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Field divergence
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Divergence analyzes the flow of the electric field for infinitesimal volumes. This value is proportional to the charge density, so the divergence is a tool to detect the presence of charges since the problem of Gauss's law for larger volumes is that if the sum of the charges cancels out within the volume, then also fields tend to offset.

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ID:(1566, 0)


Subdividing surfaces and volumes
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Cuando se analizo el flujo eléctrico se vio que se podia calcular sumando las contribuciones de muchas secciones dS_i mediante

$ \Phi = \displaystyle\int \vec{E} \cdot \hat{n} dS $



se vio que se podia calcular subdividiendo el volumen en muchas pequeñas superficies dS_i.

En otras palabras un volumen con su respectiva superficie se puede subdividir en múltiples volúmenes con sus correspondientes superficies:

ID:(11560, 0)


Flow of an element of infinitesimal volume
Equation

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Al subdividir el volumen en pequeños volúmenes infinitesimales V_i con una superficie en su entorno S_i se puede calcular la contribución al flujo

$\Phi_i = \displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$

ID:(11561, 0)


Flow by volume
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Si se toma el flujo del campo eléctrico por el volumen en la dirección \hat{x}:

es igual a lo que flujo que sale

E_x(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z

y se resta el flujo que ingresa

E_x(x,y,z)\Delta y\Delta z

se puede estimar el flujo neto por volumen \Delta x\Delta y\Delta z es

\displaystyle\frac{1}{\Delta x\Delta y\Delta z}(E_x(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z - E_x(x,y,z)\Delta y\Delta z)=\displaystyle\frac{E_x(x+\Delta x,y,z)-E_x(x,y,z)}{\Delta x}\rightarrow \displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}

ID:(11616, 0)


Calculate the divergence
Equation

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El flujo en la dirección \hat{x} es

\displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}

por lo que el flujo total se puede generalizar a tres dimensiones que corresponde de hecho al producto punto del vector derivada

\vec{
abla} = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\displaystyle\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\displaystyle\frac{\partial }{\partial z}

con lo que la divergencia se define como:

$ \nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}+ \displaystyle\frac{\partial E_y}{\partial y}+ \displaystyle\frac{\partial E_z}{\partial z}$

ID:(11566, 0)


Definition of field divergence
Equation

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Como el volumen V_i es infinitesimalmente chico también lo será su superficie S_i. Sin embargo se puede definir el flujo por volumen que al ser ambas magnitudes infinitesimal puede no ser nulo. Esta proporción la denominamos la divergencia y se define como

$\nabla\cdot\vec{E} = \lim_{V_i\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{V_i}\displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$

ID:(11562, 0)


Divergence theorem
Equation

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Si consideramos el flujo segmentado

\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\displaystyle\sum_i \displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i

se puede empleamos la definición de la divergencia

$\nabla\cdot\vec{E} = \lim_{V_i\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{V_i}\displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$



para pasar de la suma de suma de volumenes

\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\displaystyle\sum_i V_i \vec{
abla}\cdot\vec{E}\rightarrow \displaystyle\int_V (\vec{
abla}\cdot\vec{E})dV

a la integral del volumen

$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int_V (\nabla\cdot\vec{E}) dV$

ID:(11563, 0)


Charge density
Equation

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En la ley de Gauss se tenia una carga Q rodeada en una superficie S (la superficie gaussiana). Con ello tiene sentido de hablar de una densidad de carga \rho como la carga por unidad de volumen asociado a la superficie. Con ello la carga Q es la integral de la densidad de carga en el volumen

$ Q = \displaystyle\int_V \rho dV$

ID:(11564, 0)


Differential Gauss law
Equation

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Si comparamos la ley de Gauss

$\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$



con el teorema de la divergencia

$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int_V (\nabla\cdot\vec{E}) dV$



y la definición de la densidad de carga

$ Q = \displaystyle\int_V \rho dV$



se obtiene la ley diferencial de Gauss

$\nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$



La ley de Gauss en su forma diferencial 'detecta' las cargas en los volúmenes infinitesimales obviando el problema que en el teorema de Gauss integral en que para volúmenes mayores si la suma de las cargas contenidas se anula el campo también se compensa.

ID:(11565, 0)


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