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En el caso de un oscilador forzado se aplica una fuerza externa sobre la masa que oscila. Esto puede llevar a que la masa sea frenada o acelerada.

Si la fuerza actúa en forma sincrónica (al mismo ritmo que oscila la masa naturalmente) se originan resonancias que pueden incrementar la amplitud de la oscilación en forma dramática.

>Modelo

ID:(52, 0)

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Un oscilador forzado puede ser un sistema en el cual una masa unida a un resorte está sumergida en un líquido viscoso y el punto donde se fija el resorte oscila. Este último efecto puede lograrse fijando el punto a un disco que gira:

ID:(14098, 0)

Ecuación

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Una forma sencilla de modelar la fuerza externa es suponer que tiene una magnitud $F_0$ y una oscilación con una frecuencia angular $\omega$ cualquiera.

$ F = F_0 e^{ i \omega t }$

Condiciones

Variables

$F_0$

Amplitud de la fuerza de forzamiento

$N$

$\omega$

Frecuencia angular de forzamiento

$rad/s$

$F$

Fuerza de forzamiento

$N$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

ID:(14099, 0)

Ecuación

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En el caso de un oscilador amortiguado sin forzamiento, la ecuación de movimiento es

En el caso de forzamiento, la fuerza que definimos como

actúa adicionalmente sobre el sistema, por lo que la ecuación de movimiento se modifica a

$ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

Condiciones

Variables

$F_0$

Amplitud de la fuerza de forzamiento

$N$

$b$

Constante de fuerza viscosa

$kg/s$

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

$x$

Elongación del resorte

$m$

$\omega$

Frecuencia angular de forzamiento

$rad/s$

$m_i$

Masa inercial

$kg$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

ID:(14100, 0)

Ecuación

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En el caso de un oscilador amortiguado sin forzamiento, la ecuación de movimiento es

y es importante notar que la frecuencia angular es la del propio sistema. En nuestro caso, la frecuencia angular será la del sistema que fuerza la oscilación. Además, es posible que la oscilación tenga un desfase con respecto a la fuerza osciladora. Por lo tanto, podemos proponer una solución de la forma

$ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

Condiciones

Variables

$A$

Amplitud de la oscilación forzada

$m$

$\phi$

Fase de la oscilación

$rad$

$\omega$

Frecuencia angular de forzamiento

$rad/s$

$z$

Número complejo que describe oscilación forzada

$m$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

ID:(14101, 0)

Ecuación

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Si utilizamos la ecuación de la oscilación

y la introducimos en

obtenemos la ecuación del oscilador forzado en el espacio complejo

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $

Condiciones

Variables

$F_0$

Amplitud de la fuerza de forzamiento

$N$

$A$

Amplitud de la oscilación forzada

$m$

$b$

Constante de fuerza viscosa

$kg/s$

$\phi$

Fase de la oscilación

$rad$

$\omega$

Frecuencia angular de forzamiento

$rad/s$

$\omega_0$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

$m_i$

Masa inercial

$kg$

Relación

Desarrollo

Para simplificar la solución de la ecuación diferencial

$ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

se utiliza la solución

$ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

y se procede a derivarla con respecto al tiempo para obtener la velocidad

$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$

y por ende la segunda derivada, que es igual a la primera derivada de la velocidad

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$

lo cual, junto con

$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$

resulta en la ecuación

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $

ID:(14103, 0)

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El desfase es un desplazamiento temporal de una oscilación, lo que significa que comienza ya sea adelante o atrás en el tiempo, pero mantiene la misma forma:

ID:(14102, 0)

0

Video

Video: Osciladores Forzados y su Ecuación