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Laplacian of potential
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Gauss's law in its differential form can also be written for the electric potential. In this case it turns out that the Laplacian of the electric potential is proportional to the charge density.
ID:(1567, 0)
The Laplacian
Equation
Como el campo eléctrico se puede calcular del potencial eléctrico con el gradiente
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
y la divergencia del campo es proporcional a la densidad de carga
| $\nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
se puede construir el llamado Laplaciano que es la divergencia de un gradiente. Como el operador nabla es
abla = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}
el producto punto sera
abla\cdot
abla =\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial z^2}\equiv
abla^2
con lo que la ecuación para el potencial eléctrico queda como
| $ \nabla^2 V = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
ID:(11567, 0)
Laplace's equation
Equation
En el caso de que no existan cargas la ley de Gauss diferencial para el potencial electrico
| $ \nabla^2 V = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
se reduce a la llamada ecuación de Laplace
| $ \nabla^2 V = 0$ |
Esta ecuación tiene como solución las llamadas funciones armónicas que corresponden a oscilaciones del medio. En este caso dan cuenta que movimientos de cargas generan ondas que se propagan por el espacio que que a su vez pueden generar en otro lugar movimientos de cargas.
ID:(11568, 0)
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