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Existen distintos tipos de osciladores siendo los mas discutidos el cerrado por un resorte y el péndulo. Ambos son relevantes para estudiar como caminamos.

Por un lado esta el comportamiento similar a un resorte que son capaces de mostrar los músculos. Por otro lado, al desplazarnos, existen sistemas como los brazos que realizan un trabajo compensatorio oscilando con la misma frecuencia de nuestros pasos.

En el caso del péndulo existen dos tipos, el matemático que considera la oscilación de una masa puntual y el físico que considera la forma del objeto como tal.

>Modelo

ID:(51, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de un resorte la energía total E_k, que se conserva, esta conformada por la energía cinética

donde m_i es la masa y v la velocidad, y la energía potencial elástica del resorte

\\n\\ndonde k es la constante del resorte y x la elongación, de la forma\\n\\n

$E_k=\displaystyle\frac{1}{2}m_iv^2+\displaystyle\frac{1}{2}kx^2$

Si uno reescribe esta expresión como

$\displaystyle\frac{ v ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}+\displaystyle\frac{ x ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}=1$

Condiciones

Variables

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

$E$

Energía del resorte

$J$

$m_i$

Masa inercial

$kg$

$x$

Posición (vector)

$m$

$v$

Velocidad del resorte

$m/s$

Relación

\\n\\nse puede dar cuenta que corresponde a una elipse en el espacio velocidad v y elongación x, con los semiejes\\n\\n

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}=x_0$

, y\\n\\n

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{m_i}}=v_0$

.

Los semiejes corresponde a la vez a la velocidad v_0 y amplitud x_0 máximas respectivamente.

ID:(7101, 0)

Descripción

>Top

En el espacio de fase la oscilación se puede representar por una elipse

\\n \\nque en forma matemática se escribe como\\n\\n

$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$

\\n\\nde semiejes a y b se puede representar mediante un parámetro u que va de 0 a 2\pi mediante dos funciones trigonométricas\\n\\n

$x=a\cos u$

\\n\\ny\\n\\n

$y=b\sin u$

ID:(7105, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de la amplitud, que corresponde a nuestra coordenada x se tiene que el semieje es\\n\\n

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}$

\\n\\ny el tiempo se escala como\\n\\n

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$

por lo que la amplitud será con igual a

$ x =\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}\cos \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

Condiciones

Variables

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

$E$

Energía del resorte

$J$

$T$

Período

$s$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$x$

Posición (vector)

$m$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

ID:(7102, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de la velocidad, que corresponde a nuestra coordenada y se tiene que el semieje es\\n\\n

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}$

\\n\\ny el tiempo se escala como\\n\\n

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$

por lo que la velocidad será igual a

$ v =-\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}\sin \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

Condiciones

Variables

$E$

Energía del resorte

$J$

$m_i$

Masa inercial

$kg$

$T$

Período

$s$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$t$

Tiempo

$s$

$v$

Velocidad

$m/s$

Relación

ID:(7104, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la oscilación cumple las leyes físicas se puede hacer uso del hecho que el area debajo de la curva velocidad vs tiempo el camino recorrido para determinar el perido. Como la velocidad es\\n\\n

$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$

\\n\\ny el camino entre un mínimo a un máximo de una elongación, lo que ocurre entre el tiempo 0 y T/2 es igual a\\n\\n

$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$

se tiene que

$ T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$

Condiciones

Variables

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

$m_i$

Masa inercial

$kg$

$T$

Período

$s$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

Relación

ID:(7106, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La frecuencia ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilación. Por lo tanto, el número de oscilaciones por segundo es:

$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

Condiciones

Variables

$\nu$

Frecuencia

$Hz$

$T$

Período

$s$

Relación

La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).

ID:(4427, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la frecuencia angular es con igual a

y la frecuencia con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a

se tiene que con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a

$ \omega = 2 \pi \nu $

Condiciones

Variables

$\nu$

Frecuencia

$Hz$

$\omega$

Frecuencia angular

$rad/s$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

Relación

ID:(12338, 0)

0

Video

Video: Osciladores