega_D ^3\omega=c_s\mid\vec{k}\mid\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})betaC_Vk_Bhbarsigma_DUV_0omegaomega_Dln ZNTTheta_Dc_sV



Equations


Examples

El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador arm nico mec nico cu ntico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas L tendremos que las funciones de onda ser n en cada dimensi n del tipo\\n\\n

\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}

donde \vec{k}_n es el n-esimo vector de onda (la componente correspondiente).

La distribuci n de modos corresponde al n mero de modos que esta definido por los correspondientes vectores de onda \vec{k}=(k_1,k_2,k_3) con cada componente igual a\\n\\n

k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L} n_i,,,,, n_i=1,2,3,\ldots

\\n\\ndonde L es el largo de uno de los lado del solido en la direcci n i. Para obtener la distribuci n se debe sumar sobre todos los modos n_i o pasar al limite continuo e integrar sobre los vectores de onda k_i\\n\\n

\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \rightarrow \displaystyle\frac{L^3}{(2\pi)^3}\displaystyle\int d^3k



Si se asume simetr a esf rica se puede pasar a coordenadas esf ricas con lo que la expresi n queda

equation

donde se empleo el hecho que L^3 corresponde al volumen.

En un solido existen tanto el modo longitudinal, que viaja con una velocidad c_l como dos modos transversales con velocidad c_t.\\n\\nEn el limite lineal las frecuencias angulares son iguales a\\n\\n

\omega=c_l\mid\vec{k}_l\mid

\\n\\n

\omega=c_t\mid\vec{k}_t\mid

\\n\\ncon \vec{k}_l y \vec{k}_t los vectores de onda longitudinales y transversales. Para simplificar se puede introducir una velocidad del sonido c_s mediante\\n\\n

\displaystyle\frac{3}{c_s}=\displaystyle\frac{1}{c_l}+\displaystyle\frac{2}{c_t}



con la relaci n

equation

Como la distribuci n de modos se puede estimar con la suma sobre estos con

equation=13261

se tiene con

equation=13260



y el hecho que existen 3 modos distintos que con list

equation

Como la suma de los modos tiene que ser igual a 3N el espectro tiene que estar acotado tal que \\n\\n

\displaystyle\int_0^{\omega_D}\sigma_D(\omega)d\omega=3\displaystyle\frac{V}{2\pi^3c_s^3}\int_0^{\omega_D}\omega^2d\omega=3N



donde \omega_D se define como la frecuencia de Debye y su valor es con list

equation

que corresponde al espectro.

Como la suma distribuci n de Debye es con list=3900

equation=3900



y la frecuencia de Debye con list=3901

equation=3901



se puede reescribir la primera como con list

equation

La funci n partici n general para un sistema de osciladores arm nicos es con list=3896 igual a

equation=3896



que con la distribuci n de velocidades angulares seg n el modelo de Debye con list=9563

equation=9563



es igual con list a

equation

La energ a m nima es

equation=9540

por lo que con la densidad de modos

equation=9563

es

equation

Con la frecuencia angular de Debye

equation=3901

se puede definir una temperatura de Debye de la forma

equation

Con la funci n partici n de Debye

equation=9562

la energ a m nima

equation=13401

y la temperatura de Debye

equation=13402

se puede escribir la funci n partici n como

equation

Con el logaritmo de la funci n partici n es con list=9562

equation=9562



se puede calcular la energ a media mediante con list=3528

equation=3528



con lo que se obtiene con list

equation

La capacidad cal rica se puede calcular de la energ a media con list=3603 mediante

equation=3603



por lo que con la energ a interna con list=3897

equation=3897



y la definici n con list=3437

equation=3437



se obtiene con list

equation

En el caso de que la temperatura es alta el factor \beta tiende a cero y el factor\\n\\n

\displaystyle\frac{\hbar\omega}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}(\beta\hbar\omega)^2\rightarrow 1

\\n\\ncon lo que la capacidad cal rica se reduce a\\n\\n

C_V\rightarrow k\displaystyle\int_0^{\infty}\sigma(\omega)d\omega



pero la suma de todos los modos debe ser igual a 3N por lo que la capacidad cal rica se reduce con list a

equation

que corresponde a la ley de Dulong y Petit.

Cuando la temperatura es baja T\ll\Theta_D y se puede tomar el l mite y\rightarrow \infty que significa que el limite superior de la integral es infinita\\n\\n

f_D(y)\rightarrow\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx

\\n\\nLa integral es un valor num rico\\n\\n

\displaystyle\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}

\\n\\ncon lo que la funci n de Debye es aproximadamente\\n\\n

f_D(y)=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}\displaystyle\frac{1}{y^3}



y la capacidad cal rica resulta con list

equation

que corresponde al espectro.

En el caso del modelo de Debye la capacidad cal rica es con list=3898

equation=3898



se calcula integrando con la densidad espectral cuadr tica solo hasta la frecuencia de Debye con list=3901

equation=3901



con lo que se obtiene con list

equation

que corresponde al espectro.

Como la capacidad cal rica es con list=3902 igual a

equation=3902\\n\\ncon la funci n de Debye\\n\\n

f_D(y)=\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^y\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx



la expresi n se reduce con list a

equation

que corresponde al espectro.

Si se consideran los modelos cl sicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la funci n partici n
- la energ a interna
- el calor espec fico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

php


>Model

ID:(526, 0)