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Osciladores en el espacio de fase

Storyboard

Existen distintos tipos de osciladores, siendo los más estudiados el oscilador de resorte y el péndulo. Ambos son fundamentales para comprender aspectos clave del movimiento humano, como la marcha.

Por un lado, los músculos pueden comportarse de manera análoga a un resorte, almacenando y liberando energía elástica durante el movimiento. Por otro lado, al desplazarnos, ciertos sistemas del cuerpo, como los brazos, funcionan como osciladores que realizan un trabajo compensatorio, oscilando a la misma frecuencia que nuestros pasos para mantener el equilibrio y optimizar la dinámica del movimiento.

En el caso del péndulo, se distinguen dos tipos: el péndulo matemático, que modela la oscilación de una masa puntual suspendida de un hilo sin masa, y el péndulo físico, que considera la distribución de masa y la geometría del objeto real.

>Modelo

ID:(51, 0)

Representación de la elipse

Definición

En el espacio de fase la oscilación se puede representar por una elipse

\\n \\nque en forma matemática se escribe como\\n\\n

$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$

\\n\\nde semiejes a y b se puede representar mediante un parámetro u que va de 0 a 2\pi mediante dos funciones trigonométricas\\n\\n

$x=a\cos u$

\\n\\ny\\n\\n

$y=b\sin u$

ID:(7105, 0)

Osciladores en el espacio de fase

Descripción

Existen distintos tipos de osciladores siendo los mas discutidos el cerrado por un resorte y el péndulo. Ambos son relevantes para estudiar como caminamos. Por un lado esta el comportamiento similar a un resorte que son capaces de mostrar los músculos. Por otro lado, al desplazarnos, existen sistemas como los brazos que realizan un trabajo compensatorio oscilando con la misma frecuencia de nuestros pasos. En el caso del péndulo existen dos tipos, el matemático que considera la oscilación de una masa puntual y el físico que considera la forma del objeto como tal.

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$k$

Constante de Hooke

N/m

$E$

Energía del resorte

$\omega$

omega

Frecuencia angular del resorte

rad/s

$\nu$

Frecuencia del sonido

$m_i$

m_i

Masa inercial

$T$

Período

$x$

Posición

$t$

Tiempo

$v$

Velocidad

m/s

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$

omega_0 ^2 = k / m_i

(ID 1242)

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

nu =1/ T

(ID 4427)

$\displaystyle\frac{ v ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}+\displaystyle\frac{ x ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}=1$

v ^2/(2* E / m_i )+ x ^2/(2* E / k )=1

(ID 7101)

$x =\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}\cos \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

x =sqrt(2* E / k )*cos(2* pi * t / T )

(ID 7102)

$v =-\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}\sin \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

v =-sqrt(2* E / m_i )*sin(2* pi * t / T )

(ID 7104)

$T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$

T =2* pi *sqrt( m_i / k )

(ID 7106)

$\omega = 2 \pi \nu$

omega = 2* pi * nu

(ID 12338)

Ejemplos

Mecanismos

(ID 16244)

Representación de la elipse

En el espacio de fases, la oscilación se representa mediante una elipse:

Su expresión matemática general es:

$\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

donde los parámetros $a$ y $b$ corresponden a los semiejes mayor y menor, respectivamente.

Esta trayectoria también puede describirse de forma paramétrica mediante un parámetro $u$ , que varía de $0$ a $2\pi$ , utilizando funciones trigonométricas:

$x = a \cos u$

$y = b \sin u$

(ID 7105)

Conservación de energía en el caso de un resorte

En el caso de un resorte, la energía total la energía del resorte ( $E$ ), que se conserva, está compuesta por el trabajo inicial ( $W_0$ ), asociada a la masa inercial ( $m_i$ ) y la velocidad ( $v$ ):

$K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$

La la energía potencial ( $V$ ) del resorte está relacionada con la constante de Hooke ( $k$ ) y la posición ( $x$ ):

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

De manera que la energía total la energía del resorte ( $E$ ) se expresa como:

$E_k=\displaystyle\frac{1}{2}m_iv^2+\displaystyle\frac{1}{2}kx^2$

Si se reescribe esta expresión como:

$\displaystyle\frac{ v ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}+\displaystyle\frac{ x ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}=1$

se puede observar que corresponde a una elipse en el espacio velocidad la velocidad ( $v$ ) y elongación la posición ( $x$ ), cuyos semiejes son:

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}=x_0$

, y

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{m_i}}=v_0$

Los semiejes corresponden, respectivamente, a la amplitud máxima x_0 y a la velocidad máxima v_0.

(ID 16238)

Representación de la amplitud

En el caso de la amplitud, que corresponde a nuestra coordenada la posición ( $x$ ), el semieje depende de la energía del resorte ( $E$ ) y la constante de Hooke ( $k$ ):

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}$

Además, el tiempo ( $t$ ) se escala con la período ( $T$ ):

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$

Por lo tanto, la amplitud se expresa como:

$x =\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}\cos \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

(ID 16239)

Representación de la velocidad

En el caso de la amplitud, que corresponde a nuestra coordenada la velocidad ( $v$ ), el semieje depende de la energía del resorte ( $E$ ) y la masa inercial ( $m_i$ ):

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}$

Asimismo, el tiempo ( $t$ ) se escala con la período ( $T$ ):

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$

Por lo tanto, la amplitud se expresa como:

$v =-\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}\sin \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

(ID 16240)

Relación frecuencia angular - frecuencia

Dado que la frecuencia angular ( $\omega$ ), junto con la período ( $T$ ), es igual a:

$\omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

y que la frecuencia del sonido ( $\nu$ ) es igual a:

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

se cumple que:

$\omega = 2 \pi \nu$

(ID 16242)

Periodo de la oscilación

Dado que la oscilación obedece las leyes físicas, es posible utilizar el hecho de que el área bajo la curva la velocidad ( $v$ ) en función de el tiempo ( $t$ ) corresponde al camino recorrido, lo que permite determinar el período. Como la velocidad ( $v$ ) depende de la energía del resorte ( $E$ ), la masa inercial ( $m_i$ ) y la período ( $T$ ):

$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$

El camino entre un mínimo y un máximo de elongación es decir, entre los instantes 0 y T/2 es igual, utilizando la constante de Hooke ( $k$ ), a:

$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$

Por lo tanto, se cumple que:

$T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$

(ID 16241)

Modelo

(ID 16243)

Conservación de energía en el caso de un resorte

Con la energía del resorte ( $E$ ), la masa inercial ( $m_i$ ) y la constante de Hooke ( $k$ ), es posible definir una elipse en el plano la posición ( $x$ ) La velocidad del resorte ( $v$ ) mediante:

$\displaystyle\frac{ v ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}+\displaystyle\frac{ x ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}=1$

(ID 7101)

Representación de la amplitud

La posición ( $x$ ) se determina a partir de la energía del resorte ( $E$ ), la constante de Hooke ( $k$ ) y la período ( $T$ ), como función de el tiempo ( $t$ ):

$x =\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}\cos \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

(ID 7102)

Representación de la velocidad

La velocidad ( $v$ ) se determina a partir de la energía del resorte ( $E$ ), la masa inercial ( $m_i$ ) y la período ( $T$ ), como función de el tiempo ( $t$ ):

$v =-\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}\sin \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

(ID 7104)

Periodo de la oscilación

La período ( $T$ ) se determina a partir de la masa inercial ( $m_i$ ) y la constante de Hooke ( $k$ ) mediante:

$T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$

(ID 7106)

Frecuencia

La frecuencia del sonido ( $\nu$ ) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ( $T$ ) es el tiempo que tarda una sola oscilaci n. Por lo tanto, el n mero de oscilaciones por segundo es:

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).

(ID 4427)

Relación frecuencia angular - frecuencia

La relación entre la frecuencia angular ( $\omega$ ) y la frecuencia del sonido ( $\nu$ ) se expresa como:

$\omega = 2 \pi \nu$

(ID 12338)

Oscilaciones con un resorte

El producto de la constante de Hooke ( $k$ ) y la masa inercial ( $m_i$ ) se denomina la frecuencia angular del resorte ( $\omega$ ) y se define como:

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$

(ID 1242)

ID:(51, 0)